中3 数学：相似な図形の面積比の練習問題
長さの比と面積の比を分け、対応する二方向が変わる理由を説明します。準備14問と、自分の図・式・単位を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3B(1)ア(イ)、冊子145〜146/PDF149〜150の、相似な平面図形の面積比は相似比の二乗であるという本文を踏まえた独自課題です。現行出版社の指導計画にも、三角形の底辺と高さからの説明、多角形を三角形に分ける考察、円や具体的な面積の計算が示されています。数値・図版・問題配列は写しません。092の長さの比、094の体積の比とは、ここでは面積の計算と二乗の理由で分けます。
解説を読む
対応する長さがk倍になる相似な平面図形では、面積はk²倍です。三角形なら底辺も対応する高さもk倍になり、底辺×高さ÷2の二つの長さに同じ倍率がかかります。長さや周の比と混ぜず、どちらの図形をもとにした比かを図へ書きます。面積の比だけから図形が相似だと決めることはできません。
必要な予備知識
相似の意味と対応、比と分数・小数、二乗と正の平方根、三角形・長方形・円の面積。内部の相似三角形では平行線と線分の比も確認します。体積比や三角比は使いません。
- 相似な図形A,Bの対応する長さの比がm:nなら、面積の比はm²:n²です。比を数で表すとS_A/S_B=(m/n)²です。
- 三角形では対応する底辺と高さが同じ倍率になるため、面積の式の二つの長さに倍率がかかります。周の長さには一つ分、面積には二乗がかかります。
- 多角形を対応する三角形に分けると、各三角形の面積が同じk²倍になり、全体の和もk²倍です。相似である条件を先に確かめます。
- 二つの円は相似です。半径や直径、円周の比は長さの比であり、面積πr²の比ではその比を二乗します。πは比では約分できます。
- 内部の相似三角形で小:全体の面積比がa:bなら、残りの面積は全体から小を引きます。小:残りをa:bのままにはしません。
- 面積比から長さの比に戻すときは、長さが正であることを使い、正の平方根を取ります。負の長さや体積の三乗を混ぜません。
- 同じ高さの三角形の面積比は底辺の比です。この場合は相似だと仮定していないため、底辺の比を自動的に二乗しません。
- 縮尺の長さは同じ単位にそろえて二乗し、面積の単位変換も別に行います。面積が同じことや一組の辺の比だけでは相似を結論にしません。
解き方の例
相似な図形A:Bの長さの比が2:5でAの面積が8cm²なら、面積比は4:25です。8/S_B=4/25からS_B=50cm²。長さの比2:5をそのまま面積へ使う20cm²ではありません。底辺も対応する高さも5/2倍になるため、面積は25/4倍です。
相似な図形A:Bの面積比が16:81なら、正の長さの比は4:9です。対応する長さは√16:√81で、−4:9を長さの比にしません。面積の条件に加えて相似だと分かっているから、対応する辺や周の比へ戻せます。
よくある間違い
- 長さの比を二乗せず、そのまま面積の比にする。
- 比の向きを途中で逆にし、小さい図形の面積を大きくする。
- 対応する底辺だけを変え、対応する高さの変化を見落とす。
- 小と全体の面積比を、小と残りの比だと思う。
- 面積が等しいだけで合同や相似と決める。
- 同じ高さの三角形へ、相似と確認せず二乗の公式を使う。
- 面積比から負の長さの比を答える。
- cm²からm²への変換を長さと同じ100で割る。
考え方を説明する
準備14問は比や数値の足場です。主課題は生徒が自分の図に対応と条件を書き、同じ向きの長さ比・面積比、底辺と高さなど二方向の倍率による理由、実際の面積の式・計算・単位・確認を手動で示します。T1は三角形の底辺と高さ、T2はL字多角形、T3は円、T4は小と残り、T5は辺の部分比から全体比、T6は縮尺と単位、T7は面積比からの逆算、T8は同じ面積でも相似でない反例、T9は二乗を落とした式の修正、T10は生徒の数値と図による作例です。正しい分割・同値な比・分数や小数の別表現も認めます。
生徒の図・二乗の理由・計算と単位は紙や既存の授業用ボードへ実際に書き、講師が手動確認します。自由な図や説明の自動採点は行いません。図の見た目を測って答える教材ではありません。数値は独自の設定で実測や学習効果の記録ではなく、生徒の試用や母語話者の校閲も未実施です。
練習する
準備の数値や選択は足場です。主課題は自分の図へ対応・長さの比・面積の比を分け、二乗の理由、実際の計算と面積の単位を紙や既存の授業用ボードへ書き、講師が手動確認します。比や値だけで理由の説明を完了にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
相似な平面図形A:Bの長さの比が2:3です。面積比A:Bの比の値（S_A÷S_B）を答えてください。
答えと解説
S_A/S_B=(2/3)²=4/9です。
相似な平面図形A:Bの長さの比が3:5で、Aの面積は18cm²です。Bの面積は何cm²ですか。
答えと解説
50
面積比は9:25なので18×25/9=50cm²です。
相似拡大で対応する長さを1.5倍にします。元の面積が12cm²なら拡大後は何cm²ですか。
答えと解説
27
面積は1.5²=2.25倍なので12×2.25=27cm²です。
相似な図形A:Bの長さの比が4:7で、Bの面積は98cm²です。Aの面積は何cm²ですか。
答えと解説
32
面積比は16:49なので98×16/49=32cm²です。
相似な平面図形A:Bの面積比が9:16です。対応する長さの比A:Bの比の値（Aの長さ÷Bの長さ）を答えてください。
答えと解説
長さは正なので√9/√16=3/4です。
相似縮小で対応する長さを0.4倍にします。面積は元の何倍ですか。
答えと解説
面積は0.4²=0.16=4/25倍です。
半径が5cmと8cmの円A,Bです。面積比A:Bの比の値（S_A÷S_B）を答えてください。
答えと解説
25π/(64π)=25/64です。
円A,Bの円周の比が3:7です。面積比A:Bの比の値（S_A÷S_B）を答えてください。
答えと解説
円周の比は半径の比と同じ3:7なので面積比は9:49です。
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BC、AD/AB=2/5です。△ABCの面積が75cm²なら△ADEの面積は何cm²ですか。
図を準備しています。
答えと解説
12
△ADE∽△ABCで面積比は4:25。75×4/25=12cm²です。
△ABCの中に相似な△ADEがあり、面積の比ADE:ABCは4:25です。ABCの面積が75cm²なら、ABCからADEを除いた残りは何cm²ですか。
答えと解説
63
小は75×4/25=12cm²なので、残りは75−12=63cm²です。
長方形Aは4cm×6cm、長方形Bは6cm×7cmです。「一組の辺が4:6なので面積比は4:9」という判断はどうですか。
- どの長方形にも使える
- 相似を確認できず、その二乗を根拠にできない
- 面積比は必ず2:3
- 面積比は必ず1:1
答えと解説
相似を確認できず、その二乗を根拠にできない
対応を4と6、6と7とすると二比2/3と6/7は異なり、逆向きの対応でも比はそろいません。実際の面積比は24:42=4:7です。
同じ高さの二つの三角形の底辺の比が2:3です。相似という条件は与えられていません。面積比はどれですか。
- 4:9
- 8:27
- 2:3
- 1:1
答えと解説
2:3
面積=底辺×同じ高さ÷2なので、面積比は底辺の比2:3です。
相似拡大で対応する長さを2倍にしたとき、面積は何倍ですか。
- 2倍
- 4倍
- 8倍
- 1/2倍
答えと解説
4倍
底辺も対応する高さも2倍になるので面積は2×2=4倍です。
相似な平面図形A:Bの面積比が4:25です。正の長さの比はどれですか。
- 4:25
- 25:4
- 2:5
- 5:2
答えと解説
2:5
正の平方根から長さの比は2:5です。
考え方を説明する
相似な直角三角形A,Bで、対応する底辺と高さはAが4cmと6cm、Bが10cmと15cmです。二つの自分の図に直角・対応する底辺と高さを書き、各面積と面積比を計算します。長さの比が二回かかることを面積の式から説明し、同じ向きの比で確かめてください。
答えと解説
生徒の二図へ対応と直角を書く。長さの比は4/10=6/15=2/5。面積S_A=4×6/2=12cm²、S_B=10×15/2=75cm²。S_A/S_B=12/75=4/25=(2/5)²。底辺と高さがそれぞれ5/2倍になるため、面積は25/4倍。係数1/2は比で約分される。
生徒の直角三角形の図と底辺・高さの対応、12/75cm²の実計算、長さ2:5と面積4:25の区別、二方向と面積の式による理由・確認を見ます。
L字形Aは一辺6cmの正方形の右上から一辺4cmの正方形を取り除いた形です。L字形Bは全ての対応する長さを1.5倍にした相似拡大です。自分の二図へ外側と切り取る正方形の辺を書き、両方の面積と比を計算します。差で求めても二乗の倍率になる理由を式で説明してください。
答えと解説
生徒の二つのL字図でAの外6・除く4cm、Bの外9・除く6cmを対応させる。S_A=6²−4²=36−16=20cm²、S_B=9²−6²=81−36=45cm²。S_B=1.5²(6²−4²)=2.25×20=45cm²。A:Bの長さは2:3、面積は20:45=4:9。外側と除く部分の両方に同じ二乗がかかる。
生徒のL字二図と二つの辺の対応、20/45cm²の差の計算、外側・除く部分とも二乗になる式、長さ2:3と面積4:9の確認を見ます。
円A,Bの半径はそれぞれ3cmと5cmです。自分の二円の図に半径を記し、円周と面積をπを用いてそれぞれ求めます。長さの比と面積の比を分け、面積比でπがどう扱われるかを式で説明してください。
答えと解説
生徒の二円に半径3,5cmを書く。円周は6π,10πcmで比3:5。面積は9π,25πcm²で比9:25。(π×3²)/(π×5²)=9/25なのでπは約分され、半径の比3/5が二乗される。円周を二乗せずに面積として使わない。
生徒の二円と半径、円周6π/10πcmと面積9π/25πcm²、二つの比・πの約分と二乗の説明を確認する。
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BC、AD=6,AB=10cmです。△ABCの面積は125cm²。自分の図へ条件を書き、小さい△ADEと、ABCからADEを除いた残りの面積を求めます。小:全体と小:残りの面積比をそれぞれ示してください。
答えと解説
生徒の図で小と全体を区別する。平行線の角から△ADE∽△ABC、長さの比は6/10=3/5。面積比は9/25なので小は125×9/25=45cm²、残りは125−45=80cm²。小:全体=45:125=9:25、小:残り=45:80=9:16。残りを小と相似だと仮定せず差を使う。
生徒の図・平行からの相似と長さ3:5、二乗と45/80cm²の計算、9:25と9:16を区別する理由と確認を見ます。
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BC、AD:DB=2:3です。△ABCの面積は75cm²。自分の図で部分と全体を区別し、AD:AB、ADE:ABCの面積比、小と残りの面積を求めて、なぜ(2/3)²を使わないか説明してください。
答えと解説
生徒の図にADの2こ分、DBの3こ分、ABの5こ分を書く。△ADE∽△ABCの対応はADとABなので長さの比2:5、面積比4:25。小は75×4/25=12cm²、残りは63cm²。2:3はADとDBの部分比であり、対応する相似三角形の辺ADとABの比ではない。12/75=4/25と確認する。
生徒の部分・全体の図、2:5へ直す理由、4:25と12/63cm²の計算、誤った二乗の対象を具体的に説明したかを見ます。
縮尺1:500の平面図で、ある敷地を表す図形の面積は24cm²です。平面図と実際の敷地の形は相似で、長さの縮尺は同じ単位で定めています。自分の模式図へ長さと面積の関係を書き、実際の面積をcm²とm²の両方で求めます。倍率と単位変換を別々に説明してください。
答えと解説
生徒の図で図上の長さ1cmに実際500cmが対応すると書く。実際の面積は500²=250000倍なので24×250000=6000000cm²。1m²=10000cm²より6000000/10000=600m²。長さの500倍と面積の250000倍、cm²からm²の10000分の1を区別する。
生徒の図の同単位の縮尺、500²と6000000cm²の実計算、1m²=10000cm²から600m²への変換、倍率と単位の区別を見ます。
相似な二つの長方形A,Bの面積は18cm²と50cm²で、Bの周の長さは30cmです。自分の図へ対応と面積を書き、正の長さの比を求めてAの周を計算します。面積の比をそのまま周へ使わない理由と、二乗で戻す確認も示してください。
答えと解説
生徒の図でA:Bをそろえる。面積比18:50=9:25なので、正の長さの比は3:5。対応する全ての辺と周は同じ比になり、Aの周は30×3/5=18cm。確認は(3/5)²=9/25=18/50。周は長さの和なので面積比9/25を直接かけない。作図の一例ならA3×6cm、B5×10cmが条件を満たす。
生徒の二長方形の対応、面積比9:25から正の長さ比3:5、周18cmの計算と理由、二乗による面積比への確認を見ます。
長方形Aは2cm×8cm、Bは4cm×4cmです。ある人は「面積が同じだから相似比は1:1」と言いました。自分の二図と面積の計算を書き、辺の対応を二通り確かめて、この結論が成り立たない理由を説明してください。
答えと解説
生徒の二図へ辺を書く。面積はどちらも16cm²だが、Aの短辺2とBの4の比は1/2、Aの長辺8とBの残る4の比は2でそろわない。Bは二辺とも4なので対応を入れ替えても1/2と2のまま。相似の条件を満たさず、面積1:1だけから長さ1:1や相似を結論にできない。
生徒の二図と両面積16cm²、二通りの対応でも比がそろわない具体計算、面積から相似を逆に決められない説明を見ます。
相似な図形A:Bの長さの比が3:4で、Aの面積は27cm²です。ある人は「27×4/3=36cm²がBの面積」と書きました。底辺と高さの変わり方を示す自分の図を描き、式を直してBの面積を求め、元の比で確かめてください。
答えと解説
生徒の図で対応する底辺と高さがともに4/3倍になることを書く。面積は(4/3)²=16/9倍なのでS_B=27×16/9=48cm²。確認は27/48=9/16=(3/4)²。36は一方向の倍率しかかけていない。具体的な図ならA3×9cm、B4×12cmの長方形でも説明できる。
生徒の二方向の図、長さ比3:4と面積比9:16、48cm²への訂正と計算、一方向だけの誤りの説明・確認を見ます。
2以上5以下の整数rと2以上4以下の整数sを一つずつ選びます。長方形Aの辺を2r,3rcm、Bの辺を2(r+s),3(r+s)cmとして、自分で選んだ具体的な数で二図を描いてください。相似を確かめ、各面積と長さの比・面積の比を求め、二乗になる理由を式で説明します。一般式だけではなく選んだ数での計算を残してください。
答えと解説
作例r=3,s=2ならA6×9cm、B10×15cm。生徒の二図へ対応を書く。6/10=9/15=3/5で両方の間の角は直角なので相似。面積は54cm²と150cm²、比54:150=9:25=(3:5)の各項の二乗。面積の積6×9と10×15で二つの長さの倍率がかかる。別の条件内r,sも具体的な図・面積・二比・理由を確認する。
生徒のr,sと具体的な二長方形の図、対応する二比と直角による相似、両面積と単位、長さ比・二乗の面積比・生徒の式による説明を確認する。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3B(1)ア(イ)、冊子145〜146/PDF149〜150の、相似な平面図形の面積比は相似比の二乗であるという本文を踏まえた独自課題です。現行出版社の指導計画にも、三角形の底辺と高さからの説明、多角形を三角形に分ける考察、円や具体的な面積の計算が示されています。数値・図版・問題配列は写しません。092の長さの比、094の体積の比とは、ここでは面積の計算と二乗の理由で分けます。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
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この練習問題を保存ワークシート: 相似な平面図形の面積比を二乗の理由から求める
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/explain-squared-area-ratios-of-similar-plane-figures/
準備14問は比や数値の足場です。主課題は生徒が自分の図に対応と条件を書き、同じ向きの長さ比・面積比、底辺と高さなど二方向の倍率による理由、実際の面積の式・計算・単位・確認を手動で示します。T1は三角形の底辺と高さ、T2はL字多角形、T3は円、T4は小と残り、T5は辺の部分比から全体比、T6は縮尺と単位、T7は面積比からの逆算、T8は同じ面積でも相似でない反例、T9は二乗を落とした式の修正、T10は生徒の数値と図による作例です。正しい分割・同値な比・分数や小数の別表現も認めます。
相似な平面図形A:Bの長さの比が2:3です。面積比A:Bの比の値（S_A÷S_B）を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似な平面図形A:Bの長さの比が3:5で、Aの面積は18cm²です。Bの面積は何cm²ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似拡大で対応する長さを1.5倍にします。元の面積が12cm²なら拡大後は何cm²ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似な図形A:Bの長さの比が4:7で、Bの面積は98cm²です。Aの面積は何cm²ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似な平面図形A:Bの面積比が9:16です。対応する長さの比A:Bの比の値（Aの長さ÷Bの長さ）を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似縮小で対応する長さを0.4倍にします。面積は元の何倍ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
半径が5cmと8cmの円A,Bです。面積比A:Bの比の値（S_A÷S_B）を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円A,Bの円周の比が3:7です。面積比A:Bの比の値（S_A÷S_B）を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BC、AD/AB=2/5です。△ABCの面積が75cm²なら△ADEの面積は何cm²ですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCの中に相似な△ADEがあり、面積の比ADE:ABCは4:25です。ABCの面積が75cm²なら、ABCからADEを除いた残りは何cm²ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
長方形Aは4cm×6cm、長方形Bは6cm×7cmです。「一組の辺が4:6なので面積比は4:9」という判断はどうですか。
- どの長方形にも使える
- 相似を確認できず、その二乗を根拠にできない
- 面積比は必ず2:3
- 面積比は必ず1:1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ高さの二つの三角形の底辺の比が2:3です。相似という条件は与えられていません。面積比はどれですか。
- 4:9
- 8:27
- 2:3
- 1:1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似拡大で対応する長さを2倍にしたとき、面積は何倍ですか。
- 2倍
- 4倍
- 8倍
- 1/2倍
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似な平面図形A:Bの面積比が4:25です。正の長さの比はどれですか。
- 4:25
- 25:4
- 2:5
- 5:2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
相似な直角三角形A,Bで、対応する底辺と高さはAが4cmと6cm、Bが10cmと15cmです。二つの自分の図に直角・対応する底辺と高さを書き、各面積と面積比を計算します。長さの比が二回かかることを面積の式から説明し、同じ向きの比で確かめてください。
L字形Aは一辺6cmの正方形の右上から一辺4cmの正方形を取り除いた形です。L字形Bは全ての対応する長さを1.5倍にした相似拡大です。自分の二図へ外側と切り取る正方形の辺を書き、両方の面積と比を計算します。差で求めても二乗の倍率になる理由を式で説明してください。
円A,Bの半径はそれぞれ3cmと5cmです。自分の二円の図に半径を記し、円周と面積をπを用いてそれぞれ求めます。長さの比と面積の比を分け、面積比でπがどう扱われるかを式で説明してください。
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BC、AD=6,AB=10cmです。△ABCの面積は125cm²。自分の図へ条件を書き、小さい△ADEと、ABCからADEを除いた残りの面積を求めます。小:全体と小:残りの面積比をそれぞれ示してください。
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BC、AD:DB=2:3です。△ABCの面積は75cm²。自分の図で部分と全体を区別し、AD:AB、ADE:ABCの面積比、小と残りの面積を求めて、なぜ(2/3)²を使わないか説明してください。
縮尺1:500の平面図で、ある敷地を表す図形の面積は24cm²です。平面図と実際の敷地の形は相似で、長さの縮尺は同じ単位で定めています。自分の模式図へ長さと面積の関係を書き、実際の面積をcm²とm²の両方で求めます。倍率と単位変換を別々に説明してください。
相似な二つの長方形A,Bの面積は18cm²と50cm²で、Bの周の長さは30cmです。自分の図へ対応と面積を書き、正の長さの比を求めてAの周を計算します。面積の比をそのまま周へ使わない理由と、二乗で戻す確認も示してください。
長方形Aは2cm×8cm、Bは4cm×4cmです。ある人は「面積が同じだから相似比は1:1」と言いました。自分の二図と面積の計算を書き、辺の対応を二通り確かめて、この結論が成り立たない理由を説明してください。
相似な図形A:Bの長さの比が3:4で、Aの面積は27cm²です。ある人は「27×4/3=36cm²がBの面積」と書きました。底辺と高さの変わり方を示す自分の図を描き、式を直してBの面積を求め、元の比で確かめてください。
2以上5以下の整数rと2以上4以下の整数sを一つずつ選びます。長方形Aの辺を2r,3rcm、Bの辺を2(r+s),3(r+s)cmとして、自分で選んだ具体的な数で二図を描いてください。相似を確かめ、各面積と長さの比・面積の比を求め、二乗になる理由を式で説明します。一般式だけではなく選んだ数での計算を残してください。
解答: 相似な平面図形の面積比を二乗の理由から求める
S_A/S_B=(2/3)²=4/9です。
50
面積比は9:25なので18×25/9=50cm²です。
27
面積は1.5²=2.25倍なので12×2.25=27cm²です。
32
面積比は16:49なので98×16/49=32cm²です。
長さは正なので√9/√16=3/4です。
面積は0.4²=0.16=4/25倍です。
25π/(64π)=25/64です。
円周の比は半径の比と同じ3:7なので面積比は9:49です。
12
△ADE∽△ABCで面積比は4:25。75×4/25=12cm²です。
63
小は75×4/25=12cm²なので、残りは75−12=63cm²です。
相似を確認できず、その二乗を根拠にできない
対応を4と6、6と7とすると二比2/3と6/7は異なり、逆向きの対応でも比はそろいません。実際の面積比は24:42=4:7です。
2:3
面積=底辺×同じ高さ÷2なので、面積比は底辺の比2:3です。
4倍
底辺も対応する高さも2倍になるので面積は2×2=4倍です。
2:5
正の平方根から長さの比は2:5です。
記述問題の解答・確認の観点
相似な直角三角形A,Bで、対応する底辺と高さはAが4cmと6cm、Bが10cmと15cmです。二つの自分の図に直角・対応する底辺と高さを書き、各面積と面積比を計算します。長さの比が二回かかることを面積の式から説明し、同じ向きの比で確かめてください。
生徒の二図へ対応と直角を書く。長さの比は4/10=6/15=2/5。面積S_A=4×6/2=12cm²、S_B=10×15/2=75cm²。S_A/S_B=12/75=4/25=(2/5)²。底辺と高さがそれぞれ5/2倍になるため、面積は25/4倍。係数1/2は比で約分される。
生徒の直角三角形の図と底辺・高さの対応、12/75cm²の実計算、長さ2:5と面積4:25の区別、二方向と面積の式による理由・確認を見ます。
L字形Aは一辺6cmの正方形の右上から一辺4cmの正方形を取り除いた形です。L字形Bは全ての対応する長さを1.5倍にした相似拡大です。自分の二図へ外側と切り取る正方形の辺を書き、両方の面積と比を計算します。差で求めても二乗の倍率になる理由を式で説明してください。
生徒の二つのL字図でAの外6・除く4cm、Bの外9・除く6cmを対応させる。S_A=6²−4²=36−16=20cm²、S_B=9²−6²=81−36=45cm²。S_B=1.5²(6²−4²)=2.25×20=45cm²。A:Bの長さは2:3、面積は20:45=4:9。外側と除く部分の両方に同じ二乗がかかる。
生徒のL字二図と二つの辺の対応、20/45cm²の差の計算、外側・除く部分とも二乗になる式、長さ2:3と面積4:9の確認を見ます。
円A,Bの半径はそれぞれ3cmと5cmです。自分の二円の図に半径を記し、円周と面積をπを用いてそれぞれ求めます。長さの比と面積の比を分け、面積比でπがどう扱われるかを式で説明してください。
生徒の二円に半径3,5cmを書く。円周は6π,10πcmで比3:5。面積は9π,25πcm²で比9:25。(π×3²)/(π×5²)=9/25なのでπは約分され、半径の比3/5が二乗される。円周を二乗せずに面積として使わない。
生徒の二円と半径、円周6π/10πcmと面積9π/25πcm²、二つの比・πの約分と二乗の説明を確認する。
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BC、AD=6,AB=10cmです。△ABCの面積は125cm²。自分の図へ条件を書き、小さい△ADEと、ABCからADEを除いた残りの面積を求めます。小:全体と小:残りの面積比をそれぞれ示してください。
生徒の図で小と全体を区別する。平行線の角から△ADE∽△ABC、長さの比は6/10=3/5。面積比は9/25なので小は125×9/25=45cm²、残りは125−45=80cm²。小:全体=45:125=9:25、小:残り=45:80=9:16。残りを小と相似だと仮定せず差を使う。
生徒の図・平行からの相似と長さ3:5、二乗と45/80cm²の計算、9:25と9:16を区別する理由と確認を見ます。
△ABCでA,D,BとA,E,Cの順、DE∥BC、AD:DB=2:3です。△ABCの面積は75cm²。自分の図で部分と全体を区別し、AD:AB、ADE:ABCの面積比、小と残りの面積を求めて、なぜ(2/3)²を使わないか説明してください。
生徒の図にADの2こ分、DBの3こ分、ABの5こ分を書く。△ADE∽△ABCの対応はADとABなので長さの比2:5、面積比4:25。小は75×4/25=12cm²、残りは63cm²。2:3はADとDBの部分比であり、対応する相似三角形の辺ADとABの比ではない。12/75=4/25と確認する。
生徒の部分・全体の図、2:5へ直す理由、4:25と12/63cm²の計算、誤った二乗の対象を具体的に説明したかを見ます。
縮尺1:500の平面図で、ある敷地を表す図形の面積は24cm²です。平面図と実際の敷地の形は相似で、長さの縮尺は同じ単位で定めています。自分の模式図へ長さと面積の関係を書き、実際の面積をcm²とm²の両方で求めます。倍率と単位変換を別々に説明してください。
生徒の図で図上の長さ1cmに実際500cmが対応すると書く。実際の面積は500²=250000倍なので24×250000=6000000cm²。1m²=10000cm²より6000000/10000=600m²。長さの500倍と面積の250000倍、cm²からm²の10000分の1を区別する。
生徒の図の同単位の縮尺、500²と6000000cm²の実計算、1m²=10000cm²から600m²への変換、倍率と単位の区別を見ます。
相似な二つの長方形A,Bの面積は18cm²と50cm²で、Bの周の長さは30cmです。自分の図へ対応と面積を書き、正の長さの比を求めてAの周を計算します。面積の比をそのまま周へ使わない理由と、二乗で戻す確認も示してください。
生徒の図でA:Bをそろえる。面積比18:50=9:25なので、正の長さの比は3:5。対応する全ての辺と周は同じ比になり、Aの周は30×3/5=18cm。確認は(3/5)²=9/25=18/50。周は長さの和なので面積比9/25を直接かけない。作図の一例ならA3×6cm、B5×10cmが条件を満たす。
生徒の二長方形の対応、面積比9:25から正の長さ比3:5、周18cmの計算と理由、二乗による面積比への確認を見ます。
長方形Aは2cm×8cm、Bは4cm×4cmです。ある人は「面積が同じだから相似比は1:1」と言いました。自分の二図と面積の計算を書き、辺の対応を二通り確かめて、この結論が成り立たない理由を説明してください。
生徒の二図へ辺を書く。面積はどちらも16cm²だが、Aの短辺2とBの4の比は1/2、Aの長辺8とBの残る4の比は2でそろわない。Bは二辺とも4なので対応を入れ替えても1/2と2のまま。相似の条件を満たさず、面積1:1だけから長さ1:1や相似を結論にできない。
生徒の二図と両面積16cm²、二通りの対応でも比がそろわない具体計算、面積から相似を逆に決められない説明を見ます。
相似な図形A:Bの長さの比が3:4で、Aの面積は27cm²です。ある人は「27×4/3=36cm²がBの面積」と書きました。底辺と高さの変わり方を示す自分の図を描き、式を直してBの面積を求め、元の比で確かめてください。
生徒の図で対応する底辺と高さがともに4/3倍になることを書く。面積は(4/3)²=16/9倍なのでS_B=27×16/9=48cm²。確認は27/48=9/16=(3/4)²。36は一方向の倍率しかかけていない。具体的な図ならA3×9cm、B4×12cmの長方形でも説明できる。
生徒の二方向の図、長さ比3:4と面積比9:16、48cm²への訂正と計算、一方向だけの誤りの説明・確認を見ます。
2以上5以下の整数rと2以上4以下の整数sを一つずつ選びます。長方形Aの辺を2r,3rcm、Bの辺を2(r+s),3(r+s)cmとして、自分で選んだ具体的な数で二図を描いてください。相似を確かめ、各面積と長さの比・面積の比を求め、二乗になる理由を式で説明します。一般式だけではなく選んだ数での計算を残してください。
作例r=3,s=2ならA6×9cm、B10×15cm。生徒の二図へ対応を書く。6/10=9/15=3/5で両方の間の角は直角なので相似。面積は54cm²と150cm²、比54:150=9:25=(3:5)の各項の二乗。面積の積6×9と10×15で二つの長さの倍率がかかる。別の条件内r,sも具体的な図・面積・二比・理由を確認する。
生徒のr,sと具体的な二長方形の図、対応する二比と直角による相似、両面積と単位、長さ比・二乗の面積比・生徒の式による説明を確認する。