中3 数学：相似な立体の体積比の練習問題
対応する長さ・表面積・体積の比を分け、三方向の倍率から体積を説明します。準備14問と、自分の立体図・式・単位を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3B(1)ア(イ)、冊子145〜146/PDF149〜150の、基本的な立体の相似の意味と、体積比は相似比の三乗になるという本文を踏まえた独自課題です。現行出版社の指導計画でも、相似な立体の表面積の比と体積の比を区別して、具体的な体積を求めています。数値・図版・問題配列は写しません。093の平面図形の面積比から、ここでは立体の体積と三乗の理由へ進みます。
解説を読む
相似な立体で対応する長さがk倍になると、体積はk³倍になります。直方体では縦・横・高さの三つの長さに同じ倍率がかかるためです。表面積のk²倍や長さのk倍と分けて、相似である条件、比の向き、体積の単位を図と式に対応させます。体積が等しいだけでは立体の形が相似だとは決められません。
必要な予備知識
相似の意味、平面図形の面積比と二乗、比と分数・小数、整数の三乗、直方体・円柱・円すいの体積。球の課題では体積の公式を問題文にも示します。逆算は2³=8、3³=27などから分かる比を使い、一般の三乗根の計算は求めません。三角比は使いません。
- 相似な立体A:Bの対応する長さの比がm:nなら、体積の比はm³:n³です。数で表すとV_A/V_B=(m/n)³です。長さは正の数として扱います。
- 直方体の体積は縦×横×高さです。各長さが同じk倍になれば、体積は(k×縦)(k×横)(k×高さ)=k³×元の体積です。
- 円柱ではV=πr²hなので半径がk倍、高さもk倍ならk²とkがかかりk³倍です。半径だけを変え、高さを変えない場合は相似拡大とは限りません。
- 円すいの1/3や球の4/3、πなど同じ公式の共通の係数は、二つの体積の比で約分できます。どの長さが何倍かを先に確認します。
- 相似な立体の表面積比は相似比の二乗、体積比は三乗です。対応する面の面積と立体全体の体積を同じ比にはしません。
- 体積比から長さの比に戻すときは、正の整数の三乗などで確かめます。例えば体積比8:27なら長さの比は2:3で、8:27を辺へそのまま使いません。
- 大きい立体から中の小さい立体を取り除いた残りの体積は、全体から小の体積を引きます。小:全体の比を小:残りの比にはしません。
- 容器の容量へ相似の比を使うときは、内側の形と全ての対応する長さも相似である条件を確認します。1mL=1cm³です。体積や容量の計算を実測や実験の結果とは呼びません。
解き方の例
相似な立体A:Bの長さの比が2:5で、Aの体積が16cm³なら、体積比は8:125です。16/V_B=8/125からV_B=250cm³。長さを5/2倍にすると体積は(5/2)³倍であり、二乗だけや一回だけの倍率ではありません。
相似な立体A:Bの体積比が27:64なら、3³=27、4³=64より正の長さの比は3:4です。表面積の比は9:16。体積比27:64を長さや表面積へそのまま写しません。
よくある間違い
- 長さの比をそのまま体積へ使う。
- 体積へ二乗だけを使い、三つ目の倍率を落とす。
- 半径だけを変えた円柱を相似拡大だと決める。
- 長さ・表面積・体積の比を同じにする。
- 体積比から対応する辺の比を逆算するときに三乗を確認しない。
- 小:全体の比を小:残りの比へそのまま使う。
- 外側の形だけの相似から内側の容量も同じ比と決める。
- 体積が等しいだけで相似や合同と結論する。
考え方を説明する
準備14問は数値と比の足場です。主課題は生徒が自分の立体図に対応と条件を書き、同じ向きの長さ比・体積比、三方向や体積公式からの三乗の理由、実際の体積の式・計算・単位・確認を手動で示します。T1は直方体と表面積との区別、T2は円柱、T3は円すい、T4は球、T5は体積比から長さ・表面積への逆算、T6は小と残り、T7は内側が相似な容器、T8は等体積でも相似でない反例、T9は一回だけの倍率を使った式の修正、T10は生徒の数値と図による作例です。正しい対応の並べ方、分数と小数、πを残す同値表現も認めます。
生徒の立体図・三乗の理由・計算と単位は紙や既存の授業用ボードへ実際に書き、講師が手動確認します。自由な立体図や説明の自動採点は行いません。数値は独自の設定で実測・実験や学習効果の記録ではなく、生徒の試用や母語話者の校閲も未実施です。
練習する
準備の数値や選択は足場です。主課題は自分の立体の見取図へ対応する長さを記し、相似の条件、三乗の理由、体積の式・実際の計算・単位を紙や既存の授業用ボードへ書いて講師が手動確認します。数値だけで理由の説明を完了にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
相似な立体A:Bの長さの比が2:3です。体積比A:Bの比の値（V_A÷V_B）を答えてください。
答えと解説
体積比は2³:3³=8:27なのでV_A/V_B=8/27です。
相似な立体A:Bの長さの比が3:4で、Aの体積は54cm³です。Bの体積は何cm³ですか。
答えと解説
128
体積比は27:64なので54×64/27=128cm³です。
相似な立体A:Bの長さの比が4:5で、Bの体積は250cm³です。Aの体積は何cm³ですか。
答えと解説
128
体積比は64:125なので250×64/125=128cm³です。
相似拡大で全ての対応する長さを1.5倍にします。元の体積が16cm³なら拡大後は何cm³ですか。
答えと解説
54
体積は1.5³=3.375倍、16×3.375=54cm³です。
相似縮小で全ての対応する長さを1/2倍にします。元の体積が96cm³なら縮小後は何cm³ですか。
答えと解説
12
体積は(1/2)³=1/8倍なので96/8=12cm³です。
相似な立体A:Bの体積比が8:125です。対応する長さの比A:Bの比の値（Aの長さ÷Bの長さ）を答えてください。
答えと解説
2³=8、5³=125より長さの比は2:5です。
相似な立体A:Bの体積比が27:64です。表面積比A:Bの比の値（S_A÷S_B）を答えてください。
答えと解説
長さの比は3:4であり、表面積の比は3²:4²=9:16です。
円柱Aの半径は2cm、高さは6cm、相似な円柱Bの半径は3cm、高さは9cmです。体積比A:Bの比の値（V_A÷V_B）を答えてください。
答えと解説
半径も高さも2:3です。体積は24πと81πcm³なので比は8:27です。
相似な円すいA:Bの全ての対応する長さの比が2:3で、Aの体積は40cm³です。Bの体積は何cm³ですか。
答えと解説
135
体積比は8:27なので40×27/8=135cm³です。
一辺4cmの立方体の内部から、一辺3cmの立方体を取り除きます。残りの体積は何cm³ですか。
答えと解説
37
全体4³=64cm³、小3³=27cm³なので64−27=37cm³です。
円柱Aは半径2cm・高さ6cm、Bは半径3cm・高さ6cmです。高さは変えていません。体積比A:Bはどれですか。
- 8:27
- 4:9
- 2:3
- 1:1
答えと解説
4:9
体積は24πと54πで比4:9です。半径は変わっても高さは同じなので、相似な立体の三乗の比をそのまま使いません。
相似な立体A:Bの長さの比が3:5です。表面積比と体積比の正しい組はどれですか。
- 表面積3:5・体積9:25
- 表面積9:25・体積27:125
- 表面積27:125・体積9:25
- 表面積も体積も3:5
答えと解説
表面積9:25・体積27:125
表面積は二乗9:25、体積は三乗27:125です。
相似な立体A:Bの体積比が1:8です。正の長さの比はどれですか。
- 1:8
- 1:4
- 1:2
- 2:1
答えと解説
1:2
1³:2³=1:8なので長さの比は1:2です。
二つの直方体の体積がどちらも24cm³です。これだけから言えることはどれですか。
- 必ず合同である
- 必ず相似比1:1である
- 相似や合同とは限らない
- 対応する全ての辺の比が必ず2:3である
答えと解説
相似や合同とは限らない
例えば2×3×4cmと1×4×6cmはどちらも24cm³ですが、全ての対応する長さの比をそろえられず相似ではありません。
考え方を説明する
直方体Aの三辺は2,3,5cm、相似な直方体Bの対応する三辺は6,9,15cmです。自分の二つの見取図へ対応を記し、両体積と体積比を求めます。三つの長さに倍率がかかる理由を体積の式で説明し、両表面積とその比も計算して区別してください。
答えと解説
生徒の二図で2↔6,3↔9,5↔15を対応させる。長さA:B=1:3、体積は2×3×5=30cm³、6×9×15=810cm³、比1:27。(3×2)(3×3)(3×5)=3³×30で三つの倍率がかかる。表面積A=2(2×3+3×5+5×2)=62cm²、B=558cm²、比1:9。長さ1:3、表面積1:9、体積1:27を区別する。
生徒の二立体図と三辺の対応、30/810cm³の実計算と三乗の理由、62/558cm²と二乗の比、三種類の比を同じ向きで確認したかを見ます。
相似な二つの円柱A,Bで、半径と高さはAが3cmと4cm、Bが4.5cmと6cmです。自分の見取図に底面の半径と底面に垂直な高さを書き、両体積と体積比をπを用いて求めます。半径の二乗と高さの倍率から三乗になる理由を説明してください。
答えと解説
生徒の二図で半径3↔4.5、高さ4↔6を対応させ、両方の比2/3を確認する。V_A=π×3²×4=36πcm³、V_B=π×4.5²×6=(243/2)π=121.5πcm³。比36/(243/2)=8/27=(2/3)³。半径は3/2倍で底面積が9/4倍、高さも3/2倍なので体積は27/8倍になる。πは比で約分する。
生徒の円柱図・半径と垂直な高さの対応、両比2:3、36π/121.5πcm³と8:27、底面積と高さの積で三乗を説明・確認したかを見ます。
底面が円で頂点が底面の中心の真上にある円すいA,Bで、半径と底面に垂直な高さはAが2cmと9cm、Bが6cmと27cmです。二つは相似です。自分の見取図へ半径と高さを記し、両体積と比を求め、公式の1/3が体積比にどう関わるか説明してください。
答えと解説
生徒の円すい図へ半径と垂直な高さを書く。両長さの比は1:3。V_A=(1/3)π×2²×9=12πcm³、V_B=(1/3)π×6²×27=324πcm³、比1:27=(1/3)³。共通の係数(1/3)πは比で約分し、半径の二乗と高さの三つの倍率が残る。1/3をさらに体積比へ掛け直さない。
生徒の円すい図・半径と垂直な高さ、12π/324πcm³の実計算、共通係数の約分と三乗の理由、長さ1:3と体積1:27の確認を見ます。
半径3cmと5cmの球A,Bです。球の体積はV=(4/3)πr³を使えます。自分の二球の見取図へ半径を記し、両体積と体積比をπを用いて求めます。どの係数が約分され、長さの三乗が残るかを式で説明してください。
答えと解説
生徒の二球の図へ半径3,5cmを書く。V_A=(4/3)π×27=36πcm³、V_B=(4/3)π×125=(500/3)πcm³。V_A/V_B=27/125=(3/5)³で、共通の(4/3)πは約分する。半径の比3:5と体積の比27:125を区別し、36/(500/3)=27/125でも確認する。
生徒の二球と半径、公式から36π/(500π/3)cm³の実計算、共通係数と半径の三乗、同じ向きの二比と確認を見ます。
相似な二つの直方体A,Bの体積は24cm³と81cm³です。Bの対応する高さは6cm、表面積は117cm²です。自分の図へ対応を書き、正の長さの比、Aの高さと表面積を求めます。体積比を高さや表面積へそのまま使わず、三乗と二乗で確認してください。
答えと解説
生徒の二直方体図でA:Bをそろえる。体積比24:81=8:27なので、2³:3³=8:27から長さの比2:3。Aの高さは6×2/3=4cm。表面積比は4:9で、Aは117×4/9=52cm²。確認は(2/3)³=24/81、(2/3)²=52/117。条件を満たす一例はA2×3×4cm、B3×4.5×6cm。
生徒の対応する図、体積比8:27から長さ2:3に戻す理由、Aの高さ4cmと表面積52cm²の実計算、三乗・二乗での別々の確認を見ます。
一辺6cmの立方体の内部から、中心を同じにした一辺4cmの立方体を取り除きます。自分の見取図で小と全体・残りを分け、両立方体と残りの体積を求めます。小:全体と小:残りの体積比をそれぞれ示し、なぜ残りへ三乗の比を直接使わないか説明してください。
答えと解説
生徒の図で内側4cmと外側6cmを分ける。小64cm³、全体216cm³、残り216−64=152cm³。長さ比2:3、体積の小:全体=64:216=8:27。小:残り=64:152=8:19。残りは小立方体と相似な立方体ではなく、全体から小を引いて求める。64+152=216と確認する。
生徒の内外と残りの図、64/216/152cm³の実計算、8:27と8:19を区別する理由、和での確認を見ます。
容器の内側の形も相似な拡大で、内側の全ての対応する長さを5/4倍にします。元の容量は320mLです。自分の模式図へ内側の対応と条件を書き、新しい容量をmLとcm³で求めます。外側の見た目だけで容量比を決められない理由も説明してください。
答えと解説
生徒の図に内側の全ての長さが5/4倍で相似という条件を書く。容量は内側の体積なので(5/4)³=125/64倍。320×125/64=625mL=625cm³。確認は625×64/125=320mL。外側が相似でも壁の厚さや内側が対応していなければ内側の体積比を三乗で決められない。この設問では内側の相似が明示されている。
生徒の内側を示す図・相似条件、三乗125/64と625mL=625cm³の計算と逆確認、外側だけでは不足する説明を見ます。
直方体Aの三辺は2,3,4cm、Bは1,4,6cmです。ある人は「どちらも体積24cm³だから相似比1:1」と言いました。自分の二つの図と両体積を書き、辺の対応を入れ替える可能性も考えて、相似だと決められない理由を具体的な比で説明してください。
答えと解説
生徒の二直方体図に三辺を書く。体積A=2×3×4=24cm³、B=1×4×6=24cm³。正の同じ倍率で対応すれば短い辺からの順は保たれるが、短い辺の比2/1=2と長い辺の比4/6=2/3は異なる。順を入れ替えても全ての辺を一つの倍率で対応させられず相似でない。体積1:1だけでは形や各辺1:1を保証しない。
生徒の二立体図と両体積24cm³、短辺からの順や別対応を考慮した比の不一致、等体積から相似比1:1を結論できない説明を見ます。
相似拡大で全ての対応する長さを3/2倍にし、元の体積は16cm³です。ある人は「16×3/2=24cm³が拡大後の体積」と言いました。三方向の変化を示す自分の立体図を描き、式を直して体積を求め、元の比で確認してください。
答えと解説
生徒の図で三方向がともに3/2倍になることを書く。体積は(3/2)³=27/8倍なので16×27/8=54cm³。例えば元2×2×4cm、拡大後3×3×6cmなら16と54cm³で確認できる。24は倍率を一回しかかけていない。16/54=8/27=(2/3)³と元の長さ比に戻す。
生徒の三方向の図、三乗と54cm³への訂正、具体的な体積の式と単位、一回だけの誤りの説明・比による確認を見ます。
2以上4以下の整数rと2以上5以下の整数sを一つずつ選びます。直方体Aの三辺をr,2r,3rcm、Bをsr,2sr,3srcmとした具体的な二図を描いてください。相似を確かめて各体積と長さ・体積の比を求め、三乗になる理由を自分で選んだ数値を入れた式で説明します。一般式だけでは終えません。
答えと解説
作例r=3,s=2ならA3×6×9cm、B6×12×18cm。生徒の二図へ対応を書く。三つの比は3/6=6/12=9/18=1/2で直角も対応し、相似。体積は162cm³と1296cm³、比1:8=(1/2)³。三つの長さにそれぞれ2倍がかかるため体積は8倍。別の範囲内r,sも具体図・全ての辺の対応・体積の計算と単位・二比と理由を確認する。
生徒のr,sと具体的な二立体図・三辺の対応、相似の確認、両体積と単位、長さ比・三乗の体積比・生徒の数値での理由を見ます。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3B(1)ア(イ)、冊子145〜146/PDF149〜150の、基本的な立体の相似の意味と、体積比は相似比の三乗になるという本文を踏まえた独自課題です。現行出版社の指導計画でも、相似な立体の表面積の比と体積の比を区別して、具体的な体積を求めています。数値・図版・問題配列は写しません。093の平面図形の面積比から、ここでは立体の体積と三乗の理由へ進みます。 · 2026-11-03
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この練習問題を保存ワークシート: 相似な立体の体積比を三乗の理由から求める
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/explain-cubed-volume-ratios-of-similar-solids/
準備14問は数値と比の足場です。主課題は生徒が自分の立体図に対応と条件を書き、同じ向きの長さ比・体積比、三方向や体積公式からの三乗の理由、実際の体積の式・計算・単位・確認を手動で示します。T1は直方体と表面積との区別、T2は円柱、T3は円すい、T4は球、T5は体積比から長さ・表面積への逆算、T6は小と残り、T7は内側が相似な容器、T8は等体積でも相似でない反例、T9は一回だけの倍率を使った式の修正、T10は生徒の数値と図による作例です。正しい対応の並べ方、分数と小数、πを残す同値表現も認めます。
相似な立体A:Bの長さの比が2:3です。体積比A:Bの比の値（V_A÷V_B）を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似な立体A:Bの長さの比が3:4で、Aの体積は54cm³です。Bの体積は何cm³ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似な立体A:Bの長さの比が4:5で、Bの体積は250cm³です。Aの体積は何cm³ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似拡大で全ての対応する長さを1.5倍にします。元の体積が16cm³なら拡大後は何cm³ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似縮小で全ての対応する長さを1/2倍にします。元の体積が96cm³なら縮小後は何cm³ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似な立体A:Bの体積比が8:125です。対応する長さの比A:Bの比の値（Aの長さ÷Bの長さ）を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似な立体A:Bの体積比が27:64です。表面積比A:Bの比の値（S_A÷S_B）を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円柱Aの半径は2cm、高さは6cm、相似な円柱Bの半径は3cm、高さは9cmです。体積比A:Bの比の値（V_A÷V_B）を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似な円すいA:Bの全ての対応する長さの比が2:3で、Aの体積は40cm³です。Bの体積は何cm³ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
一辺4cmの立方体の内部から、一辺3cmの立方体を取り除きます。残りの体積は何cm³ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円柱Aは半径2cm・高さ6cm、Bは半径3cm・高さ6cmです。高さは変えていません。体積比A:Bはどれですか。
- 8:27
- 4:9
- 2:3
- 1:1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似な立体A:Bの長さの比が3:5です。表面積比と体積比の正しい組はどれですか。
- 表面積3:5・体積9:25
- 表面積9:25・体積27:125
- 表面積27:125・体積9:25
- 表面積も体積も3:5
途中の計算・単位・理由・確認答え:
相似な立体A:Bの体積比が1:8です。正の長さの比はどれですか。
- 1:8
- 1:4
- 1:2
- 2:1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二つの直方体の体積がどちらも24cm³です。これだけから言えることはどれですか。
- 必ず合同である
- 必ず相似比1:1である
- 相似や合同とは限らない
- 対応する全ての辺の比が必ず2:3である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
直方体Aの三辺は2,3,5cm、相似な直方体Bの対応する三辺は6,9,15cmです。自分の二つの見取図へ対応を記し、両体積と体積比を求めます。三つの長さに倍率がかかる理由を体積の式で説明し、両表面積とその比も計算して区別してください。
相似な二つの円柱A,Bで、半径と高さはAが3cmと4cm、Bが4.5cmと6cmです。自分の見取図に底面の半径と底面に垂直な高さを書き、両体積と体積比をπを用いて求めます。半径の二乗と高さの倍率から三乗になる理由を説明してください。
底面が円で頂点が底面の中心の真上にある円すいA,Bで、半径と底面に垂直な高さはAが2cmと9cm、Bが6cmと27cmです。二つは相似です。自分の見取図へ半径と高さを記し、両体積と比を求め、公式の1/3が体積比にどう関わるか説明してください。
半径3cmと5cmの球A,Bです。球の体積はV=(4/3)πr³を使えます。自分の二球の見取図へ半径を記し、両体積と体積比をπを用いて求めます。どの係数が約分され、長さの三乗が残るかを式で説明してください。
相似な二つの直方体A,Bの体積は24cm³と81cm³です。Bの対応する高さは6cm、表面積は117cm²です。自分の図へ対応を書き、正の長さの比、Aの高さと表面積を求めます。体積比を高さや表面積へそのまま使わず、三乗と二乗で確認してください。
一辺6cmの立方体の内部から、中心を同じにした一辺4cmの立方体を取り除きます。自分の見取図で小と全体・残りを分け、両立方体と残りの体積を求めます。小:全体と小:残りの体積比をそれぞれ示し、なぜ残りへ三乗の比を直接使わないか説明してください。
容器の内側の形も相似な拡大で、内側の全ての対応する長さを5/4倍にします。元の容量は320mLです。自分の模式図へ内側の対応と条件を書き、新しい容量をmLとcm³で求めます。外側の見た目だけで容量比を決められない理由も説明してください。
直方体Aの三辺は2,3,4cm、Bは1,4,6cmです。ある人は「どちらも体積24cm³だから相似比1:1」と言いました。自分の二つの図と両体積を書き、辺の対応を入れ替える可能性も考えて、相似だと決められない理由を具体的な比で説明してください。
相似拡大で全ての対応する長さを3/2倍にし、元の体積は16cm³です。ある人は「16×3/2=24cm³が拡大後の体積」と言いました。三方向の変化を示す自分の立体図を描き、式を直して体積を求め、元の比で確認してください。
2以上4以下の整数rと2以上5以下の整数sを一つずつ選びます。直方体Aの三辺をr,2r,3rcm、Bをsr,2sr,3srcmとした具体的な二図を描いてください。相似を確かめて各体積と長さ・体積の比を求め、三乗になる理由を自分で選んだ数値を入れた式で説明します。一般式だけでは終えません。
解答: 相似な立体の体積比を三乗の理由から求める
体積比は2³:3³=8:27なのでV_A/V_B=8/27です。
128
体積比は27:64なので54×64/27=128cm³です。
128
体積比は64:125なので250×64/125=128cm³です。
54
体積は1.5³=3.375倍、16×3.375=54cm³です。
12
体積は(1/2)³=1/8倍なので96/8=12cm³です。
2³=8、5³=125より長さの比は2:5です。
長さの比は3:4であり、表面積の比は3²:4²=9:16です。
半径も高さも2:3です。体積は24πと81πcm³なので比は8:27です。
135
体積比は8:27なので40×27/8=135cm³です。
37
全体4³=64cm³、小3³=27cm³なので64−27=37cm³です。
4:9
体積は24πと54πで比4:9です。半径は変わっても高さは同じなので、相似な立体の三乗の比をそのまま使いません。
表面積9:25・体積27:125
表面積は二乗9:25、体積は三乗27:125です。
1:2
1³:2³=1:8なので長さの比は1:2です。
相似や合同とは限らない
例えば2×3×4cmと1×4×6cmはどちらも24cm³ですが、全ての対応する長さの比をそろえられず相似ではありません。
記述問題の解答・確認の観点
直方体Aの三辺は2,3,5cm、相似な直方体Bの対応する三辺は6,9,15cmです。自分の二つの見取図へ対応を記し、両体積と体積比を求めます。三つの長さに倍率がかかる理由を体積の式で説明し、両表面積とその比も計算して区別してください。
生徒の二図で2↔6,3↔9,5↔15を対応させる。長さA:B=1:3、体積は2×3×5=30cm³、6×9×15=810cm³、比1:27。(3×2)(3×3)(3×5)=3³×30で三つの倍率がかかる。表面積A=2(2×3+3×5+5×2)=62cm²、B=558cm²、比1:9。長さ1:3、表面積1:9、体積1:27を区別する。
生徒の二立体図と三辺の対応、30/810cm³の実計算と三乗の理由、62/558cm²と二乗の比、三種類の比を同じ向きで確認したかを見ます。
相似な二つの円柱A,Bで、半径と高さはAが3cmと4cm、Bが4.5cmと6cmです。自分の見取図に底面の半径と底面に垂直な高さを書き、両体積と体積比をπを用いて求めます。半径の二乗と高さの倍率から三乗になる理由を説明してください。
生徒の二図で半径3↔4.5、高さ4↔6を対応させ、両方の比2/3を確認する。V_A=π×3²×4=36πcm³、V_B=π×4.5²×6=(243/2)π=121.5πcm³。比36/(243/2)=8/27=(2/3)³。半径は3/2倍で底面積が9/4倍、高さも3/2倍なので体積は27/8倍になる。πは比で約分する。
生徒の円柱図・半径と垂直な高さの対応、両比2:3、36π/121.5πcm³と8:27、底面積と高さの積で三乗を説明・確認したかを見ます。
底面が円で頂点が底面の中心の真上にある円すいA,Bで、半径と底面に垂直な高さはAが2cmと9cm、Bが6cmと27cmです。二つは相似です。自分の見取図へ半径と高さを記し、両体積と比を求め、公式の1/3が体積比にどう関わるか説明してください。
生徒の円すい図へ半径と垂直な高さを書く。両長さの比は1:3。V_A=(1/3)π×2²×9=12πcm³、V_B=(1/3)π×6²×27=324πcm³、比1:27=(1/3)³。共通の係数(1/3)πは比で約分し、半径の二乗と高さの三つの倍率が残る。1/3をさらに体積比へ掛け直さない。
生徒の円すい図・半径と垂直な高さ、12π/324πcm³の実計算、共通係数の約分と三乗の理由、長さ1:3と体積1:27の確認を見ます。
半径3cmと5cmの球A,Bです。球の体積はV=(4/3)πr³を使えます。自分の二球の見取図へ半径を記し、両体積と体積比をπを用いて求めます。どの係数が約分され、長さの三乗が残るかを式で説明してください。
生徒の二球の図へ半径3,5cmを書く。V_A=(4/3)π×27=36πcm³、V_B=(4/3)π×125=(500/3)πcm³。V_A/V_B=27/125=(3/5)³で、共通の(4/3)πは約分する。半径の比3:5と体積の比27:125を区別し、36/(500/3)=27/125でも確認する。
生徒の二球と半径、公式から36π/(500π/3)cm³の実計算、共通係数と半径の三乗、同じ向きの二比と確認を見ます。
相似な二つの直方体A,Bの体積は24cm³と81cm³です。Bの対応する高さは6cm、表面積は117cm²です。自分の図へ対応を書き、正の長さの比、Aの高さと表面積を求めます。体積比を高さや表面積へそのまま使わず、三乗と二乗で確認してください。
生徒の二直方体図でA:Bをそろえる。体積比24:81=8:27なので、2³:3³=8:27から長さの比2:3。Aの高さは6×2/3=4cm。表面積比は4:9で、Aは117×4/9=52cm²。確認は(2/3)³=24/81、(2/3)²=52/117。条件を満たす一例はA2×3×4cm、B3×4.5×6cm。
生徒の対応する図、体積比8:27から長さ2:3に戻す理由、Aの高さ4cmと表面積52cm²の実計算、三乗・二乗での別々の確認を見ます。
一辺6cmの立方体の内部から、中心を同じにした一辺4cmの立方体を取り除きます。自分の見取図で小と全体・残りを分け、両立方体と残りの体積を求めます。小:全体と小:残りの体積比をそれぞれ示し、なぜ残りへ三乗の比を直接使わないか説明してください。
生徒の図で内側4cmと外側6cmを分ける。小64cm³、全体216cm³、残り216−64=152cm³。長さ比2:3、体積の小:全体=64:216=8:27。小:残り=64:152=8:19。残りは小立方体と相似な立方体ではなく、全体から小を引いて求める。64+152=216と確認する。
生徒の内外と残りの図、64/216/152cm³の実計算、8:27と8:19を区別する理由、和での確認を見ます。
容器の内側の形も相似な拡大で、内側の全ての対応する長さを5/4倍にします。元の容量は320mLです。自分の模式図へ内側の対応と条件を書き、新しい容量をmLとcm³で求めます。外側の見た目だけで容量比を決められない理由も説明してください。
生徒の図に内側の全ての長さが5/4倍で相似という条件を書く。容量は内側の体積なので(5/4)³=125/64倍。320×125/64=625mL=625cm³。確認は625×64/125=320mL。外側が相似でも壁の厚さや内側が対応していなければ内側の体積比を三乗で決められない。この設問では内側の相似が明示されている。
生徒の内側を示す図・相似条件、三乗125/64と625mL=625cm³の計算と逆確認、外側だけでは不足する説明を見ます。
直方体Aの三辺は2,3,4cm、Bは1,4,6cmです。ある人は「どちらも体積24cm³だから相似比1:1」と言いました。自分の二つの図と両体積を書き、辺の対応を入れ替える可能性も考えて、相似だと決められない理由を具体的な比で説明してください。
生徒の二直方体図に三辺を書く。体積A=2×3×4=24cm³、B=1×4×6=24cm³。正の同じ倍率で対応すれば短い辺からの順は保たれるが、短い辺の比2/1=2と長い辺の比4/6=2/3は異なる。順を入れ替えても全ての辺を一つの倍率で対応させられず相似でない。体積1:1だけでは形や各辺1:1を保証しない。
生徒の二立体図と両体積24cm³、短辺からの順や別対応を考慮した比の不一致、等体積から相似比1:1を結論できない説明を見ます。
相似拡大で全ての対応する長さを3/2倍にし、元の体積は16cm³です。ある人は「16×3/2=24cm³が拡大後の体積」と言いました。三方向の変化を示す自分の立体図を描き、式を直して体積を求め、元の比で確認してください。
生徒の図で三方向がともに3/2倍になることを書く。体積は(3/2)³=27/8倍なので16×27/8=54cm³。例えば元2×2×4cm、拡大後3×3×6cmなら16と54cm³で確認できる。24は倍率を一回しかかけていない。16/54=8/27=(2/3)³と元の長さ比に戻す。
生徒の三方向の図、三乗と54cm³への訂正、具体的な体積の式と単位、一回だけの誤りの説明・比による確認を見ます。
2以上4以下の整数rと2以上5以下の整数sを一つずつ選びます。直方体Aの三辺をr,2r,3rcm、Bをsr,2sr,3srcmとした具体的な二図を描いてください。相似を確かめて各体積と長さ・体積の比を求め、三乗になる理由を自分で選んだ数値を入れた式で説明します。一般式だけでは終えません。
作例r=3,s=2ならA3×6×9cm、B6×12×18cm。生徒の二図へ対応を書く。三つの比は3/6=6/12=9/18=1/2で直角も対応し、相似。体積は162cm³と1296cm³、比1:8=(1/2)³。三つの長さにそれぞれ2倍がかかるため体積は8倍。別の範囲内r,sも具体図・全ての辺の対応・体積の計算と単位・二比と理由を確認する。
生徒のr,sと具体的な二立体図・三辺の対応、相似の確認、両体積と単位、長さ比・三乗の体積比・生徒の数値での理由を見ます。