中3 数学：平行線と線分の比の練習問題
部分と全体、延長や交差を図で区別し、対応する比から長さを求めます。準備14問と、自分の図・比例式・計算を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3B(1)イ(イ)、冊子145/PDF149の、平行線と線分の比を相似から導き、点を延長へ動かした場合や中点連結を関連付ける趣旨を踏まえた独自課題です。現行出版社の指導計画でも、三角形と比の定理、その逆、中点連結と線分の長さの計算が区別されています。出版社の問題の配列・数値・図版は写しません。相似の一般的な証明は別のテーマで扱い、ここでは比例式と長さの計算を主な活動にします。面積比・体積比は別教材です。
解説を読む
同じ図でも、ADとABの比、ADとDBの比は別の比です。どの線分が部分でどこまでが全体かを点の順で確かめます。平行線から相似な三角形と対応を示し、同じ向きの比を比例式にして、求めた長さを元の比へ戻します。図の見た目を測った値は根拠にしません。
必要な予備知識
三角形の相似条件と対応、平行線の角、比と分数・小数、一次方程式、線分の和と差。全ての三角形はつぶれていないものとし、長さは正の数です。三平方の定理や三角比は使いません。
- 三角形ABCで、D、Eがそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にありDE∥BCなら、△ADE∽△ABCです。AD/AB=AE/AC=DE/BCを、対応する三角形の同じ向きで書きます。
- D、Eがそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあるときは、AB=AD+DB、AC=AE+ECです。DE∥BCなら、AD/DB=AE/ECも成り立ちますが、AD/ABとAD/DBを同じ値にはしません。
- 比例式で未知の長さを求めたら、部分が全体より短いか、元の同じ向きの二つの比が等しいか、単位が合うかを確かめます。
- 点がA,B,DとA,C,Eの順に並びBC∥DEなら、△ABC∽△ADEです。BD=AD−AB、CE=AE−ACであり、延長部分を全体の長さと取り違えません。
- 交差する二直線の点順がA,O,CとB,O,DでAB∥CDなら、△AOB∽△CODです。AO/CO=OB/OD=AB/CDの対応から計算します。
- 三つ以上の平行線が二直線を横切ると、隣り合う平行線の間の対応する線分の比が等しくなります。交点の順と同じ二本の平行線の区間をそろえます。
- 三角形の二辺の中点を結ぶ線分は残る辺と平行で、長さはその半分です。逆に全体の長さを求めるときは二倍にします。
- 平行が与えられず、対応する二組の辺の比と共通の間の角から相似を示す場合は、先に相似を導いてから平行や第三の辺の比を使います。図が平行に見えるだけでは比の定理を使いません。
解き方の例
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BC、AD=3,DB=7,AE=4.5cmとします。AB=10cm。部分どうしの比3/7=4.5/ECから3EC=31.5でEC=10.5cm、AC=15cmです。全体どうしならAD/AB=3/10=AE/AC=4.5/15。3/7と3/10を混ぜません。
点がA,B,DとA,C,Eの順、BC∥DE、AB=10,AD=15,AC=12cmなら、△ABC∽△ADEより10/15=12/AEです。10AE=180からAE=18cm、延長部分CE=18−12=6cm。求めるのがAEかCEかを図へ書き、12/18=2/3も確かめます。
よくある間違い
- 部分ADと全体ABを、部分ADと残りDBへ説明なく置き換える。
- 比の一方だけ分子と分母を逆にする。
- 延長部分BDを全体ADだと扱う。
- 交差する図で交点をはさむ対応先を見失う。
- 三つの平行線で上の区間と全体の区間を混ぜる。
- 中点を結ぶ線分を求めるときに二倍にする。
- 平行がないのに見た目だけで比例式を作る。
- 生徒の図や計算を残さず、完成した数値だけで終える。
考え方を説明する
準備14問は長さと対応の足場です。主課題では生徒の実際の図に点順・平行や中点・与えた量と未知量を記し、使う相似や定理の根拠、同じ向きの比例式、実際の計算、単位付きの答えと元の比での確認を手動で見ます。T1は内部と全体、T2は残りの長さ、T3は逆を先に確かめる計算、T4は延長、T5は交差、T6は三平行線、T7は中点、T8は四角形の中点からの周、T9は部分と全体の取り違えの修正、T10は生徒の数と図による作例です。正しい別の比や分数・小数の同値表現も認めます。
図・比例式と途中計算は紙や既存の授業用ボードへ生徒が実際に書き、講師が手動確認します。図は模式図で、画面を測って答えません。自由な図や計算過程の自動採点は行いません。数値は独自の設定であり実測記録ではありません。生徒の試用、母語話者の校閲や学習効果は未確認です。
練習する
準備の数値や選択は足場です。主課題は生徒が点の順と条件を自分の図へ書き、相似の対応・比例式・途中の計算・単位付きの答えを紙や既存の授業用ボードへ残し、講師が手動確認します。値だけを入力して計算過程の達成にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BCです。AD=4,DB=6,AE=6cmのとき、ECは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
9
AD/DB=AE/ECより4/6=6/EC、4EC=36でEC=9cmです。AB=10、AC=15でも4/10=6/15です。
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD:DB=2:3です。AD:ABはどれですか。
図を準備しています。
- 2:3
- 2:5
- 3:5
- 5:2
答えと解説
2:5
ABは2+3=5こ分なのでAD:AB=2:5です。
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD=6,AB=15,AC=20cmです。AEは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
8
6/15=AE/20より15AE=120でAE=8cmです。
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD=3,DB=5,DE=6cmです。BCは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
16
AB=8cm、AD/AB=DE/BCより3/8=6/BC、3BC=48で16cmです。
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、DE=7,BC=21,AD=4cmです。DBは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
8
AD/AB=7/21=1/3なのでAB=12cm。DB=12−4=8cmです。
D,Eはそれぞれ辺AB,ACの両端を除く部分にあります。AD/AB=3/7、AE=6,AC=14cmです。共通の間の角から相似を示した後に分かる関係はどれですか。
図を準備しています。
- DE∥BC
- AB∥AC
- AD=DB
- AE=EC
答えと解説
DE∥BC
AE/AC=6/14=3/7で、共通の間の角と二辺の比から△ADE∽△ABC。対応する同位角が等しいのでDE∥BCです。
△ABCでD,EはそれぞれAB,ACの中点です。BC=18cmならDEは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
9
中点連結定理よりDE=18/2=9cmです。
△ABCでD,EはそれぞれAB,ACの中点です。DE=6.5cmならBCは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
13
DEはBCの半分なのでBC=2×6.5=13cmです。
点がA,B,DとA,C,Eの順に並び、BC∥DEです。AB=12,AD=18,AC=10cmのとき、延長部分CEは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
5
12/18=10/AEからAE=15cmです。CE=15−10=5cmで、15cmは全体AEです。
点がA,B,DとA,C,Eの順に並び、BC∥DEです。AB=5,BD=3,AC=10cmのとき、CEは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
6
AD=5+3=8cm、5/8=10/AEなのでAE=16cmです。CE=16−10=6cm。
異なる二直線上でA,O,CとB,O,Dの順、A,O,Bは一直線上になくAB∥CDです。AO=6,CO=9,OB=4cmならODは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
6
△AOB∽△CODで6/9=4/OD。6OD=36からOD=6cmです。
異なる二直線上でA,O,CとB,O,Dの順、A,O,Bは一直線上になくAB∥CDです。AB=8,CD=12,CO=15cmならAOは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
10
AO/15=8/12=2/3よりAO=10cmです。
三平行線l,m,nと二直線の交点が一方でA,B,C、他方でD,E,Fの順です。AとD、BとE、CとFが同じ平行線上にあり、AB=3,BC=7,DE=6cmです。EFは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
14
対応する区間の比からAB/BC=DE/EF、3/7=6/EF。3EF=42でEF=14cmです。
D,Eはそれぞれ辺AB,ACの両端を除く部分にあり、AD=4,DB=6,AE=8cmです。平行や相似の条件は与えられていません。ECの長さについて正しい判断はどれですか。
図を準備しています。
- 必ず12cm
- 必ず20cm
- 必ず4cm
- この条件だけでは一つに決まらない
答えと解説
この条件だけでは一つに決まらない
DE∥BCなどの根拠がないのでAD/DB=AE/ECは使えません。Eの先にあるCの位置が決まらず、ECは一つに決まりません。
考え方を説明する
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BCです。AD=6,DB=9,AE=8,DE=10cm。自分の図に点順・平行・既知量と未知量を書き、相似の対応と比例式からECとBCを求めます。AB,ACも示し、全体どうしの比で答えを確かめてください。
答えと解説
生徒の図へ条件を記す。平行線の同位角と共通の角から△ADE∽△ABC。AB=6+9=15cm、AD/AB=6/15=2/5。6/9=8/ECからEC=12cm、AC=8+12=20cm。10/BC=2/5からBC=25cm。6/15=8/20=10/25=2/5と確かめる。
生徒の図・点順・相似の根拠と対応、部分と全体を区別した二つの比例式・計算、EC12/BC25/AB15/AC20cmと三比での確認を見ます。
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD=5,AB=12,AE=7.5,BC=24cmです。自分の図で部分と全体を分け、DB,EC,DEを求めます。使う比を二通り書いて、値を元の比へ戻してください。
答えと解説
生徒の図へ条件を書く。△ADE∽△ABCよりAD/AB=5/12、DB=12−5=7cm。5/12=7.5/ACからAC=18cm、EC=18−7.5=10.5cm。DE/24=5/12からDE=10cm。確認は5/12=7.5/18=10/24、部分どうしなら5/7=7.5/10.5。
生徒の部分と全体の図、相似から5/12を使う理由、三つの計算と単位、DB7/EC10.5/DE10cm、二種類の比を混同しない確認を見ます。
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順です。AD=6,DB=10,AE=9,EC=15,DE=7.5cmで、平行はまだ与えられていません。図へ条件を書き、比と間の角から先に相似と平行を確かめ、その後BCを計算します。最初からDE∥BCを根拠にしないでください。
答えと解説
生徒の図へ条件を書く。AB=16,AC=24cm、AD/AB=6/16=3/8、AE/AC=9/24=3/8。∠DAE=∠BACは同じ二半直線の間の角。二辺比と間の角から△ADE∽△ABC、∠ADE=∠ABCなので同位角の逆でDE∥BC。7.5/BC=3/8よりBC=20cm。6/16=9/24=7.5/20=3/8と確認する。
生徒の図、比と共通の間の角を根拠に先に相似を示す順、平行を導く理由、比例式とBC20cm・元の比での確認を見ます。
点がA,B,DとA,C,Eの順に並び、BC∥DEです。AB=8,BD=4,AC=10,BC=14cm。延長を示す自分の図を描き、対応する三角形と比例式からAE,CE,DEを求めます。全体と延長部分の違いを式で示してください。
答えと解説
生徒の図へA,B,DとA,C,Eの順・平行を書く。共通の角と平行線の同位角から△ABC∽△ADE。AD=8+4=12cm、AB/AD=8/12=2/3。10/AE=2/3からAE=15cm、CE=15−10=5cm。14/DE=2/3からDE=21cm。8/12=10/15=14/21、CEは全体15から元の10を引いた長さと確かめる。
生徒の延長図・対応と根拠、ADの加算、比例式と計算、AE15/CE5/DE21cm、全体と延長部分の区別・三比確認を見ます。
二直線がOで交わり、A,O,CとB,O,Dの順で、A,O,Bは一直線上になくAB∥CDです。AO=4,CO=10,OB=6,AB=8cm。交差する自分の図に条件と対応を書き、相似の根拠と比例式からOD,CDを求めます。元の三比をそろえて確認してください。
答えと解説
生徒の交差図へ点順と平行を書く。∠AOB=∠CODは対頂角、∠BAO=∠DCOは平行線の錯角なので△AOB∽△COD。AO/CO=4/10=2/5。6/OD=2/5からOD=15cm、8/CD=2/5からCD=20cm。4/10=6/15=8/20=2/5と確認する。
生徒の交差図・点順、対頂角と錯角による対応、同じ向きの二比例式、OD15/CD20cm、三比の確認を見ます。
三平行線l,m,nと二直線の交点が一方でA,B,C、他方でD,E,Fの順です。AとD、BとE、CとFは同じ平行線上で、AB=4,BC=7,DE=6cmです。自分の図に対応する区間を書き、比例式からEFとDFを求めます。ACも求め、全体どうしの比でも確認してください。
答えと解説
生徒の図に三平行線と二つの点順、同じ区間ABとDE、BCとEFを書く。平行線と線分の比より4/7=6/EF、4EF=42でEF=10.5cm。DF=6+10.5=16.5cm、AC=4+7=11cm。AB/DE=4/6=2/3、BC/EF=7/10.5=2/3、AC/DF=11/16.5=2/3と確認する。
生徒の三平行線図と区間対応、使う性質・比例式と実際の計算、EF10.5/DF16.5/AC11cm、部分と全体の三比確認を見ます。
△ABCでM,NはそれぞれAB,ACの中点、AB=14,AC=18,BC=19cmです。自分の図に中点の条件を書き、AM,AN,MNを求めます。なぜMNがBCの半分になるかを、辺の比と共通の間の角から説明し、平行も示してください。
答えと解説
生徒の図にA,M,BとA,N,Cの順、中点を書く。AM=14/2=7cm、AN=18/2=9cm、AM/AB=AN/AC=1/2。共通の間の角から△AMN∽△ABC。よってMN/BC=1/2でMN=19/2=9.5cm。対応する同位角が等しいのでMN∥BC。7/14=9/18=9.5/19=1/2と確認する。
生徒の中点図、AM7/AN9/MN9.5cm、二辺比と間の角からの相似、半分の計算と平行の理由・三比確認を見ます。
凸四角形ABCDの辺AB,BC,CD,DAの中点を順にE,F,G,Hとし、対角線AC=18,BD=14cmです。対角線と中点を書いた自分の図を描き、四つの三角形で中点連結定理を使ってEF,FG,GH,HEを求めます。四角形EFGHの周の長さを計算し、各辺がどちらの対角線の半分かを説明してください。
答えと解説
生徒の図へ二対角線と四中点を書く。△ABCと△CDAでEF=GH=AC/2=9cm、△BCDと△DABでFG=HE=BD/2=7cm。各々の三角形の二辺の中点を結ぶので、それぞれ対応する対角線に平行で半分。周は9+7+9+7=32cm。EFとGHをBDの半分にはしない。
生徒の凸四角形・二対角線・四中点の図、四つの三角形と対応する対角線、9/7/9/7cmと周32cmの計算、半分になる理由を見ます。
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD=4,DB=6,AE=8,BC=15cmです。ある人は「AD:DB=2:3なのでAE:AC=2:3、AC=12cm、EC=4cm」と書きました。自分の図に部分と全体を記し、誤った対応を説明してEC,AC,DEを正しく計算します。二種類の比で確認してください。
答えと解説
生徒の図にA,D,BとA,E,Cの順と条件を書く。AD/DBは部分どうしなのでAE/ECに対応する。4/6=8/ECからEC=12cm、AC=8+12=20cm。AB=10cm、△ADE∽△ABCよりDE/15=4/10=2/5なのでDE=6cm。4/6=8/12=2/3、4/10=8/20=6/15=2/5と確認する。ACを分母にするならADではABとの比を使う。
生徒の部分・全体の図、AE/ACを誤りとする理由、正しい比例式とEC12/AC20/DE6cm、部分比と全体比の二つの確認を見ます。
2以上5以下の整数rと3以上6以下の整数sを一つずつ選びます。三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD=2r,DB=2s,AE=3r,EC=3s,BC=4(r+s)cmとする独自の数値問題を作ります。自分の数を入れた自分の図へ条件を書き、相似の対応・比例式・計算からAB,AC,DEを求め、部分どうしと全体どうしの比をそれぞれ確認してください。
答えと解説
作例r=3,s=4ではAD6,DB8,AE9,EC12,BC28cm。生徒の図へ点順・平行・各数値を書く。AB=14cm、AC=21cm。共通の角と平行線の同位角から△ADE∽△ABC、DE/28=6/14=3/7よりDE=12cm。部分比6/8=9/12=3/4、全体比6/14=9/21=12/28=3/7。三辺14,21,28cmは三角形を作れる。別の条件内r,sも生徒の具体的な図・計算・二種類の確認がそろえば認める。
生徒が選んだr,s、実際の点順・平行・数値の図、ABとACの和、相似からの比例式とDEの計算・単位、実数値での部分比と全体比を確認する。一般式や完成した数値だけでは生徒の作例の完了にしない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3B(1)イ(イ)、冊子145/PDF149の、平行線と線分の比を相似から導き、点を延長へ動かした場合や中点連結を関連付ける趣旨を踏まえた独自課題です。現行出版社の指導計画でも、三角形と比の定理、その逆、中点連結と線分の長さの計算が区別されています。出版社の問題の配列・数値・図版は写しません。相似の一般的な証明は別のテーマで扱い、ここでは比例式と長さの計算を主な活動にします。面積比・体積比は別教材です。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 平行線と線分の比を図と比例式で求める
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/calculate-parallel-segment-ratios-with-diagrams-and-working/
準備14問は長さと対応の足場です。主課題では生徒の実際の図に点順・平行や中点・与えた量と未知量を記し、使う相似や定理の根拠、同じ向きの比例式、実際の計算、単位付きの答えと元の比での確認を手動で見ます。T1は内部と全体、T2は残りの長さ、T3は逆を先に確かめる計算、T4は延長、T5は交差、T6は三平行線、T7は中点、T8は四角形の中点からの周、T9は部分と全体の取り違えの修正、T10は生徒の数と図による作例です。正しい別の比や分数・小数の同値表現も認めます。
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BCです。AD=4,DB=6,AE=6cmのとき、ECは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD:DB=2:3です。AD:ABはどれですか。
図を準備しています。
- 2:3
- 2:5
- 3:5
- 5:2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD=6,AB=15,AC=20cmです。AEは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD=3,DB=5,DE=6cmです。BCは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、DE=7,BC=21,AD=4cmです。DBは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
D,Eはそれぞれ辺AB,ACの両端を除く部分にあります。AD/AB=3/7、AE=6,AC=14cmです。共通の間の角から相似を示した後に分かる関係はどれですか。
図を準備しています。
- DE∥BC
- AB∥AC
- AD=DB
- AE=EC
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCでD,EはそれぞれAB,ACの中点です。BC=18cmならDEは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCでD,EはそれぞれAB,ACの中点です。DE=6.5cmならBCは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
点がA,B,DとA,C,Eの順に並び、BC∥DEです。AB=12,AD=18,AC=10cmのとき、延長部分CEは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
点がA,B,DとA,C,Eの順に並び、BC∥DEです。AB=5,BD=3,AC=10cmのとき、CEは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる二直線上でA,O,CとB,O,Dの順、A,O,Bは一直線上になくAB∥CDです。AO=6,CO=9,OB=4cmならODは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる二直線上でA,O,CとB,O,Dの順、A,O,Bは一直線上になくAB∥CDです。AB=8,CD=12,CO=15cmならAOは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
三平行線l,m,nと二直線の交点が一方でA,B,C、他方でD,E,Fの順です。AとD、BとE、CとFが同じ平行線上にあり、AB=3,BC=7,DE=6cmです。EFは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
D,Eはそれぞれ辺AB,ACの両端を除く部分にあり、AD=4,DB=6,AE=8cmです。平行や相似の条件は与えられていません。ECの長さについて正しい判断はどれですか。
図を準備しています。
- 必ず12cm
- 必ず20cm
- 必ず4cm
- この条件だけでは一つに決まらない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BCです。AD=6,DB=9,AE=8,DE=10cm。自分の図に点順・平行・既知量と未知量を書き、相似の対応と比例式からECとBCを求めます。AB,ACも示し、全体どうしの比で答えを確かめてください。
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD=5,AB=12,AE=7.5,BC=24cmです。自分の図で部分と全体を分け、DB,EC,DEを求めます。使う比を二通り書いて、値を元の比へ戻してください。
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順です。AD=6,DB=10,AE=9,EC=15,DE=7.5cmで、平行はまだ与えられていません。図へ条件を書き、比と間の角から先に相似と平行を確かめ、その後BCを計算します。最初からDE∥BCを根拠にしないでください。
点がA,B,DとA,C,Eの順に並び、BC∥DEです。AB=8,BD=4,AC=10,BC=14cm。延長を示す自分の図を描き、対応する三角形と比例式からAE,CE,DEを求めます。全体と延長部分の違いを式で示してください。
二直線がOで交わり、A,O,CとB,O,Dの順で、A,O,Bは一直線上になくAB∥CDです。AO=4,CO=10,OB=6,AB=8cm。交差する自分の図に条件と対応を書き、相似の根拠と比例式からOD,CDを求めます。元の三比をそろえて確認してください。
三平行線l,m,nと二直線の交点が一方でA,B,C、他方でD,E,Fの順です。AとD、BとE、CとFは同じ平行線上で、AB=4,BC=7,DE=6cmです。自分の図に対応する区間を書き、比例式からEFとDFを求めます。ACも求め、全体どうしの比でも確認してください。
△ABCでM,NはそれぞれAB,ACの中点、AB=14,AC=18,BC=19cmです。自分の図に中点の条件を書き、AM,AN,MNを求めます。なぜMNがBCの半分になるかを、辺の比と共通の間の角から説明し、平行も示してください。
凸四角形ABCDの辺AB,BC,CD,DAの中点を順にE,F,G,Hとし、対角線AC=18,BD=14cmです。対角線と中点を書いた自分の図を描き、四つの三角形で中点連結定理を使ってEF,FG,GH,HEを求めます。四角形EFGHの周の長さを計算し、各辺がどちらの対角線の半分かを説明してください。
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD=4,DB=6,AE=8,BC=15cmです。ある人は「AD:DB=2:3なのでAE:AC=2:3、AC=12cm、EC=4cm」と書きました。自分の図に部分と全体を記し、誤った対応を説明してEC,AC,DEを正しく計算します。二種類の比で確認してください。
2以上5以下の整数rと3以上6以下の整数sを一つずつ選びます。三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD=2r,DB=2s,AE=3r,EC=3s,BC=4(r+s)cmとする独自の数値問題を作ります。自分の数を入れた自分の図へ条件を書き、相似の対応・比例式・計算からAB,AC,DEを求め、部分どうしと全体どうしの比をそれぞれ確認してください。
解答: 平行線と線分の比を図と比例式で求める
9
AD/DB=AE/ECより4/6=6/EC、4EC=36でEC=9cmです。AB=10、AC=15でも4/10=6/15です。
2:5
ABは2+3=5こ分なのでAD:AB=2:5です。
8
6/15=AE/20より15AE=120でAE=8cmです。
16
AB=8cm、AD/AB=DE/BCより3/8=6/BC、3BC=48で16cmです。
8
AD/AB=7/21=1/3なのでAB=12cm。DB=12−4=8cmです。
DE∥BC
AE/AC=6/14=3/7で、共通の間の角と二辺の比から△ADE∽△ABC。対応する同位角が等しいのでDE∥BCです。
9
中点連結定理よりDE=18/2=9cmです。
13
DEはBCの半分なのでBC=2×6.5=13cmです。
5
12/18=10/AEからAE=15cmです。CE=15−10=5cmで、15cmは全体AEです。
6
AD=5+3=8cm、5/8=10/AEなのでAE=16cmです。CE=16−10=6cm。
6
△AOB∽△CODで6/9=4/OD。6OD=36からOD=6cmです。
10
AO/15=8/12=2/3よりAO=10cmです。
14
対応する区間の比からAB/BC=DE/EF、3/7=6/EF。3EF=42でEF=14cmです。
この条件だけでは一つに決まらない
DE∥BCなどの根拠がないのでAD/DB=AE/ECは使えません。Eの先にあるCの位置が決まらず、ECは一つに決まりません。
記述問題の解答・確認の観点
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BCです。AD=6,DB=9,AE=8,DE=10cm。自分の図に点順・平行・既知量と未知量を書き、相似の対応と比例式からECとBCを求めます。AB,ACも示し、全体どうしの比で答えを確かめてください。
生徒の図へ条件を記す。平行線の同位角と共通の角から△ADE∽△ABC。AB=6+9=15cm、AD/AB=6/15=2/5。6/9=8/ECからEC=12cm、AC=8+12=20cm。10/BC=2/5からBC=25cm。6/15=8/20=10/25=2/5と確かめる。
生徒の図・点順・相似の根拠と対応、部分と全体を区別した二つの比例式・計算、EC12/BC25/AB15/AC20cmと三比での確認を見ます。
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD=5,AB=12,AE=7.5,BC=24cmです。自分の図で部分と全体を分け、DB,EC,DEを求めます。使う比を二通り書いて、値を元の比へ戻してください。
生徒の図へ条件を書く。△ADE∽△ABCよりAD/AB=5/12、DB=12−5=7cm。5/12=7.5/ACからAC=18cm、EC=18−7.5=10.5cm。DE/24=5/12からDE=10cm。確認は5/12=7.5/18=10/24、部分どうしなら5/7=7.5/10.5。
生徒の部分と全体の図、相似から5/12を使う理由、三つの計算と単位、DB7/EC10.5/DE10cm、二種類の比を混同しない確認を見ます。
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順です。AD=6,DB=10,AE=9,EC=15,DE=7.5cmで、平行はまだ与えられていません。図へ条件を書き、比と間の角から先に相似と平行を確かめ、その後BCを計算します。最初からDE∥BCを根拠にしないでください。
生徒の図へ条件を書く。AB=16,AC=24cm、AD/AB=6/16=3/8、AE/AC=9/24=3/8。∠DAE=∠BACは同じ二半直線の間の角。二辺比と間の角から△ADE∽△ABC、∠ADE=∠ABCなので同位角の逆でDE∥BC。7.5/BC=3/8よりBC=20cm。6/16=9/24=7.5/20=3/8と確認する。
生徒の図、比と共通の間の角を根拠に先に相似を示す順、平行を導く理由、比例式とBC20cm・元の比での確認を見ます。
点がA,B,DとA,C,Eの順に並び、BC∥DEです。AB=8,BD=4,AC=10,BC=14cm。延長を示す自分の図を描き、対応する三角形と比例式からAE,CE,DEを求めます。全体と延長部分の違いを式で示してください。
生徒の図へA,B,DとA,C,Eの順・平行を書く。共通の角と平行線の同位角から△ABC∽△ADE。AD=8+4=12cm、AB/AD=8/12=2/3。10/AE=2/3からAE=15cm、CE=15−10=5cm。14/DE=2/3からDE=21cm。8/12=10/15=14/21、CEは全体15から元の10を引いた長さと確かめる。
生徒の延長図・対応と根拠、ADの加算、比例式と計算、AE15/CE5/DE21cm、全体と延長部分の区別・三比確認を見ます。
二直線がOで交わり、A,O,CとB,O,Dの順で、A,O,Bは一直線上になくAB∥CDです。AO=4,CO=10,OB=6,AB=8cm。交差する自分の図に条件と対応を書き、相似の根拠と比例式からOD,CDを求めます。元の三比をそろえて確認してください。
生徒の交差図へ点順と平行を書く。∠AOB=∠CODは対頂角、∠BAO=∠DCOは平行線の錯角なので△AOB∽△COD。AO/CO=4/10=2/5。6/OD=2/5からOD=15cm、8/CD=2/5からCD=20cm。4/10=6/15=8/20=2/5と確認する。
生徒の交差図・点順、対頂角と錯角による対応、同じ向きの二比例式、OD15/CD20cm、三比の確認を見ます。
三平行線l,m,nと二直線の交点が一方でA,B,C、他方でD,E,Fの順です。AとD、BとE、CとFは同じ平行線上で、AB=4,BC=7,DE=6cmです。自分の図に対応する区間を書き、比例式からEFとDFを求めます。ACも求め、全体どうしの比でも確認してください。
生徒の図に三平行線と二つの点順、同じ区間ABとDE、BCとEFを書く。平行線と線分の比より4/7=6/EF、4EF=42でEF=10.5cm。DF=6+10.5=16.5cm、AC=4+7=11cm。AB/DE=4/6=2/3、BC/EF=7/10.5=2/3、AC/DF=11/16.5=2/3と確認する。
生徒の三平行線図と区間対応、使う性質・比例式と実際の計算、EF10.5/DF16.5/AC11cm、部分と全体の三比確認を見ます。
△ABCでM,NはそれぞれAB,ACの中点、AB=14,AC=18,BC=19cmです。自分の図に中点の条件を書き、AM,AN,MNを求めます。なぜMNがBCの半分になるかを、辺の比と共通の間の角から説明し、平行も示してください。
生徒の図にA,M,BとA,N,Cの順、中点を書く。AM=14/2=7cm、AN=18/2=9cm、AM/AB=AN/AC=1/2。共通の間の角から△AMN∽△ABC。よってMN/BC=1/2でMN=19/2=9.5cm。対応する同位角が等しいのでMN∥BC。7/14=9/18=9.5/19=1/2と確認する。
生徒の中点図、AM7/AN9/MN9.5cm、二辺比と間の角からの相似、半分の計算と平行の理由・三比確認を見ます。
凸四角形ABCDの辺AB,BC,CD,DAの中点を順にE,F,G,Hとし、対角線AC=18,BD=14cmです。対角線と中点を書いた自分の図を描き、四つの三角形で中点連結定理を使ってEF,FG,GH,HEを求めます。四角形EFGHの周の長さを計算し、各辺がどちらの対角線の半分かを説明してください。
生徒の図へ二対角線と四中点を書く。△ABCと△CDAでEF=GH=AC/2=9cm、△BCDと△DABでFG=HE=BD/2=7cm。各々の三角形の二辺の中点を結ぶので、それぞれ対応する対角線に平行で半分。周は9+7+9+7=32cm。EFとGHをBDの半分にはしない。
生徒の凸四角形・二対角線・四中点の図、四つの三角形と対応する対角線、9/7/9/7cmと周32cmの計算、半分になる理由を見ます。
三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD=4,DB=6,AE=8,BC=15cmです。ある人は「AD:DB=2:3なのでAE:AC=2:3、AC=12cm、EC=4cm」と書きました。自分の図に部分と全体を記し、誤った対応を説明してEC,AC,DEを正しく計算します。二種類の比で確認してください。
生徒の図にA,D,BとA,E,Cの順と条件を書く。AD/DBは部分どうしなのでAE/ECに対応する。4/6=8/ECからEC=12cm、AC=8+12=20cm。AB=10cm、△ADE∽△ABCよりDE/15=4/10=2/5なのでDE=6cm。4/6=8/12=2/3、4/10=8/20=6/15=2/5と確認する。ACを分母にするならADではABとの比を使う。
生徒の部分・全体の図、AE/ACを誤りとする理由、正しい比例式とEC12/AC20/DE6cm、部分比と全体比の二つの確認を見ます。
2以上5以下の整数rと3以上6以下の整数sを一つずつ選びます。三角形ABCで、D、Eはそれぞれ辺AB、ACの両端を除く部分にあり、DE∥BC、AD=2r,DB=2s,AE=3r,EC=3s,BC=4(r+s)cmとする独自の数値問題を作ります。自分の数を入れた自分の図へ条件を書き、相似の対応・比例式・計算からAB,AC,DEを求め、部分どうしと全体どうしの比をそれぞれ確認してください。
作例r=3,s=4ではAD6,DB8,AE9,EC12,BC28cm。生徒の図へ点順・平行・各数値を書く。AB=14cm、AC=21cm。共通の角と平行線の同位角から△ADE∽△ABC、DE/28=6/14=3/7よりDE=12cm。部分比6/8=9/12=3/4、全体比6/14=9/21=12/28=3/7。三辺14,21,28cmは三角形を作れる。別の条件内r,sも生徒の具体的な図・計算・二種類の確認がそろえば認める。
生徒が選んだr,s、実際の点順・平行・数値の図、ABとACの和、相似からの比例式とDEの計算・単位、実数値での部分比と全体比を確認する。一般式や完成した数値だけでは生徒の作例の完了にしない。