中3 数学：円周角と中心角の練習問題
どちらの弧に対する角かを図に示し、半分・二倍の関係から角を計算します。準備14問と自分の図・計算・理由を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3B(2)ア(ア)、冊子147〜148/PDF151〜152の円周角と中心角の意味、同じ弧の円周角、直径に対する角を踏まえた独自課題です。現行出版社の指導計画と公式要点でも、指定した弧と頂点、半分の関係と直径が扱われています。出版社の数値・配列・図版は写しません。ここでは角度の計算と使用した性質を中心に扱い、円周角の定理やその逆を使った完全な証明は次のテーマで扱います。
解説を読む
同じ二点A,Bを端とする弧は二つあります。円周角∠APBが見込むのは、頂点Pを含まない方の弧ABです。中心角もその同じ弧に合わせます。小さい角に限らず、180°を超える側の中心角を使うこともあります。図へ弧と頂点、与えた角と未知の角を書いてから計算します。
必要な予備知識
角度、三角形の内角の和、二等辺三角形の底角、円の中心・半径・直径、一次方程式。円周上の頂点は弧の両端と異なる点です。一般の三角比や三平方の定理は使いません。
- 弧ABを一つ指定したとき、その弧に対する円周角の頂点Pは、A,Bと異なり、指定した弧とは別の弧AB上（A、Bを除く）にあります。∠APBが見込むのはPを含まない弧ABです。
- 同じ弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分です。中心角を求めるときは円周角を二倍にします。小さい側の中心角を常に選ぶわけではありません。
- 同じ弧ABを見込む二つの円周角は等しくなります。単に端点A,Bが同じだけでは、頂点が反対側の弧にある角を等しいとはいえません。
- 一周は360°です。同じ弦の両側の弧に対する中心角の和は360°で、その二つの弧をそれぞれ見込む円周角の和は180°です。
- 直径の両端を結ぶ半円に対する中心角は180°なので、直径に対する円周角は90°です。頂点は直径の両端以外の円周上にあります。
- 同じ円で、等しい弧に対する中心角どうし、円周角どうしは、それぞれ等しくなります。弧が続いていて、一つの円周角の内側に中間の半直線があるときは、分けた二つの角の和も使えます。
- 半径は等しいので、中心と二つの円周上の点からなる三角形は二等辺三角形です。内角の和や直線の角も使い、どの弧を見込む円周角かへ戻ります。
- 式に未知数があるときは、同じ弧に対する中心角=2×円周角の式を先に書きます。求めた値を元の二つの式へ代入し、角の範囲と二倍の関係を確認します。
解き方の例
指定した小さい弧ABに対する中心角が134°で、Pはもう一方の弧AB上（A、Bを除く）にあるとします。∠APB=134÷2=67°です。同じ弧ABを見込む別の円周角も67°で、二倍すると134°へ戻ります。
指定した大きい弧ABに対する中心角が232°で、Pは残りの小さい弧AB上（A、Bを除く）にあるとします。∠APB=232÷2=116°です。小さい側の中心角128°を半分にした64°は、反対側の弧を見込む別の角です。116+64=180°と確認します。
よくある間違い
- 円周角を二倍せずに、中心角の方を半分にする。
- 指定した弧と違う方の中心角を、必ず小さい方だとして使う。
- 円周角の頂点を、その角が見込む弧の途中に置く。
- 弦の両側にある頂点でも、端点が同じだから角は等しいと決める。
- 直径に対する円周角を180°にする。
- 図を分度器で測った値を、与えられた角の代わりに根拠にする。
- 方程式の解だけを書き、実際の二つの角へ戻さない。
- 生徒の図や計算を残さず、完成した数値だけで終える。
考え方を説明する
準備14問は角度と弧の読み取りの足場です。主課題は生徒の実際の円の図に中心・指定した弧・頂点・既知と未知の角を示し、同じ弧を使う理由、半分や二倍などの式、度付きの全ての答えと元の条件での確認を手動で見ます。T1は同じ弧、T2は二つの弧、T3は大きい弧、T4は直径、T5は一周を分ける三角形、T6は方程式、T7は半径による二等辺三角形、T8は等しい連続する弧、T9は弧の取り違えの修正、T10は生徒の角度と図による作例です。正しい別の配置や計算順も認めます。
図と計算、使った性質は生徒が紙や既存の授業用ボードへ実際に書き、講師が手動確認します。図は模式図で画面を測って答えません。自由な図や説明の自動採点は行いません。数値は独自の設定であり実測記録ではありません。生徒の試用、母語話者の校閲や学習効果は未確認です。
練習する
準備の数値や選択は足場です。主課題は生徒が自分の円の図へ指定した弧・頂点・既知の角と未知の角を書き、使った性質、実際の計算、度を付けた全ての答えと確認を紙や既存の授業用ボードへ残し、講師が手動確認します。数値だけで理由の説明を完了にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
中心Oの円で、小さい弧ABに対する中心角は118°です。Pは、A、Bを端とする大きい弧AB上にあり、A、Bとは異なる点です。∠APBは何度ですか。
図を準備しています。
答えと解説
59
Pを含まない小さい弧ABに対する角なので118÷2=59°です。
円周角∠APB=37°です。Pを含まない弧ABに対する中心角は何度ですか。
図を準備しています。
答えと解説
74
同じ弧に対する中心角は円周角の二倍なので37×2=74°です。
小さい弧ABに対する中心角は156°です。Pは、A、Bを端とする大きい弧AB上にあり、A、Bとは異なる点です。∠APBは何度ですか。
図を準備しています。
答えと解説
78
指定した同じ小さい弧を使い156÷2=78°です。
ABは直径です。PはA,B以外の円周上の点です。∠APBは何度ですか。
図を準備しています。
- 45°
- 90°
- 180°
- 位置だけで変わり一つに決まらない
答えと解説
90°
直径の半円に対する中心角は180°なので円周角は180÷2=90°です。
P,Qは同じ弧ABを見込む二つの頂点です。いずれももう一方の弧AB上（A、Bを除く）にあり、A,Bと異なります。∠APB=42°なら∠AQBは何度ですか。
図を準備しています。
答えと解説
42
同じ指定した弧ABに対する二つの円周角なので∠AQB=∠APB=42°です。
大きい弧ABに対する中心角は246°です。Pは残りの小さい弧AB上（A、Bを除く）にあります。∠APBは何度ですか。
図を準備しています。
答えと解説
123
Pを含まない大きい弧の中心角を半分にし246÷2=123°です。114°を使いません。
円周角∠APB=108°です。Pを含まない弧ABに対する、180°を超える側の中心角は何度ですか。
図を準備しています。
答えと解説
216
同じ弧の中心角は108×2=216°です。小さい側144°とは別です。
小さい弧ABに対する中心角は84°ですが、Pはその小さい弧の途中にあります。∠APBは何度ですか。
図を準備しています。
答えと解説
138
∠APBはPを含まない大きい弧を見込みます。その中心角360−84=276°を半分にして138°です。
ABは直径で、PはA,B以外の円周上の点です。∠PAB=34°のとき、∠PBAは何度ですか。
図を準備しています。
答えと解説
56
∠APB=90°なので三角形の内角の和から180−90−34=56°です。
A,B,Cがこの順で並ぶ弧ACをPは見込んでいます。弧ABの中心角は64°、続く弧BCの中心角は96°です。Pを含まない弧ABCに対する∠APCは何度ですか。
図を準備しています。
答えと解説
80
指定した弧ABCの中心角は64+96=160°。その半分で∠APC=80°です。
同じ弧に対する中心角が(5x−10)°、円周角が(2x+5)°です。xを求めてください。
図を準備しています。
答えと解説
20
5x−10=2(2x+5)からx=20。中心角90°と円周角45°で二倍の関係を満たします。
Pは小さい弧ABを見込み、∠APB=46°です。Qはその小さい弧の途中にあります。∠AQBは何度ですか。
図を準備しています。
答えと解説
134
小さい弧の中心角は92°。Qは反対の大きい弧を見込むので(360−92)÷2=134°です。46+134=180°。
同じ円の弦ABに対し、PとQが直線ABの反対側の円周上にあります。どの説明が正しいですか。
図を準備しています。
- 端点が同じなら円周角は必ず等しい
- 二つの円周角が見込む弧を分け、和が180°になることを確かめる
- 中心Oを通る弦以外では円周角の性質を使えない
- どちらの円周角も必ず90°
答えと解説
二つの円周角が見込む弧を分け、和が180°になることを確かめる
反対側の頂点は二つの異なる弧を見込みます。対応する中心角の和360°の半分で、円周角の和は180°です。等しいとは限りません。
弧ABを一つ指定しましたが、Pはその弧の途中にあります。「指定した弧に対する中心角を半分にすれば∠APB」としてよいですか。
図を準備しています。
- 指定した弧なら頂点の位置は関係しない
- よい。円周角はどの中心角の半分でもある
- いけない。∠APBはPを含まない方の弧に対応する
- いけない。円周角は中心角と同じ大きさだから
答えと解説
いけない。∠APBはPを含まない方の弧に対応する
円周角の頂点Pは、その円周角が見込む弧には含まれません。Pを含まない方の弧と中心角を選び直します。
考え方を説明する
中心Oの円で、指定した小さい弧ABに対する中心角は126°です。P,Qはもう一方の弧AB上（A、Bを除く）の異なる点で、A,Bとも異なります。自分の図へ弧・中心・頂点と角を書き、∠APBと∠AQBを求めます。同じ値になる理由と二倍での確認も示してください。
答えと解説
生徒の図で小さい弧ABと、もう一方の弧AB上にあるP、Q（A、Bを除く）を区別する。∠APB=126÷2=63°。Qも同じ弧を見込むので∠AQB=63°。どちらも二倍すると中心角126°に戻り、頂点を含む弧は使っていない。
生徒の実際の円の図と中心・選んだ弧・P,Q、同じ弧に対する性質、63°と63°の計算・二倍確認を見ます。
円周角∠APB=38°です。QはPを含まない方の弧ABの途中にあります。P,Qと二つの弧を自分の図へ書き、Pを含まない弧の中心角と、もう一方の弧の中心角、∠AQBを全て求めます。二つの円周角を等しいとしない理由と和での確認も書いてください。
答えと解説
生徒の図でPの見込む弧とQの見込む弧を分ける。Pを含まない弧の中心角=38×2=76°、もう一方=360−76=284°。Qは284°側の弧を見込むので∠AQB=284÷2=142°。二つは同じ弧に対する角ではなく38+142=180°と確認する。
生徒の二弧と二頂点の図、76°/284°/142°の全計算、対応する弧の違いと円周角の和180°を見ます。
大きい弧ABに対する中心角は248°で、Pは残りの小さい弧AB上（A、Bを除く）にあります。Qは大きい弧の途中にありA,Bとは異なります。自分の図に二つの弧と頂点を書き、∠APB、残りの弧の中心角、∠AQBを求めます。Pの角に小さい側の中心角を使わない理由も説明してください。
答えと解説
生徒の図でPを含まない大きい弧248°とQを含まない小さい弧を分ける。∠APB=248÷2=124°、残りの中心角=360−248=112°、∠AQB=112÷2=56°。Pは大きい弧を見込むため112°を使わない。124+56=180°、2×124+2×56=360°と確認する。
生徒の大きい弧と小さい弧の区別、124°/112°/56°の計算と対応理由、二倍と和の確認を見ます。
ABは中心Oを通る直径で、PはA,B以外の円周上の点です。∠PAB=27°です。直径と半径OPを含む自分の図を描き、∠APB、∠PBA、Bを含まない弧APに対する中心角∠AOPの小さい側を求めます。それぞれ使った性質と内角の和での確認を書いてください。
答えと解説
生徒の図へ直径AB、中心O、点Pと半径OPを書く。直径に対する∠APB=180÷2=90°。∠PBA=180−90−27=63°。弧APの円周角∠ABPは63°なので、その弧に対する中心角の小さい側∠AOP=2×63=126°。27+63+90=180°、126÷2=63°と確認する。
生徒の直径と半径の図、90°/63°/126°、直径と円周角・内角和・同じ弧の二倍の三理由と確認を見ます。
同じ円周上のA,B,Cをこの順に一周すると、弧AB、弧BC、弧CAの中心角は順に100°、140°、120°です。三角形ABCと三つの弧を自分の図へ書き、三つの内角を全て求めます。各内角がどの弧を見込むかと、中心角・内角の和での確認を示してください。
答えと解説
生徒の図に円周順A,B,Cと三弧を記す。∠ACBはCを含まない弧ABに対し100÷2=50°、∠BACはAを含まない弧BCに対し140÷2=70°、∠ABCはBを含まない弧CAに対し120÷2=60°。中心角100+140+120=360°、内角50+70+60=180°と確認する。
生徒の円に内接する三角形と三弧、各頂点を含まない弧との対応、50°/70°/60°の計算と二つの和を見ます。
指定した同じ小さい弧に対する中心角が(3x+18)°、円周角が(x+12)°です。弧と頂点を自分の図へ書き、関係を一次方程式にしてxと実際の二つの角を求めます。代入と角の範囲で確かめてください。
答えと解説
生徒の図で指定した弧とそれを見込む頂点を分ける。3x+18=2(x+12)からx=6。中心角=3×6+18=36°、円周角=6+12=18°。36=2×18で、小さい弧の中心角は0°より大きく180°より小さく、円周角も正である。
生徒の指定弧と頂点の図、中心角=二倍の式、x6/中心角36°/円周角18°、両式への代入と範囲確認を見ます。
中心Oの円で、P,O,Bはこの順に一直線上にありPBは直径です。Aはその両端と異なる円周上の点で、小さい側の∠AOP=136°です。半径と直径を自分の図へ書き、∠OAP、∠APB、小さい側の∠AOBを求めます。半径が等しいことから計算し、円周角との関係でも確認してください。
答えと解説
生徒の図でPBが直径、P,O,Bの順、OA=OPを書く。△OAPは二等辺三角形なので∠OAP=∠APO=(180−136)÷2=22°。半直線PBはPOと同じ向きなので∠APB=22°。半直線OPとOBは反対向きで小さい側∠AOB=180−136=44°。44÷2=22°と円周角の関係でも確認する。
生徒の半径と直径の図・点順、二等辺三角形と直線の角を使う計算、22°/22°/44°、同じ弧ABの半分での確認を見ます。
A,B,Cがこの順に続く弧ABCで、弧ABと弧BCは等しいものとします。PはBを含まない弧AC上にあり、A、Cとは異なり、∠APB=35°です。自分の図へ等しい弧と半直線PBを書き、∠BPC、∠APC、弧ABCの中心角を求めます。角の和と二倍の関係で確認してください。
答えと解説
生徒の図へ等しい連続する弧AB,BCと、∠APCの内側の半直線PBを書く。等しい弧に対する円周角より∠BPC=35°。∠APC=35+35=70°。各小さい弧の中心角は70°ずつなので弧ABCの中心角は140°。140÷2=70°でも確認する。
生徒の等しい連続弧とPBの図、35°/70°/140°の計算、角を足せる配置と二倍の関係を見ます。
大きい弧ABに対する中心角が204°で、Pは残りの小さい弧AB上（A、Bを除く）にあります。ある人は「小さい側の中心角156°を使って∠APB=78°」と書きました。自分の図にPと二つの弧を書き、誤りを説明して∠APBを正しく求めます。さらにQを大きい弧の途中に置いたときの∠AQBを求め、和で確認してください。
答えと解説
生徒の図でPは大きい弧204°を見込むことを示す。156°はPを含む小さい弧の中心角であり、Pの角の根拠にはできない。∠APB=204÷2=102°。大きい弧上のQは小さい弧を見込むので∠AQB=156÷2=78°。102+78=180°である。
生徒の二つの弧とP,Qの図、156°をPの角へ使えない理由、102°と78°の計算・和の確認を見ます。
30以上70以下の整数mを一つ選びます。小さい弧ABに対する中心角が2m度となる円を自分で描き、P,Qをもう一方の弧AB上（A、Bを除く）の異なる点に、Rを小さい弧の途中に置きます。全ての点は端点と異なるものとします。自分のmを図へ入れ、∠APB、∠AQB、∠ARBと二つの弧の中心角を全て計算し、対応する弧と和で確認してください。
答えと解説
作例m=40では小さい弧の中心角80°、大きい弧の中心角280°。生徒の図でP,Qは小さい弧を、Rは大きい弧を見込む。∠APB=80÷2=40°、∠AQB=40°、∠ARB=280÷2=140°。40+140=180°、2×40+2×140=360°。別の条件内mでも生徒の具体的な図・値・弧の対応と全ての計算がそろえば認める。
生徒が選んだmと円・二弧・三頂点の実際の図、中心角二つと円周角三つの度付き計算、P,QとRの見込む弧の違いと和による確認を見る。一般式や完成した数値だけで生徒の作例としない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
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教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3B(2)ア(ア)、冊子147〜148/PDF151〜152の円周角と中心角の意味、同じ弧の円周角、直径に対する角を踏まえた独自課題です。現行出版社の指導計画と公式要点でも、指定した弧と頂点、半分の関係と直径が扱われています。出版社の数値・配列・図版は写しません。ここでは角度の計算と使用した性質を中心に扱い、円周角の定理やその逆を使った完全な証明は次のテーマで扱います。 · 2026-11-03
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準備14問は角度と弧の読み取りの足場です。主課題は生徒の実際の円の図に中心・指定した弧・頂点・既知と未知の角を示し、同じ弧を使う理由、半分や二倍などの式、度付きの全ての答えと元の条件での確認を手動で見ます。T1は同じ弧、T2は二つの弧、T3は大きい弧、T4は直径、T5は一周を分ける三角形、T6は方程式、T7は半径による二等辺三角形、T8は等しい連続する弧、T9は弧の取り違えの修正、T10は生徒の角度と図による作例です。正しい別の配置や計算順も認めます。
中心Oの円で、小さい弧ABに対する中心角は118°です。Pは、A、Bを端とする大きい弧AB上にあり、A、Bとは異なる点です。∠APBは何度ですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円周角∠APB=37°です。Pを含まない弧ABに対する中心角は何度ですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
小さい弧ABに対する中心角は156°です。Pは、A、Bを端とする大きい弧AB上にあり、A、Bとは異なる点です。∠APBは何度ですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
ABは直径です。PはA,B以外の円周上の点です。∠APBは何度ですか。
図を準備しています。
- 45°
- 90°
- 180°
- 位置だけで変わり一つに決まらない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
P,Qは同じ弧ABを見込む二つの頂点です。いずれももう一方の弧AB上（A、Bを除く）にあり、A,Bと異なります。∠APB=42°なら∠AQBは何度ですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
大きい弧ABに対する中心角は246°です。Pは残りの小さい弧AB上（A、Bを除く）にあります。∠APBは何度ですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円周角∠APB=108°です。Pを含まない弧ABに対する、180°を超える側の中心角は何度ですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
小さい弧ABに対する中心角は84°ですが、Pはその小さい弧の途中にあります。∠APBは何度ですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
ABは直径で、PはA,B以外の円周上の点です。∠PAB=34°のとき、∠PBAは何度ですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A,B,Cがこの順で並ぶ弧ACをPは見込んでいます。弧ABの中心角は64°、続く弧BCの中心角は96°です。Pを含まない弧ABCに対する∠APCは何度ですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ弧に対する中心角が(5x−10)°、円周角が(2x+5)°です。xを求めてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Pは小さい弧ABを見込み、∠APB=46°です。Qはその小さい弧の途中にあります。∠AQBは何度ですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ円の弦ABに対し、PとQが直線ABの反対側の円周上にあります。どの説明が正しいですか。
図を準備しています。
- 端点が同じなら円周角は必ず等しい
- 二つの円周角が見込む弧を分け、和が180°になることを確かめる
- 中心Oを通る弦以外では円周角の性質を使えない
- どちらの円周角も必ず90°
途中の計算・単位・理由・確認答え:
弧ABを一つ指定しましたが、Pはその弧の途中にあります。「指定した弧に対する中心角を半分にすれば∠APB」としてよいですか。
図を準備しています。
- 指定した弧なら頂点の位置は関係しない
- よい。円周角はどの中心角の半分でもある
- いけない。∠APBはPを含まない方の弧に対応する
- いけない。円周角は中心角と同じ大きさだから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
中心Oの円で、指定した小さい弧ABに対する中心角は126°です。P,Qはもう一方の弧AB上（A、Bを除く）の異なる点で、A,Bとも異なります。自分の図へ弧・中心・頂点と角を書き、∠APBと∠AQBを求めます。同じ値になる理由と二倍での確認も示してください。
円周角∠APB=38°です。QはPを含まない方の弧ABの途中にあります。P,Qと二つの弧を自分の図へ書き、Pを含まない弧の中心角と、もう一方の弧の中心角、∠AQBを全て求めます。二つの円周角を等しいとしない理由と和での確認も書いてください。
大きい弧ABに対する中心角は248°で、Pは残りの小さい弧AB上（A、Bを除く）にあります。Qは大きい弧の途中にありA,Bとは異なります。自分の図に二つの弧と頂点を書き、∠APB、残りの弧の中心角、∠AQBを求めます。Pの角に小さい側の中心角を使わない理由も説明してください。
ABは中心Oを通る直径で、PはA,B以外の円周上の点です。∠PAB=27°です。直径と半径OPを含む自分の図を描き、∠APB、∠PBA、Bを含まない弧APに対する中心角∠AOPの小さい側を求めます。それぞれ使った性質と内角の和での確認を書いてください。
同じ円周上のA,B,Cをこの順に一周すると、弧AB、弧BC、弧CAの中心角は順に100°、140°、120°です。三角形ABCと三つの弧を自分の図へ書き、三つの内角を全て求めます。各内角がどの弧を見込むかと、中心角・内角の和での確認を示してください。
指定した同じ小さい弧に対する中心角が(3x+18)°、円周角が(x+12)°です。弧と頂点を自分の図へ書き、関係を一次方程式にしてxと実際の二つの角を求めます。代入と角の範囲で確かめてください。
中心Oの円で、P,O,Bはこの順に一直線上にありPBは直径です。Aはその両端と異なる円周上の点で、小さい側の∠AOP=136°です。半径と直径を自分の図へ書き、∠OAP、∠APB、小さい側の∠AOBを求めます。半径が等しいことから計算し、円周角との関係でも確認してください。
A,B,Cがこの順に続く弧ABCで、弧ABと弧BCは等しいものとします。PはBを含まない弧AC上にあり、A、Cとは異なり、∠APB=35°です。自分の図へ等しい弧と半直線PBを書き、∠BPC、∠APC、弧ABCの中心角を求めます。角の和と二倍の関係で確認してください。
大きい弧ABに対する中心角が204°で、Pは残りの小さい弧AB上（A、Bを除く）にあります。ある人は「小さい側の中心角156°を使って∠APB=78°」と書きました。自分の図にPと二つの弧を書き、誤りを説明して∠APBを正しく求めます。さらにQを大きい弧の途中に置いたときの∠AQBを求め、和で確認してください。
30以上70以下の整数mを一つ選びます。小さい弧ABに対する中心角が2m度となる円を自分で描き、P,Qをもう一方の弧AB上（A、Bを除く）の異なる点に、Rを小さい弧の途中に置きます。全ての点は端点と異なるものとします。自分のmを図へ入れ、∠APB、∠AQB、∠ARBと二つの弧の中心角を全て計算し、対応する弧と和で確認してください。
解答: 指定した弧と頂点から円周角・中心角を求める
59
Pを含まない小さい弧ABに対する角なので118÷2=59°です。
74
同じ弧に対する中心角は円周角の二倍なので37×2=74°です。
78
指定した同じ小さい弧を使い156÷2=78°です。
90°
直径の半円に対する中心角は180°なので円周角は180÷2=90°です。
42
同じ指定した弧ABに対する二つの円周角なので∠AQB=∠APB=42°です。
123
Pを含まない大きい弧の中心角を半分にし246÷2=123°です。114°を使いません。
216
同じ弧の中心角は108×2=216°です。小さい側144°とは別です。
138
∠APBはPを含まない大きい弧を見込みます。その中心角360−84=276°を半分にして138°です。
56
∠APB=90°なので三角形の内角の和から180−90−34=56°です。
80
指定した弧ABCの中心角は64+96=160°。その半分で∠APC=80°です。
20
5x−10=2(2x+5)からx=20。中心角90°と円周角45°で二倍の関係を満たします。
134
小さい弧の中心角は92°。Qは反対の大きい弧を見込むので(360−92)÷2=134°です。46+134=180°。
二つの円周角が見込む弧を分け、和が180°になることを確かめる
反対側の頂点は二つの異なる弧を見込みます。対応する中心角の和360°の半分で、円周角の和は180°です。等しいとは限りません。
いけない。∠APBはPを含まない方の弧に対応する
円周角の頂点Pは、その円周角が見込む弧には含まれません。Pを含まない方の弧と中心角を選び直します。
記述問題の解答・確認の観点
中心Oの円で、指定した小さい弧ABに対する中心角は126°です。P,Qはもう一方の弧AB上（A、Bを除く）の異なる点で、A,Bとも異なります。自分の図へ弧・中心・頂点と角を書き、∠APBと∠AQBを求めます。同じ値になる理由と二倍での確認も示してください。
生徒の図で小さい弧ABと、もう一方の弧AB上にあるP、Q（A、Bを除く）を区別する。∠APB=126÷2=63°。Qも同じ弧を見込むので∠AQB=63°。どちらも二倍すると中心角126°に戻り、頂点を含む弧は使っていない。
生徒の実際の円の図と中心・選んだ弧・P,Q、同じ弧に対する性質、63°と63°の計算・二倍確認を見ます。
円周角∠APB=38°です。QはPを含まない方の弧ABの途中にあります。P,Qと二つの弧を自分の図へ書き、Pを含まない弧の中心角と、もう一方の弧の中心角、∠AQBを全て求めます。二つの円周角を等しいとしない理由と和での確認も書いてください。
生徒の図でPの見込む弧とQの見込む弧を分ける。Pを含まない弧の中心角=38×2=76°、もう一方=360−76=284°。Qは284°側の弧を見込むので∠AQB=284÷2=142°。二つは同じ弧に対する角ではなく38+142=180°と確認する。
生徒の二弧と二頂点の図、76°/284°/142°の全計算、対応する弧の違いと円周角の和180°を見ます。
大きい弧ABに対する中心角は248°で、Pは残りの小さい弧AB上（A、Bを除く）にあります。Qは大きい弧の途中にありA,Bとは異なります。自分の図に二つの弧と頂点を書き、∠APB、残りの弧の中心角、∠AQBを求めます。Pの角に小さい側の中心角を使わない理由も説明してください。
生徒の図でPを含まない大きい弧248°とQを含まない小さい弧を分ける。∠APB=248÷2=124°、残りの中心角=360−248=112°、∠AQB=112÷2=56°。Pは大きい弧を見込むため112°を使わない。124+56=180°、2×124+2×56=360°と確認する。
生徒の大きい弧と小さい弧の区別、124°/112°/56°の計算と対応理由、二倍と和の確認を見ます。
ABは中心Oを通る直径で、PはA,B以外の円周上の点です。∠PAB=27°です。直径と半径OPを含む自分の図を描き、∠APB、∠PBA、Bを含まない弧APに対する中心角∠AOPの小さい側を求めます。それぞれ使った性質と内角の和での確認を書いてください。
生徒の図へ直径AB、中心O、点Pと半径OPを書く。直径に対する∠APB=180÷2=90°。∠PBA=180−90−27=63°。弧APの円周角∠ABPは63°なので、その弧に対する中心角の小さい側∠AOP=2×63=126°。27+63+90=180°、126÷2=63°と確認する。
生徒の直径と半径の図、90°/63°/126°、直径と円周角・内角和・同じ弧の二倍の三理由と確認を見ます。
同じ円周上のA,B,Cをこの順に一周すると、弧AB、弧BC、弧CAの中心角は順に100°、140°、120°です。三角形ABCと三つの弧を自分の図へ書き、三つの内角を全て求めます。各内角がどの弧を見込むかと、中心角・内角の和での確認を示してください。
生徒の図に円周順A,B,Cと三弧を記す。∠ACBはCを含まない弧ABに対し100÷2=50°、∠BACはAを含まない弧BCに対し140÷2=70°、∠ABCはBを含まない弧CAに対し120÷2=60°。中心角100+140+120=360°、内角50+70+60=180°と確認する。
生徒の円に内接する三角形と三弧、各頂点を含まない弧との対応、50°/70°/60°の計算と二つの和を見ます。
指定した同じ小さい弧に対する中心角が(3x+18)°、円周角が(x+12)°です。弧と頂点を自分の図へ書き、関係を一次方程式にしてxと実際の二つの角を求めます。代入と角の範囲で確かめてください。
生徒の図で指定した弧とそれを見込む頂点を分ける。3x+18=2(x+12)からx=6。中心角=3×6+18=36°、円周角=6+12=18°。36=2×18で、小さい弧の中心角は0°より大きく180°より小さく、円周角も正である。
生徒の指定弧と頂点の図、中心角=二倍の式、x6/中心角36°/円周角18°、両式への代入と範囲確認を見ます。
中心Oの円で、P,O,Bはこの順に一直線上にありPBは直径です。Aはその両端と異なる円周上の点で、小さい側の∠AOP=136°です。半径と直径を自分の図へ書き、∠OAP、∠APB、小さい側の∠AOBを求めます。半径が等しいことから計算し、円周角との関係でも確認してください。
生徒の図でPBが直径、P,O,Bの順、OA=OPを書く。△OAPは二等辺三角形なので∠OAP=∠APO=(180−136)÷2=22°。半直線PBはPOと同じ向きなので∠APB=22°。半直線OPとOBは反対向きで小さい側∠AOB=180−136=44°。44÷2=22°と円周角の関係でも確認する。
生徒の半径と直径の図・点順、二等辺三角形と直線の角を使う計算、22°/22°/44°、同じ弧ABの半分での確認を見ます。
A,B,Cがこの順に続く弧ABCで、弧ABと弧BCは等しいものとします。PはBを含まない弧AC上にあり、A、Cとは異なり、∠APB=35°です。自分の図へ等しい弧と半直線PBを書き、∠BPC、∠APC、弧ABCの中心角を求めます。角の和と二倍の関係で確認してください。
生徒の図へ等しい連続する弧AB,BCと、∠APCの内側の半直線PBを書く。等しい弧に対する円周角より∠BPC=35°。∠APC=35+35=70°。各小さい弧の中心角は70°ずつなので弧ABCの中心角は140°。140÷2=70°でも確認する。
生徒の等しい連続弧とPBの図、35°/70°/140°の計算、角を足せる配置と二倍の関係を見ます。
大きい弧ABに対する中心角が204°で、Pは残りの小さい弧AB上（A、Bを除く）にあります。ある人は「小さい側の中心角156°を使って∠APB=78°」と書きました。自分の図にPと二つの弧を書き、誤りを説明して∠APBを正しく求めます。さらにQを大きい弧の途中に置いたときの∠AQBを求め、和で確認してください。
生徒の図でPは大きい弧204°を見込むことを示す。156°はPを含む小さい弧の中心角であり、Pの角の根拠にはできない。∠APB=204÷2=102°。大きい弧上のQは小さい弧を見込むので∠AQB=156÷2=78°。102+78=180°である。
生徒の二つの弧とP,Qの図、156°をPの角へ使えない理由、102°と78°の計算・和の確認を見ます。
30以上70以下の整数mを一つ選びます。小さい弧ABに対する中心角が2m度となる円を自分で描き、P,Qをもう一方の弧AB上（A、Bを除く）の異なる点に、Rを小さい弧の途中に置きます。全ての点は端点と異なるものとします。自分のmを図へ入れ、∠APB、∠AQB、∠ARBと二つの弧の中心角を全て計算し、対応する弧と和で確認してください。
作例m=40では小さい弧の中心角80°、大きい弧の中心角280°。生徒の図でP,Qは小さい弧を、Rは大きい弧を見込む。∠APB=80÷2=40°、∠AQB=40°、∠ARB=280÷2=140°。40+140=180°、2×40+2×140=360°。別の条件内mでも生徒の具体的な図・値・弧の対応と全ての計算がそろえば認める。
生徒が選んだmと円・二弧・三頂点の実際の図、中心角二つと円周角三つの度付き計算、P,QとRの見込む弧の違いと和による確認を見る。一般式や完成した数値だけで生徒の作例としない。