中3 数学：三平方の定理：立体図形の練習問題
底面や断面、展開図から直角三角形を取り出し、立体で直角になる理由を説明します。準備14問と自分の図・式・条件を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3B(3)イ(イ)、冊子151/PDF155の、空間図形の中に直角三角形を見いだし、補助線や断面・展開図を用いて長さを求め、適用条件を吟味する趣旨を踏まえた独自課題です。現行出版社R7の指導計画と公式要点でも、直方体の対角線、錐体の高さ、断面や展開図への活用が扱われています。出版社の数値・配列・図版は写しません。097の平面図形そのものの活動とは、元の立体との対応と直角の根拠で区別します。
解説を読む
立体の図が直角に見えることと、実際に直角であることは別です。底面の対角線と高さ、軸を含む断面、指定した面の展開図から、使える直角三角形を取り出します。空間をまっすぐ結ぶ距離、辺をたどる長さ、指定した面上の道の長さは区別します。必要なら二つの直角三角形で順に計算します。
必要な予備知識
097の三平方の定理と平方根の計算、直方体・立方体・直円柱・直円錐・正四角錐、正方形の対角線、平面に垂直な直線とその平面上で交わる直線、展開図、比。一般の三角比や空間ベクトルは使いません。
- 直方体ABCD-EFGHで底面をABCDとすると、CGは底面に垂直です。底面の対角線ACとCGはCで交わるので直角で、△ACGに三平方の定理を使えます。
- 直方体では、まず底面の二辺から底面対角線の平方を求め、次にその対角線と高さから空間の対角線を求めます。途中の平方根を丸めず、平方の値を次の式へ使えます。
- 立方体の面の対角線と空間の対角線は違います。三辺の平方の和という形も、直角三角形を二つ取り出した根拠から説明します。
- 直円錐では軸が底面に垂直です。頂点・底面中心・底面円周の一点を結ぶ直角三角形で、母線が斜辺、半径と高さが残る二辺です。直径を半径の代わりにしません。
- 正四角錐では頂点から底面中心への高さが底面に垂直です。中心から頂点までの底面内の距離と、中心から辺の中点までの距離は違うので、側辺と側面の高さを区別します。
- 直円柱の軸を含む断面は長方形です。対向する円周点を結ぶ場合、幅は半径でなく直径になることを元の立体で確かめます。
- 指定した隣り合う二面を開くと、面の長さを保った長方形として経路を考えられます。直線が元の共通辺の範囲内を横切ることを確かめます。指定外の面も含む全経路の最短とは自動的にいいません。
- 辺の長さだけでは直角は保証されません。直方体などの形の条件、垂直の条件、測定値の誤差や理想化の仮定を分け、条件がない立体へ同じ式を当てはめません。
解き方の例
直方体の底面が5cm×12cm、高さが16cmなら、底面対角線の平方は25+144=169です。高さは底面に垂直なので空間対角線dの平方は169+256=425。d>0からd=5√17cm。底面対角線13cmだけで空間の対角線の答えにしません。
直円錐の母線が29cm、半径が20cmなら、軸を含む断面の半分で高さh²=29²−20²=441です。h>0なのでh=21cm。21²+20²=29²と戻して確かめます。底面の直径40cmを同じ三角形の一辺にしません。
よくある間違い
- 見取図で直角に見えるだけで、直角の根拠にする。
- 底面の対角線を空間の対角線の答えにする。
- 辺を三本足した値を、空間のまっすぐな距離にする。
- 錐体の母線や側辺を高さと同じにする。
- 底面の半径と直径、中心から辺までと頂点までを混ぜる。
- 展開図でつないだ二面の幅を、共通の辺の長さへ足す。
- 指定した面の経路を、条件なしに全表面の最短経路とする。
- 測定値や理想化の仮定を、実物の正確な値と断定する。
考え方を説明する
準備14問は断面の対応・直角・平方の関係の足場です。主課題は生徒の元の立体と実際に取り出した断面・展開図、対応点と長さ、元の条件からの直角の根拠、平方の式と計算、正の単位付き答えと確認を手動で見ます。T1は直方体で二段階、T2は立方体、T3は高さを逆算、T4は直円錐、T5は正四角錐の二つの高さ、T6は直円柱、T7は指定二面の経路、T8は三候補の比較と空間距離、T9は適用条件の修正、T10は生徒の寸法の作例です。正しい別の断面・補助線・同値な根号表現も認めます。
生徒の元の立体と補助図・式・確認は紙や既存の授業用ボードへ実際に書き、講師が手動確認します。見取図は立体を平面に表した図で、画面上の角や長さを測って根拠にしません。数値は独自の仮想設定であり実測記録ではありません。自由な立体図や経路の自動採点は行いません。生徒の試用、母語話者の校閲や学習効果は未確認です。
練習する
準備の数値と選択は足場です。主課題は元の立体と取り出した断面・展開図、対応する点、直角の根拠、平方の式と単位付きの正の長さを紙や既存の授業用ボードへ残し、講師が手動確認します。自由な図や経路の自動採点はしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
直方体ABCD-EFGHでAB=6,BC=8,CG=24cmです。空間の対角線AGは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
26
AC²=6²+8²=100。CG⊥底面なのでAC⊥CG。AG²=100+24²=676、AG=26cmです。
一辺7cmの立方体で、空間の対角線の正確な長さはどれですか。
図を準備しています。
- 7√2 cm
- 21 cm
- 7√3 cm
- √21 cm
答えと解説
7√3 cm
面の対角線の平方は2×7²。さらに高さ7cmから空間の対角線の平方は3×7²で、正の長さ7√3cmです。
直方体の底面の二辺は5cmと12cm、空間の対角線は85cmです。高さは何cmですか。
答えと解説
84
底面対角線の平方=25+144=169。高さ²=85²−169=7056なので高さ84cmです。
直円錐の母線は17cm、底面の半径は8cmです。高さは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
15
母線が斜辺、半径と高さが直角をはさみます。高さ²=17²−8²=225、正の高さ15cmです。
直円錐の母線は13cm、高さは12cmです。底面の半径は何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
5
半径²=13²−12²=25。半径は正なので5cmで、直径10cmとは別です。
正四角錐で底面の一辺は18cm、頂点から底面の頂点への側辺は15cmです。高さはどれですか。
図を準備しています。
- 12 cm
- 3√7 cm
- 9√2 cm
- √387 cm
答えと解説
3√7 cm
底面中心から頂点までの距離の平方は9²+9²=162。高さ²=15²−162=63なので高さ3√7cmです。
正四角錐の底面の一辺は14cm、高さは24cmです。Mを底面の一辺の中点としたとき、頂点VからMまでの側面の高さVMは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
25
底面中心OからMまでは7cmで、VO⊥OM。VM²=24²+7²=625、VM=25cmです。
直方体ABCD-EFGHで、底面対角線ACと辺CGを二辺とする△ACGが直角になる理由はどれですか。
図を準備しています。
- 画面でACが横に見えるから
- どの立体でも対角線と辺は直角だから
- CGが底面に垂直で、ACは底面上でCGとCで交わるから
- ACが底面の辺ABより長いから
答えと解説
CGが底面に垂直で、ACは底面上でCGとCで交わるから
直方体のCGは底面に垂直です。ACはその平面上でCを通るのでAC⊥CGです。
直方体の隣り合う二つの側面は横9cmと7cm、共通の高さ5cmです。この二面を開いた長方形の左下Pから右上Qへの直線の長さはどれですか。
図を準備しています。
- √155 cm
- √281 cm
- 21 cm
- √146 cm
答えと解説
√281 cm
開いた幅は9+7=16cm、高さ5cm。PQ²=16²+5²=281なので√281cmです。指定した二面の経路です。
直円柱の底面の半径は9cm、高さは24cmです。軸を含む断面の長方形で、底面の一端Aとその反対側の上端Cを結ぶACは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
30
断面の幅は直径18cm、高さ24cm。AC²=18²+24²=900なので30cmです。
直方体から取り出した△ACGで、ACは底面の対角線15cm、CGは高さ20cmです。空間の対角線AGは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
25
CGは底面に垂直なのでAC⊥CG。AG²=15²+20²=625、AG=25cmです。
平行六面体の一つの頂点から出る三辺が6,8,10cmです。互いに垂直とは与えられていません。反対の頂点への空間対角線について正しい判断はどれですか。
- 必ず√200cm
- 必ず24cm
- 必ず10cm
- 三辺だけでは一つに決められない
答えと解説
三辺だけでは一つに決められない
辺の長さだけでは底面の角や垂直が分かりません。直方体の式6²+8²+10²を無条件には使えず、距離は一つに決まりません。
母線7cm、底面の半径9cm、高さが正の直円錐は作れますか。
- 高さ√32cmで作れる
- 高さ4cmで作れる
- 作れない。高さ²=7²−9²が負になる
- 高さ16cmで作れる
答えと解説
作れない。高さ²=7²−9²が負になる
軸を含む断面の半分で母線は斜辺です。高さ²=49−81=−32では正の実数の高さがなく、この条件の直円錐は作れません。
仮の測定値3.1,4.0,12.0cmを辺として、物体を直方体に理想化しました。計算した空間対角線√169.61cmの解釈はどれですか。
- 実物でも誤差なく13cmと確定する
- 三辺の和19.1cmが正確な空間距離である
- 直方体の仮定と入力値に基づく計算値で、実物の形と測定誤差は別に確かめる
- 長さなので負の平方根も答えに含める
答えと解説
直方体の仮定と入力値に基づく計算値で、実物の形と測定誤差は別に確かめる
3.1²+4.0²+12.0²=169.61です。仮定した直方体の計算値であり、実物の垂直や測定精度を計算だけで保証しません。
考え方を説明する
直方体ABCD-EFGHで、底面ABCDのAB=9,BC=12cm、高さCG=20cmです。元の立体と△ABC、△ACGを自分の図へ描き、ACとAGを求めます。それぞれ直角の根拠、斜辺と平方の式、正の答えと確認を書き、辺をたどる長さとも区別してください。
答えと解説
生徒の見取図と二つの取り出した図へ対応点を書く。長方形の底面なのでAB⊥BC、AC²=9²+12²=225、AC=15cm。CG⊥底面でACは底面上をCで通るからAC⊥CG。AG²=AC²+CG²=225+400=625、AG=25cm。15²+20²=25²、25>20も確認。三本の辺をたどる9+12+20=41cmは空間をまっすぐ結ぶ25cmとは違う。
生徒の元の立体と二つの三角形・対応点、二つの直角の根拠と斜辺、AC15/AG25cm、二つの平方の式と確認、辺の和41cmとの区別を見ます。
一辺8cmの立方体です。自分の立体図に一つの面の対角線と空間の対角線を描き、それぞれ取り出す直角三角形を示して正確な長さを求めます。二つの距離が異なること、根号の式と平方による確認を書いてください。
答えと解説
生徒の図で底面ABCD、上面EFGHとする。△ABCはBが直角でAC²=8²+8²=128、AC=8√2cm。CGは底面に垂直なので△ACGはCが直角。AG²=128+8²=192、AG=8√3cm。(8√2)²=128、(8√3)²=192で、AG>AC。同じ8√2を空間の答えにしない。
生徒の立方体と二つの取り出した図、直角の根拠、面8√2/空間8√3cm、平方の二段階と大小の確認を見ます。
直方体の底面は12cm×16cm、空間の対角線は29cmです。元の立体と必要な二つの直角三角形を自分で描き、底面の対角線と高さを求めます。高さを求める式の引き算、正の値と元の三辺での確認を示してください。
答えと解説
生徒の図で底面の直角からd²=12²+16²=400、d=20cm。高さhは底面に垂直でdと直角を作る。d²+h²=29²からh²=841−400=441、h=21cm。12²+16²+21²=144+256+441=841=29²、全て正である。
生徒の立体・二つの補助図と直角の理由、底面20cm/高さ21cm、平方の引き算と正の長さ、三つの平方での確認を見ます。
直円錐の母線は25cm、底面の半径は7cmです。元の円錐と軸を含む断面、さらにその半分の直角三角形を自分で描き、高さと体積を求めます。半径と直径の違い、軸の垂直、平方と体積の式・単位を示してください。
答えと解説
生徒の図で頂点V、底面中心O、円周点Aを置く。VOは底面に垂直、OAは底面上なので∠VOA=90°、VA25cmが斜辺、OA7cmが半径。h²=25²−7²=576からh=24cm。体積=(1/3)π×7²×24=392πcm³。24²+7²=25²で確認。直径14cmをこの半分の三角形の一辺にしない。
生徒の円錐と軸断面・半分の図、直角と斜辺・半径、h24cm/体積392πcm³、平方・体積の式と確認を見ます。
正四角錐の頂点をV、底面の正方形の中心をO、底面の一頂点をA、一辺の中点をMとします。底面の一辺18cm、側辺VA=15cmです。立体と底面の図、△VOAと△VOMを描き、高さVOと側面の高さVMを求めます。OAとOMの違い、二つの直角の根拠と平方の確認を示してください。
答えと解説
生徒の底面図でOM=9cm、OA²=9²+9²=162。VOは底面に垂直なのでVO⊥OAかつVO⊥OM。△VOAでVO²=15²−162=63、VO=3√7cm。△VOMでVM²=VO²+OM²=63+81=144、VM=12cm。63+162=225=15²、63+81=144=12²で確認。VA15、VM12、VO3√7は別の線分である。
生徒の正四角錐・底面・二つの断面図、OAとOMの区別と直角の根拠、VO3√7/VM12cm、三つの平方の式・線分対応と確認を見ます。
直円柱の底面の半径は8cm、高さは30cmです。下の円の直径の一端Aと、反対側の端の真上の上円周点Cを結びます。元の円柱と軸を含む断面を自分の図へ描き、線分ACを求めます。半径でなく直径を使う理由と平方での確認を示してください。
答えと解説
生徒の元の図に対応する上下の円周点と軸断面を書く。断面は幅2×8=16cm、高さ30cmの長方形で、ACはその対角線。底面と高さは直角なのでAC²=16²+30²=256+900=1156、AC=34cm。34²=1156、34>30を確認する。幅8cmでは、直径の反対端まで届かない。
生徒の円柱・対応点・長方形断面、直径16と高さ30の直角の理由、AC34cmと平方・大小確認、半径との区別を見ます。
直方体の隣り合う二つの側面は横6cmと13cm、共通の高さ10cmです。この二面を共通の縦の辺で開き、左下Pから右上Qへ直線を引きます。元の二面と展開図、折り目を書き、指定二面上の経路の長さを求めます。直線が折り目の範囲内を通ること、整数の間の範囲を確認し、指定外の面を含む最短とは区別してください。
答えと解説
生徒の展開図は幅6+13=19cm、高さ10cmの長方形で、折り目はP側から6cmの位置。PQ²=19²+10²=461、PQ=√461cm。直線が折り目を横切る高さは10×6/19=60/19cmで0より大きく10より小さいから、指定二面内でつながる。21²=441<461<484=22²より21<PQ<22。これは指定二面内の直線経路で、指定外の面も含む全表面の最短とはここでは断定しない。
生徒の元の隣接二面と幅19・高さ10の展開図・折り目、√461cmの式、折り目通過の範囲と21..22の確認、対象の経路範囲を見ます。
辺が8,11,6cmの直方体の向かい合う頂点を、指定した二面ずつ開いた三つの経路候補で結びます。候補の長方形は(8+11)×6、(8+6)×11、(11+6)×8cmです。元の立体と三展開図・対応点を描き、三候補の正確な長さ、この三候補内で最も短いもの、空間をまっすぐ結ぶ距離を計算します。平方で比較し、候補内の比較と全経路の主張を分けてください。
答えと解説
生徒の図で隣接二面と各展開図の対応を示す。候補Iは√(19²+6²)=√397cm、IIは√(14²+11²)=√317cm、IIIは√(17²+8²)=√353cm。長さは正で317<353<397なので、この三候補ではIIの√317cmが最短。空間直線dは二段階の直角からd²=8²+11²+6²=221、d=√221cmで各候補より短い。全ての面上の全経路の最短を証明したとはせず、この三候補の比較として述べる。
生徒の立体と三展開図・対応点、√397/√317/√353cmの式、正の平方でIIを選ぶ比較、空間√221cmの直角の根拠と対象範囲の区別を見ます。
物体の一頂点から出る三辺の長さを7,8,9cmとする仮の情報だけで、ある人は「反対の頂点への距離は必ず√194cm」としました。確かめた条件と未確認の条件を自分の図に分け、足りない直角の根拠を説明します。直方体だと追加仮定した場合の計算と確認を示し、実物の測定結果を保証した主張にはしないでください。
答えと解説
生徒の図へ三辺7,8,9cmと未確認の角を書く。三辺の長さだけでは底面の直角も高さの垂直も保証されず、三平方の定理を二段階で使う根拠がない。直方体だと追加仮定するなら、底面対角線²=7²+8²=113、高さが底面に垂直なのでd²=113+9²=194、d=√194cm。13²<194<14²から13<d<14。仮定と計算の結果であり、元の物体の形や測定の正しさを証明したのではない。
生徒の与えた三辺と未確認の角の図、足りない二つの直角の根拠、直方体という追加仮定、√194cmと範囲の計算、実物に関する断定を避けた結論を見ます。
aを2〜4、bを3〜5、hを4〜6の整数から一つずつ選びます。底面の二辺2a,2bcm、高さ2hcmの直方体を自分で描き、自分で選んだ数で底面対角線と空間対角線を正確に求めます。対応する二つの直角三角形・直角の根拠・実際の平方の式と単位付きの正の長さを残し、三辺の平方でも確認してください。
答えと解説
作例a=3,b=4,h=5なら三辺6,8,10cm。生徒の立体と二つの取り出した図で、底面の直角からAC²=36+64=100、AC=10cm。高さは底面に垂直なのでAG²=100+10²=200、AG=10√2cm。6²+8²+10²=200=(10√2)²と確認する。別の条件内a,b,hでも生徒の具体的な寸法・対応図・二段階の式・正の根号の答えと確認がそろえば認める。
生徒が選んだa,b,hと実際の寸法、立体と二つの対応図、二つの直角の根拠、底面・空間の正確な長さと単位・平方の確認を見る。一般式や完成した数値だけを生徒の作例にしない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3B(3)イ(イ)、冊子151/PDF155の、空間図形の中に直角三角形を見いだし、補助線や断面・展開図を用いて長さを求め、適用条件を吟味する趣旨を踏まえた独自課題です。現行出版社R7の指導計画と公式要点でも、直方体の対角線、錐体の高さ、断面や展開図への活用が扱われています。出版社の数値・配列・図版は写しません。097の平面図形そのものの活動とは、元の立体との対応と直角の根拠で区別します。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 立体の断面・展開図から直角三角形を取り出して距離を求める
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/find-spatial-distances-with-justified-sections-and-unfoldings/
準備14問は断面の対応・直角・平方の関係の足場です。主課題は生徒の元の立体と実際に取り出した断面・展開図、対応点と長さ、元の条件からの直角の根拠、平方の式と計算、正の単位付き答えと確認を手動で見ます。T1は直方体で二段階、T2は立方体、T3は高さを逆算、T4は直円錐、T5は正四角錐の二つの高さ、T6は直円柱、T7は指定二面の経路、T8は三候補の比較と空間距離、T9は適用条件の修正、T10は生徒の寸法の作例です。正しい別の断面・補助線・同値な根号表現も認めます。
直方体ABCD-EFGHでAB=6,BC=8,CG=24cmです。空間の対角線AGは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
一辺7cmの立方体で、空間の対角線の正確な長さはどれですか。
図を準備しています。
- 7√2 cm
- 21 cm
- 7√3 cm
- √21 cm
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体の底面の二辺は5cmと12cm、空間の対角線は85cmです。高さは何cmですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直円錐の母線は17cm、底面の半径は8cmです。高さは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直円錐の母線は13cm、高さは12cmです。底面の半径は何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正四角錐で底面の一辺は18cm、頂点から底面の頂点への側辺は15cmです。高さはどれですか。
図を準備しています。
- 12 cm
- 3√7 cm
- 9√2 cm
- √387 cm
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正四角錐の底面の一辺は14cm、高さは24cmです。Mを底面の一辺の中点としたとき、頂点VからMまでの側面の高さVMは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体ABCD-EFGHで、底面対角線ACと辺CGを二辺とする△ACGが直角になる理由はどれですか。
図を準備しています。
- 画面でACが横に見えるから
- どの立体でも対角線と辺は直角だから
- CGが底面に垂直で、ACは底面上でCGとCで交わるから
- ACが底面の辺ABより長いから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体の隣り合う二つの側面は横9cmと7cm、共通の高さ5cmです。この二面を開いた長方形の左下Pから右上Qへの直線の長さはどれですか。
図を準備しています。
- √155 cm
- √281 cm
- 21 cm
- √146 cm
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直円柱の底面の半径は9cm、高さは24cmです。軸を含む断面の長方形で、底面の一端Aとその反対側の上端Cを結ぶACは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体から取り出した△ACGで、ACは底面の対角線15cm、CGは高さ20cmです。空間の対角線AGは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
平行六面体の一つの頂点から出る三辺が6,8,10cmです。互いに垂直とは与えられていません。反対の頂点への空間対角線について正しい判断はどれですか。
- 必ず√200cm
- 必ず24cm
- 必ず10cm
- 三辺だけでは一つに決められない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
母線7cm、底面の半径9cm、高さが正の直円錐は作れますか。
- 高さ√32cmで作れる
- 高さ4cmで作れる
- 作れない。高さ²=7²−9²が負になる
- 高さ16cmで作れる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
仮の測定値3.1,4.0,12.0cmを辺として、物体を直方体に理想化しました。計算した空間対角線√169.61cmの解釈はどれですか。
- 実物でも誤差なく13cmと確定する
- 三辺の和19.1cmが正確な空間距離である
- 直方体の仮定と入力値に基づく計算値で、実物の形と測定誤差は別に確かめる
- 長さなので負の平方根も答えに含める
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
直方体ABCD-EFGHで、底面ABCDのAB=9,BC=12cm、高さCG=20cmです。元の立体と△ABC、△ACGを自分の図へ描き、ACとAGを求めます。それぞれ直角の根拠、斜辺と平方の式、正の答えと確認を書き、辺をたどる長さとも区別してください。
一辺8cmの立方体です。自分の立体図に一つの面の対角線と空間の対角線を描き、それぞれ取り出す直角三角形を示して正確な長さを求めます。二つの距離が異なること、根号の式と平方による確認を書いてください。
直方体の底面は12cm×16cm、空間の対角線は29cmです。元の立体と必要な二つの直角三角形を自分で描き、底面の対角線と高さを求めます。高さを求める式の引き算、正の値と元の三辺での確認を示してください。
直円錐の母線は25cm、底面の半径は7cmです。元の円錐と軸を含む断面、さらにその半分の直角三角形を自分で描き、高さと体積を求めます。半径と直径の違い、軸の垂直、平方と体積の式・単位を示してください。
正四角錐の頂点をV、底面の正方形の中心をO、底面の一頂点をA、一辺の中点をMとします。底面の一辺18cm、側辺VA=15cmです。立体と底面の図、△VOAと△VOMを描き、高さVOと側面の高さVMを求めます。OAとOMの違い、二つの直角の根拠と平方の確認を示してください。
直円柱の底面の半径は8cm、高さは30cmです。下の円の直径の一端Aと、反対側の端の真上の上円周点Cを結びます。元の円柱と軸を含む断面を自分の図へ描き、線分ACを求めます。半径でなく直径を使う理由と平方での確認を示してください。
直方体の隣り合う二つの側面は横6cmと13cm、共通の高さ10cmです。この二面を共通の縦の辺で開き、左下Pから右上Qへ直線を引きます。元の二面と展開図、折り目を書き、指定二面上の経路の長さを求めます。直線が折り目の範囲内を通ること、整数の間の範囲を確認し、指定外の面を含む最短とは区別してください。
辺が8,11,6cmの直方体の向かい合う頂点を、指定した二面ずつ開いた三つの経路候補で結びます。候補の長方形は(8+11)×6、(8+6)×11、(11+6)×8cmです。元の立体と三展開図・対応点を描き、三候補の正確な長さ、この三候補内で最も短いもの、空間をまっすぐ結ぶ距離を計算します。平方で比較し、候補内の比較と全経路の主張を分けてください。
物体の一頂点から出る三辺の長さを7,8,9cmとする仮の情報だけで、ある人は「反対の頂点への距離は必ず√194cm」としました。確かめた条件と未確認の条件を自分の図に分け、足りない直角の根拠を説明します。直方体だと追加仮定した場合の計算と確認を示し、実物の測定結果を保証した主張にはしないでください。
aを2〜4、bを3〜5、hを4〜6の整数から一つずつ選びます。底面の二辺2a,2bcm、高さ2hcmの直方体を自分で描き、自分で選んだ数で底面対角線と空間対角線を正確に求めます。対応する二つの直角三角形・直角の根拠・実際の平方の式と単位付きの正の長さを残し、三辺の平方でも確認してください。
解答: 立体の断面・展開図から直角三角形を取り出して距離を求める
26
AC²=6²+8²=100。CG⊥底面なのでAC⊥CG。AG²=100+24²=676、AG=26cmです。
7√3 cm
面の対角線の平方は2×7²。さらに高さ7cmから空間の対角線の平方は3×7²で、正の長さ7√3cmです。
84
底面対角線の平方=25+144=169。高さ²=85²−169=7056なので高さ84cmです。
15
母線が斜辺、半径と高さが直角をはさみます。高さ²=17²−8²=225、正の高さ15cmです。
5
半径²=13²−12²=25。半径は正なので5cmで、直径10cmとは別です。
3√7 cm
底面中心から頂点までの距離の平方は9²+9²=162。高さ²=15²−162=63なので高さ3√7cmです。
25
底面中心OからMまでは7cmで、VO⊥OM。VM²=24²+7²=625、VM=25cmです。
CGが底面に垂直で、ACは底面上でCGとCで交わるから
直方体のCGは底面に垂直です。ACはその平面上でCを通るのでAC⊥CGです。
√281 cm
開いた幅は9+7=16cm、高さ5cm。PQ²=16²+5²=281なので√281cmです。指定した二面の経路です。
30
断面の幅は直径18cm、高さ24cm。AC²=18²+24²=900なので30cmです。
25
CGは底面に垂直なのでAC⊥CG。AG²=15²+20²=625、AG=25cmです。
三辺だけでは一つに決められない
辺の長さだけでは底面の角や垂直が分かりません。直方体の式6²+8²+10²を無条件には使えず、距離は一つに決まりません。
作れない。高さ²=7²−9²が負になる
軸を含む断面の半分で母線は斜辺です。高さ²=49−81=−32では正の実数の高さがなく、この条件の直円錐は作れません。
直方体の仮定と入力値に基づく計算値で、実物の形と測定誤差は別に確かめる
3.1²+4.0²+12.0²=169.61です。仮定した直方体の計算値であり、実物の垂直や測定精度を計算だけで保証しません。
記述問題の解答・確認の観点
直方体ABCD-EFGHで、底面ABCDのAB=9,BC=12cm、高さCG=20cmです。元の立体と△ABC、△ACGを自分の図へ描き、ACとAGを求めます。それぞれ直角の根拠、斜辺と平方の式、正の答えと確認を書き、辺をたどる長さとも区別してください。
生徒の見取図と二つの取り出した図へ対応点を書く。長方形の底面なのでAB⊥BC、AC²=9²+12²=225、AC=15cm。CG⊥底面でACは底面上をCで通るからAC⊥CG。AG²=AC²+CG²=225+400=625、AG=25cm。15²+20²=25²、25>20も確認。三本の辺をたどる9+12+20=41cmは空間をまっすぐ結ぶ25cmとは違う。
生徒の元の立体と二つの三角形・対応点、二つの直角の根拠と斜辺、AC15/AG25cm、二つの平方の式と確認、辺の和41cmとの区別を見ます。
一辺8cmの立方体です。自分の立体図に一つの面の対角線と空間の対角線を描き、それぞれ取り出す直角三角形を示して正確な長さを求めます。二つの距離が異なること、根号の式と平方による確認を書いてください。
生徒の図で底面ABCD、上面EFGHとする。△ABCはBが直角でAC²=8²+8²=128、AC=8√2cm。CGは底面に垂直なので△ACGはCが直角。AG²=128+8²=192、AG=8√3cm。(8√2)²=128、(8√3)²=192で、AG>AC。同じ8√2を空間の答えにしない。
生徒の立方体と二つの取り出した図、直角の根拠、面8√2/空間8√3cm、平方の二段階と大小の確認を見ます。
直方体の底面は12cm×16cm、空間の対角線は29cmです。元の立体と必要な二つの直角三角形を自分で描き、底面の対角線と高さを求めます。高さを求める式の引き算、正の値と元の三辺での確認を示してください。
生徒の図で底面の直角からd²=12²+16²=400、d=20cm。高さhは底面に垂直でdと直角を作る。d²+h²=29²からh²=841−400=441、h=21cm。12²+16²+21²=144+256+441=841=29²、全て正である。
生徒の立体・二つの補助図と直角の理由、底面20cm/高さ21cm、平方の引き算と正の長さ、三つの平方での確認を見ます。
直円錐の母線は25cm、底面の半径は7cmです。元の円錐と軸を含む断面、さらにその半分の直角三角形を自分で描き、高さと体積を求めます。半径と直径の違い、軸の垂直、平方と体積の式・単位を示してください。
生徒の図で頂点V、底面中心O、円周点Aを置く。VOは底面に垂直、OAは底面上なので∠VOA=90°、VA25cmが斜辺、OA7cmが半径。h²=25²−7²=576からh=24cm。体積=(1/3)π×7²×24=392πcm³。24²+7²=25²で確認。直径14cmをこの半分の三角形の一辺にしない。
生徒の円錐と軸断面・半分の図、直角と斜辺・半径、h24cm/体積392πcm³、平方・体積の式と確認を見ます。
正四角錐の頂点をV、底面の正方形の中心をO、底面の一頂点をA、一辺の中点をMとします。底面の一辺18cm、側辺VA=15cmです。立体と底面の図、△VOAと△VOMを描き、高さVOと側面の高さVMを求めます。OAとOMの違い、二つの直角の根拠と平方の確認を示してください。
生徒の底面図でOM=9cm、OA²=9²+9²=162。VOは底面に垂直なのでVO⊥OAかつVO⊥OM。△VOAでVO²=15²−162=63、VO=3√7cm。△VOMでVM²=VO²+OM²=63+81=144、VM=12cm。63+162=225=15²、63+81=144=12²で確認。VA15、VM12、VO3√7は別の線分である。
生徒の正四角錐・底面・二つの断面図、OAとOMの区別と直角の根拠、VO3√7/VM12cm、三つの平方の式・線分対応と確認を見ます。
直円柱の底面の半径は8cm、高さは30cmです。下の円の直径の一端Aと、反対側の端の真上の上円周点Cを結びます。元の円柱と軸を含む断面を自分の図へ描き、線分ACを求めます。半径でなく直径を使う理由と平方での確認を示してください。
生徒の元の図に対応する上下の円周点と軸断面を書く。断面は幅2×8=16cm、高さ30cmの長方形で、ACはその対角線。底面と高さは直角なのでAC²=16²+30²=256+900=1156、AC=34cm。34²=1156、34>30を確認する。幅8cmでは、直径の反対端まで届かない。
生徒の円柱・対応点・長方形断面、直径16と高さ30の直角の理由、AC34cmと平方・大小確認、半径との区別を見ます。
直方体の隣り合う二つの側面は横6cmと13cm、共通の高さ10cmです。この二面を共通の縦の辺で開き、左下Pから右上Qへ直線を引きます。元の二面と展開図、折り目を書き、指定二面上の経路の長さを求めます。直線が折り目の範囲内を通ること、整数の間の範囲を確認し、指定外の面を含む最短とは区別してください。
生徒の展開図は幅6+13=19cm、高さ10cmの長方形で、折り目はP側から6cmの位置。PQ²=19²+10²=461、PQ=√461cm。直線が折り目を横切る高さは10×6/19=60/19cmで0より大きく10より小さいから、指定二面内でつながる。21²=441<461<484=22²より21<PQ<22。これは指定二面内の直線経路で、指定外の面も含む全表面の最短とはここでは断定しない。
生徒の元の隣接二面と幅19・高さ10の展開図・折り目、√461cmの式、折り目通過の範囲と21..22の確認、対象の経路範囲を見ます。
辺が8,11,6cmの直方体の向かい合う頂点を、指定した二面ずつ開いた三つの経路候補で結びます。候補の長方形は(8+11)×6、(8+6)×11、(11+6)×8cmです。元の立体と三展開図・対応点を描き、三候補の正確な長さ、この三候補内で最も短いもの、空間をまっすぐ結ぶ距離を計算します。平方で比較し、候補内の比較と全経路の主張を分けてください。
生徒の図で隣接二面と各展開図の対応を示す。候補Iは√(19²+6²)=√397cm、IIは√(14²+11²)=√317cm、IIIは√(17²+8²)=√353cm。長さは正で317<353<397なので、この三候補ではIIの√317cmが最短。空間直線dは二段階の直角からd²=8²+11²+6²=221、d=√221cmで各候補より短い。全ての面上の全経路の最短を証明したとはせず、この三候補の比較として述べる。
生徒の立体と三展開図・対応点、√397/√317/√353cmの式、正の平方でIIを選ぶ比較、空間√221cmの直角の根拠と対象範囲の区別を見ます。
物体の一頂点から出る三辺の長さを7,8,9cmとする仮の情報だけで、ある人は「反対の頂点への距離は必ず√194cm」としました。確かめた条件と未確認の条件を自分の図に分け、足りない直角の根拠を説明します。直方体だと追加仮定した場合の計算と確認を示し、実物の測定結果を保証した主張にはしないでください。
生徒の図へ三辺7,8,9cmと未確認の角を書く。三辺の長さだけでは底面の直角も高さの垂直も保証されず、三平方の定理を二段階で使う根拠がない。直方体だと追加仮定するなら、底面対角線²=7²+8²=113、高さが底面に垂直なのでd²=113+9²=194、d=√194cm。13²<194<14²から13<d<14。仮定と計算の結果であり、元の物体の形や測定の正しさを証明したのではない。
生徒の与えた三辺と未確認の角の図、足りない二つの直角の根拠、直方体という追加仮定、√194cmと範囲の計算、実物に関する断定を避けた結論を見ます。
aを2〜4、bを3〜5、hを4〜6の整数から一つずつ選びます。底面の二辺2a,2bcm、高さ2hcmの直方体を自分で描き、自分で選んだ数で底面対角線と空間対角線を正確に求めます。対応する二つの直角三角形・直角の根拠・実際の平方の式と単位付きの正の長さを残し、三辺の平方でも確認してください。
作例a=3,b=4,h=5なら三辺6,8,10cm。生徒の立体と二つの取り出した図で、底面の直角からAC²=36+64=100、AC=10cm。高さは底面に垂直なのでAG²=100+10²=200、AG=10√2cm。6²+8²+10²=200=(10√2)²と確認する。別の条件内a,b,hでも生徒の具体的な寸法・対応図・二段階の式・正の根号の答えと確認がそろえば認める。
生徒が選んだa,b,hと実際の寸法、立体と二つの対応図、二つの直角の根拠、底面・空間の正確な長さと単位・平方の確認を見る。一般式や完成した数値だけを生徒の作例にしない。