中3 数学：円周角の定理とその逆の練習問題
指定した弧や同じ側の条件を根拠として、等しい角や平行、四点が同一円周上にあることなどを証明します。準備14問と自分の図・証明全体を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3B(2)イ(イ)と内容の取扱い(4)、冊子147〜148/PDF151〜152の、円周角と中心角を考察して表現し、円周角の定理の逆も扱う趣旨を踏まえた独自課題です。本文の直径を使った接線の作図も、補助円をどの推論に使うかという別の問題にしています。現行出版社の指導計画・公式要点で、弧を指定した円周角と逆の同じ側の条件を確認しました。出版社の問題の配列・数値・図版は写しません。中心位置によるすべての場合分けを新しい必須課題にはしません。
解説を読む
円周角の定理を使うときは、どの弧をどの頂点から見込むかを書きます。逆を使って四点が同じ円周上にあると示すときは、角の等しさだけでなく、二つの頂点が直線ABの同じ側にあることも確かめます。結論を最初から仮定せず、与えられた条件から一段ずつ理由をつなげます。
必要な予備知識
095の円周角と中心角、円周上の点と直径、一直線上にない三点を通る円が一つに定まること、三角形の内角の和、正三角形、平行線の錯角とその逆。円周上の接点で半径に垂直な直線はその円の接線である性質も使います。三平方の定理や三角比は使いません。
- 同じ円で同じ弧ABを見込む円周角∠APB,∠AQBは等しくなります。二頂点は指定した弧を含まない方の弧上にあり、両端A,Bとは異なります。
- 四点A,B,P,Qが全て異なり、P,Qが直線ABの同じ側にあるとします。∠APB=∠AQBなら、円周角の定理の逆により四点は同じ円周上にあります。円周角は0°より大きく180°より小さい角です。
- 同じ側を省くと、等しい二つの角だけでは四点が同じ円周上にあると決められません。反対側に作った二つの正三角形は、その具体的な反例になります。
- 円に内接する四角形の向かい合う内角は、それぞれ二つの補い合う弧を見込みます。中心角の和360°の半分なので、向かい合う内角の和は180°です。
- 直径に対する円周角は90°です。逆に∠APB=90°でPが直線AB上にないなら、PはABを直径とする円周上にあります。補助点を同じ側に取って円周角の定理の逆で示すこともできます。
- 等しい弧に対する円周角から等しい角を示し、錯角が等しいことや角の二等分の条件へつなげられます。どの直線を横切る角か、半直線が角の内側にあるかも図で確かめます。
- 補助円を使うときは、元の円と補助円の中心・直径・円周上の点を分けて書きます。どの円の円周角から直角を導いたのかを明示します。
- 証明は仮定から進めます。「同じ円周上にある」と示したいのに、それを仮定して等しい円周角を作るのは循環です。角の等しさを内角の和など別の与えられた条件から導いてから逆を使います。
解き方の例
A,B,P,Qが全て異なり、P,Qは直線ABの同じ側、∠APB=∠AQB=57°とします。二つの等しい角は同じ端点A,Bを持ち、二頂点が同じ側なので、円周角の定理の逆からA,B,P,Qは同じ円周上にあります。「57°だから」だけでなく、同じ端点と同じ側を根拠に書きます。
円に内接する四角形ABCDで、∠DABが見込むAを含まない弧DCBの中心角をαとすると、∠BCDが見込むCを含まない弧BADの中心角は360°−αです。よって∠DAB+∠BCD=α/2+(360°−α)/2=180°。片方が79°ならもう一方は101°です。
よくある間違い
- 同じ端点だけで、反対側の二頂点の角も必ず等しいとする。
- 逆を使うのに、二頂点が直線ABの同じ側かを確かめない。
- 示したい同一円周上という結論を、証明の最初の根拠に使う。
- 直径に対する直角を、元の円と補助円で取り違える。
- 半径に垂直な線というだけで、交点が円周上の接点であることを落とす。
- 等しい角を書いても、どの弧から得たかや平行への理由を書かない。
- 反例の図だけを示し、条件を満たすことと結論が成り立たないことを説明しない。
- 生徒の図や証明を書かず、性質の名前と結論だけで終える。
考え方を説明する
準備14問は弧・仮定・理由を見分ける足場です。主課題では生徒の実際の図へ与えた条件と補助線を示し、定理または逆の適用条件、角の等しさの理由、次の推論と結論まで理由をつないだ証明を手動確認します。T1は同じ弧、T2は内接四角形、T3は二円から接線、T4は同じ側の逆、T5は直角の軌跡、T6は角の二等分、T7は平行、T8は同じ側を落とす反例、T9は循環の修正、T10は生徒の条件を持つ逆の作例です。正しい別証明も認めます。
図・証明・反例の説明は生徒が紙や既存の授業用ボードへ実際に書き、講師が手動確認します。図は模式図で、見た目や測定だけを証明の根拠にしません。自由な図や証明の自動採点は行いません。数値は独自の設定で、生徒の試用、母語話者の校閲や学習効果は未確認です。
練習する
準備の数値や選択は足場です。主課題では条件と補助線を自分の図へ書き、使う弧・角・同じ側の条件、理由をつないだ証明全体と結論を紙や既存の授業用ボードへ残します。講師が手動で確認し、性質の名前や結論だけで証明を完了にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
同じ円でP,Qが同じ弧ABを見込んでいます。直接等しいといえる角はどれですか。
図を準備しています。
- ∠APBと∠AQB
- ∠APBと∠PAB
- ∠APBと∠ABP
- ∠APBと∠AOQ
答えと解説
∠APBと∠AQB
同じ弧ABに対する円周角∠APB=∠AQBです。
指定した弧ABに対する円周角の頂点Pは、どこに置きますか。
- Aそのもの
- 指定した弧の途中で、AとBのどちらの端点でもない位置
- 指定した弧を含まない方の弧上（端点を除く）
- 中心O
答えと解説
指定した弧を含まない方の弧上（端点を除く）
頂点Pは端点とは異なり、その円周角が見込む弧を含まない方の弧上です。
異なる四点A,B,P,Qで∠APB=∠AQBです。円周角の定理の逆を使うため、ここで確認すべき条件はどれですか。
図を準備しています。
- P,Qが直線ABの同じ側にある
- APとAQの長さが等しく、PとQがAから同じ距離にある
- ABが必ず直径である
- 二つの角が必ず90°である
答えと解説
P,Qが直線ABの同じ側にある
同じ端点A,Bに対する等しい角で、P,Qが直線ABの同じ側にあることを確認します。
線分ABの反対側に正三角形APBとAQBを作りました。∠APB=∠AQB=60°です。四点について正しい説明はどれですか。
図を準備しています。
- 角が等しいので必ず同じ円周上
- 同じ側の条件は不要である
- 同じ円周上なら反対側の二角の和180°に反するため、この四点は同じ円周上にない
- 二角が60°だからABは必ず直径
答えと解説
同じ円周上なら反対側の二角の和180°に反するため、この四点は同じ円周上にない
P,QはABの反対側で、内接四角形なら向かい合う角の和は180°のはずです。60+60=120°なので反例です。
円に内接する四角形ABCDで∠DAB=73°です。向かい合う∠BCDは何度ですか。
答えと解説
107
二つの内角は補い合う弧の中心角を半分にするので和180°です。180−73=107°。
OPを直径とする円周上にTがあり、TはO,Pとは異なります。∠OTPは何度ですか。
答えと解説
90
直径OPに対する円周角なので180÷2=90°です。
Pは直線AB上にない点で∠APB=90°です。円周角の性質の逆からいえることはどれですか。
- PはABを直径とする円周上にある
- PはABの中点である
- AP=ABである
- Pはどの円周上にもない
答えと解説
PはABを直径とする円周上にある
直径に対する円周角の逆です。補助点をABを直径とする円の同じ側の半円上に取り、等しい90°から逆を使えます。
Tは中心Oの円周上にあり、直線PTは半径OTに垂直です。使える結論はどれですか。
- PTは必ず直径
- PTはTにおける円の接線
- Pは必ず中心
- OTとPTは平行
答えと解説
PTはTにおける円の接線
円周上の点Tで半径に垂直な直線は、その円のTにおける接線です。
同じ円周上にA,B,C,Dがこの順に並び、弧BCと弧DAが等しいとします。同じ弧に対する角から得られる等式はどれですか。
- ∠BAC=∠ACD
- ∠ABC=∠BCD
- ∠DAB=∠ABC
- ∠BAC=∠ABC
答えと解説
∠BAC=∠ACD
∠BACは弧BC、∠ACDは弧DAを見込み、二つの弧が等しいので角も等しくなります。
四点A,B,C,Dがこの順の凸四角形で、∠BAC=∠ACDです。直線ACを横切る錯角の逆からいえることはどれですか。
- AB∥CD
- AD∥BC
- AC∥BD
- AB⊥CD
答えと解説
AB∥CD
ACを横切るABとCDの錯角が等しいのでAB∥CDです。
弧AB=弧BCで、A,B,Cは続いた弧上にこの順、Dは残りの弧上（端点A,Cを除く）です。∠ADB=∠BDCを示すと、どの結論へ進めますか。
- DBは∠ADCを二等分する
- ABは必ず直径
- DA=DCとは無関係に∠ADC=90°
- Dは弧ABCの途中にある
答えと解説
DBは∠ADCを二等分する
半直線DBは∠ADCの内側で、両側の角が等しいため二等分線です。
A,B,P,Qが同じ円周上にあると示したい証明で、最初に「同じ円周上だから∠APB=∠AQB」と書きました。何を直しますか。
- 結論を先に仮定せず、角の等しさを与えられた条件から導く
- 同じ円周上だという結論を最初に使ったまま、角の等しさの後へ定理の逆の名前を足す
- 角の等しさは根拠を一切要しない
- 逆の名前だけを最後に足せば直る
答えと解説
結論を先に仮定せず、角の等しさを与えられた条件から導く
示すべき結論を根拠にした循環です。内角の和など仮定にある別の条件から等しい角を得て、同じ側も確かめてから逆を使います。
円周角の定理の逆で、頂点Pが端点Aそのものだったらどう扱いますか。
- P=Aでも∠APBは同じ形で使える
- ∠APBが定まらないので、端点と異なる頂点という条件を満たさない
- 必ず角は90°になる
- PがAへ近づくときの角度を使えると考え、P=Aでも円周角として証明に使う
答えと解説
∠APBが定まらないので、端点と異なる頂点という条件を満たさない
P=Aでは半直線PAが定まらず、円周角の頂点として使えません。四点が異なるという条件が必要です。
ABを直径とする円周上にQを取り、P,Qは直線ABの同じ側の異なる点です。∠APB=90°が与えられました。逆を使う直前に書く根拠はどれですか。
- ∠AQB=90°で∠APBと等しく、頂点P,QはABの同じ側
- Pも円周上だと最初から仮定する
- APとAQが等しいことを先に仮定して、PとQの見込む弧が等しいとする
- 二つの角は反対向きなので無視する
答えと解説
∠AQB=90°で∠APBと等しく、頂点P,QはABの同じ側
Qの角は直径に対する円周角で90°です。等しい角と同じ側の条件から逆を使い、Pも同じ円周上と示します。
考え方を説明する
中心Oの円でP,Qは指定した弧ABを含まない方の弧上の異なる点です。P,Qは端点A,Bとは異なります。弧と二頂点を自分の図に書き、∠APB=∠AQBを中心角との関係から証明してください。端点が同じという言葉だけで終えず、どの弧を使うかを明示します。
答えと解説
生徒の図に指定した弧ABとその外の弧上（端点A,Bを除く）のP,Qを書く。指定した弧に対する中心角をαとする。円周角の定理より∠APB=α/2、∠AQB=α/2である。どちらも頂点を含まない同じ弧ABを見込むため、二角は等しい。反対側の弧を混ぜていない。
生徒の実際の弧と頂点の図、同じ中心角αを使える条件、二つの半分の式から等しいという結論までの証明を見ます。
円に内接する四角形ABCDについて、円周順A,B,C,Dと二つの補い合う弧を自分の図へ書き、∠DAB+∠BCD=180°を証明してください。図を測らず、同じ端点B,Dの二つの弧に対する中心角を使います。
答えと解説
生徒の図にAを含まない弧DCBとCを含まない弧BADを区別する。前者の中心角をαとすれば、後者は360°−αである。∠DAB=α/2、∠BCD=(360°−α)/2なので、和は180°となる。四点が円周順に異なるため、二つは四角形の向かい合う内角である。
生徒の内接四角形と二弧の図、中心角の和360°、各円周角の対応と二つの式、和180°の結論までを見ます。
中心Oの円の外にPを取り、OPの中点をMとします。OPを直径とする補助円が元の円と異なる二点T,Uで交わっています。二つの円・中心・直径と線分を自分の図へ書き、直線PTとPUが元の円の接線であることを証明してください。円周上の点で半径に垂直な直線は接線である性質を使えます。
答えと解説
生徒の図で元の円は中心O、補助円は中心Mで直径OP、T,Uは二円の交点と区別する。Tは補助円周上なので、直径OPに対する円周角∠OTP=90°、同様に∠OUP=90°。よってOT⊥PT、OU⊥PU。T,Uは元の円周上の点でOT,OUはその半径なので、半径に垂直なPT,PUはそれぞれT,Uで元の円に接する。
生徒の二円と二中心・直径・交点の図、補助円の直径から二つの直角を導く理由、元の円の半径と接点、接線二本の結論をつなぐ証明全体を見ます。
異なる四点A,B,P,Qで、P,Qは直線ABの同じ側にあり、∠APB=∠AQB=54°です。円を最初から仮定せず、自分の四点の図へ与えた条件を書き、四点が同じ円周上にあることを証明してください。逆のどの条件を使うかを明示します。
答えと解説
生徒の四点の図にA,Bの直線、同じ側のP,Qと等しい54°を書く。A,Bは共通の端点、P,Qは直線ABの同じ側の異なる頂点で、二つの角は等しい。円周角の定理の逆の条件を満たすのでA,B,P,Qは同じ円周上にある。先に円周上と仮定して角を等しくしていない。
生徒の円を仮定していない条件図、共通端点・同じ側・等しい角という仮定、逆の適用と同一円周上の結論を見ます。
Pは直線AB上にない点で、∠APB=90°です。自分の図へA,B,PとABを直径とする円を描き、Pがその円周上にあることを証明してください。必要なら、その円のPと同じ側の半円の弧上に、A,B,Pとは異なる補助点Qを取り、円周角の定理の逆を使います。
答えと解説
生徒の図へABを直径とする円とPを書き、Pと同じ側の半円の弧上（端点A,Bを除く）に、Pとは異なる点Qを選ぶ。直径に対する円周角なので∠AQB=90°。仮定∠APB=90°と等しく、P,QはABの同じ側の異なる頂点である。円周角の定理の逆からA,B,P,Qは同じ円周上にある。A,B,Qが定める円は描いた直径ABの円なので、Pもその円周上にある。
生徒の直径の円・点P・必要な補助点Qの図、Qの直角の根拠、等しい角と同じ側を使う逆、既知の円にPが属する結論までを見ます。
同じ円でA,B,Cがこの順に続いた弧ABC上にあり、弧AB=弧BCです。Dは残りの弧上（端点A,Cを除く）にあり、全て異なる点です。等しい弧と半直線DBを自分の図に書き、DBが∠ADCの二等分線であることを証明してください。
答えと解説
生徒の図に続く等しい弧AB,BCと、弧ABCを見込む頂点Dを書く。等しい弧に対する円周角なので∠ADB=∠BDC。BはDを含まない弧ACの途中にあるため半直線DBは∠ADCの内側にある。よってDBは∠ADCを等しい二つの角へ分ける二等分線である。
生徒の等しい連続弧とD,DBの図、二つの角と各弧の対応、DBが角の内側という配置、二等分線の結論をつなぐ証明を見ます。
同じ円周上にA,B,C,Dがこの順に並び、弧BCと弧DAは等しいものとします。自分の図へ対角線ACと等しい弧を書き、AB∥CDを証明してください。等しい円周角から、どの直線を横切る錯角へ進むかを明示します。
答えと解説
生徒の図へ円周順A,B,C,D、等しい弧BC,DA、対角線ACを書く。∠BACは弧BC、∠ACDは弧DAに対する円周角なので、等しい弧から∠BAC=∠ACD。円周順よりB,Dは直線ACの反対側であり、この二角はACを横切るABとCDの錯角である。錯角が等しいことの逆からAB∥CDと結論する。
生徒の円周順とAC・等しい弧の図、二つの角と弧の対応、ACを横切る錯角という理由、平行までつないだ証明を見ます。
「∠APB=∠AQBなら、P,Qが直線ABのどちら側でも四点は同じ円周上」という主張を検討します。ABを共有して反対側に二つの正三角形APB,AQBを描き、等しい角という条件は満たす一方で四点が同じ円周上にはないことを証明してください。図だけで終えません。
答えと解説
生徒の図で二つの正三角形をABの反対側へ描く。正三角形の角から∠APB=∠AQB=60°で、等しい角という仮定は満たす。もし四点が同じ円周上なら、円周順の四角形APBQの向かい合う角PとQの和は180°である。しかし実際は60+60=120°で矛盾する。したがって同一円周上ではなく、逆の同じ側の条件を落とせない。
生徒の反対側の正三角形の図、二角60°で仮定を満たすこと、内接なら和180°と実際120°との矛盾、主張が成り立たない結論を見ます。
異なる四点A,B,P,Qで、P,Qは直線ABの同じ側、∠APB=48°、∠BAQ=∠ABQ=66°です。ある証明は「四点は同じ円周上だから∠APB=∠AQB。したがって逆から同じ円周上」としています。条件図を描き、循環している箇所を説明して、仮定だけから理由をつないだ正しい証明へ書き直してください。
答えと解説
生徒の条件図へP,QがABの同じ側であることと、48°,66°,66°を書く。元の証明は示したい同一円周上を最初の根拠にしており循環している。仮定だけで△AQBの内角の和を使い、∠AQB=180−66−66=48°を得る。よって∠APB=∠AQBで、共通端点A,Bと同じ側の異なる頂点P,Qを持つ。円周角の定理の逆から四点は同じ円周上にある。
生徒の条件図、先に結論を仮定した箇所の特定、内角和から48°を独立に導く式、等しい角・同じ側を使って逆へ進む証明を見ます。
30以上70以下の偶数aを一つ選びます。異なる二点A,Bを結ぶ線分の同じ側に、底角が両方(180−a)/2度の三角形APBと、Aの底角が(180−a)/2−10度、Bの底角が(180−a)/2+10度の三角形AQBを自分で描きます。円は仮定しません。自分で選んだ数で四つの底角と二つの頂角を計算し、点が異なり非退化であることと同じ側を確かめ、A,B,P,Qが同じ円周上にあることを示す証明を書いてください。
答えと解説
作例a=50なら、△APBの底角は65°,65°、△AQBの底角は55°,75°である。生徒の図で二つの三角形はABの同じ側に描く。頂角はそれぞれ180−65−65=50°、180−55−75=50°。底角は全て正で和が180°未満なので二つの三角形はつぶれない。Aにおける半直線APとAQの角が10°異なるのでPとQは異なり、どちらも端点ではない。等しい頂角と同じ側、共通端点から円周角の定理の逆を使い、四点は同じ円周上と結論する。別の条件内aでも生徒の具体的な図・全数値・条件の確認と証明がそろえば認める。
生徒が選んだ偶数a、同じ側の二つの実際の三角形、四底角と二頂角の計算、異なる点・非退化・同じ側、逆を使う証明全体と結論を見る。一般式だけでは生徒の作例としない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3B(2)イ(イ)と内容の取扱い(4)、冊子147〜148/PDF151〜152の、円周角と中心角を考察して表現し、円周角の定理の逆も扱う趣旨を踏まえた独自課題です。本文の直径を使った接線の作図も、補助円をどの推論に使うかという別の問題にしています。現行出版社の指導計画・公式要点で、弧を指定した円周角と逆の同じ側の条件を確認しました。出版社の問題の配列・数値・図版は写しません。中心位置によるすべての場合分けを新しい必須課題にはしません。 · 2026-11-03
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準備14問は弧・仮定・理由を見分ける足場です。主課題では生徒の実際の図へ与えた条件と補助線を示し、定理または逆の適用条件、角の等しさの理由、次の推論と結論まで理由をつないだ証明を手動確認します。T1は同じ弧、T2は内接四角形、T3は二円から接線、T4は同じ側の逆、T5は直角の軌跡、T6は角の二等分、T7は平行、T8は同じ側を落とす反例、T9は循環の修正、T10は生徒の条件を持つ逆の作例です。正しい別証明も認めます。
同じ円でP,Qが同じ弧ABを見込んでいます。直接等しいといえる角はどれですか。
図を準備しています。
- ∠APBと∠AQB
- ∠APBと∠PAB
- ∠APBと∠ABP
- ∠APBと∠AOQ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
指定した弧ABに対する円周角の頂点Pは、どこに置きますか。
- Aそのもの
- 指定した弧の途中で、AとBのどちらの端点でもない位置
- 指定した弧を含まない方の弧上（端点を除く）
- 中心O
途中の計算・単位・理由・確認答え:
異なる四点A,B,P,Qで∠APB=∠AQBです。円周角の定理の逆を使うため、ここで確認すべき条件はどれですか。
図を準備しています。
- P,Qが直線ABの同じ側にある
- APとAQの長さが等しく、PとQがAから同じ距離にある
- ABが必ず直径である
- 二つの角が必ず90°である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
線分ABの反対側に正三角形APBとAQBを作りました。∠APB=∠AQB=60°です。四点について正しい説明はどれですか。
図を準備しています。
- 角が等しいので必ず同じ円周上
- 同じ側の条件は不要である
- 同じ円周上なら反対側の二角の和180°に反するため、この四点は同じ円周上にない
- 二角が60°だからABは必ず直径
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円に内接する四角形ABCDで∠DAB=73°です。向かい合う∠BCDは何度ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
OPを直径とする円周上にTがあり、TはO,Pとは異なります。∠OTPは何度ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Pは直線AB上にない点で∠APB=90°です。円周角の性質の逆からいえることはどれですか。
- PはABを直径とする円周上にある
- PはABの中点である
- AP=ABである
- Pはどの円周上にもない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Tは中心Oの円周上にあり、直線PTは半径OTに垂直です。使える結論はどれですか。
- PTは必ず直径
- PTはTにおける円の接線
- Pは必ず中心
- OTとPTは平行
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ円周上にA,B,C,Dがこの順に並び、弧BCと弧DAが等しいとします。同じ弧に対する角から得られる等式はどれですか。
- ∠BAC=∠ACD
- ∠ABC=∠BCD
- ∠DAB=∠ABC
- ∠BAC=∠ABC
途中の計算・単位・理由・確認答え:
四点A,B,C,Dがこの順の凸四角形で、∠BAC=∠ACDです。直線ACを横切る錯角の逆からいえることはどれですか。
- AB∥CD
- AD∥BC
- AC∥BD
- AB⊥CD
途中の計算・単位・理由・確認答え:
弧AB=弧BCで、A,B,Cは続いた弧上にこの順、Dは残りの弧上（端点A,Cを除く）です。∠ADB=∠BDCを示すと、どの結論へ進めますか。
- DBは∠ADCを二等分する
- ABは必ず直径
- DA=DCとは無関係に∠ADC=90°
- Dは弧ABCの途中にある
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A,B,P,Qが同じ円周上にあると示したい証明で、最初に「同じ円周上だから∠APB=∠AQB」と書きました。何を直しますか。
- 結論を先に仮定せず、角の等しさを与えられた条件から導く
- 同じ円周上だという結論を最初に使ったまま、角の等しさの後へ定理の逆の名前を足す
- 角の等しさは根拠を一切要しない
- 逆の名前だけを最後に足せば直る
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円周角の定理の逆で、頂点Pが端点Aそのものだったらどう扱いますか。
- P=Aでも∠APBは同じ形で使える
- ∠APBが定まらないので、端点と異なる頂点という条件を満たさない
- 必ず角は90°になる
- PがAへ近づくときの角度を使えると考え、P=Aでも円周角として証明に使う
途中の計算・単位・理由・確認答え:
ABを直径とする円周上にQを取り、P,Qは直線ABの同じ側の異なる点です。∠APB=90°が与えられました。逆を使う直前に書く根拠はどれですか。
- ∠AQB=90°で∠APBと等しく、頂点P,QはABの同じ側
- Pも円周上だと最初から仮定する
- APとAQが等しいことを先に仮定して、PとQの見込む弧が等しいとする
- 二つの角は反対向きなので無視する
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
中心Oの円でP,Qは指定した弧ABを含まない方の弧上の異なる点です。P,Qは端点A,Bとは異なります。弧と二頂点を自分の図に書き、∠APB=∠AQBを中心角との関係から証明してください。端点が同じという言葉だけで終えず、どの弧を使うかを明示します。
円に内接する四角形ABCDについて、円周順A,B,C,Dと二つの補い合う弧を自分の図へ書き、∠DAB+∠BCD=180°を証明してください。図を測らず、同じ端点B,Dの二つの弧に対する中心角を使います。
中心Oの円の外にPを取り、OPの中点をMとします。OPを直径とする補助円が元の円と異なる二点T,Uで交わっています。二つの円・中心・直径と線分を自分の図へ書き、直線PTとPUが元の円の接線であることを証明してください。円周上の点で半径に垂直な直線は接線である性質を使えます。
異なる四点A,B,P,Qで、P,Qは直線ABの同じ側にあり、∠APB=∠AQB=54°です。円を最初から仮定せず、自分の四点の図へ与えた条件を書き、四点が同じ円周上にあることを証明してください。逆のどの条件を使うかを明示します。
Pは直線AB上にない点で、∠APB=90°です。自分の図へA,B,PとABを直径とする円を描き、Pがその円周上にあることを証明してください。必要なら、その円のPと同じ側の半円の弧上に、A,B,Pとは異なる補助点Qを取り、円周角の定理の逆を使います。
同じ円でA,B,Cがこの順に続いた弧ABC上にあり、弧AB=弧BCです。Dは残りの弧上（端点A,Cを除く）にあり、全て異なる点です。等しい弧と半直線DBを自分の図に書き、DBが∠ADCの二等分線であることを証明してください。
同じ円周上にA,B,C,Dがこの順に並び、弧BCと弧DAは等しいものとします。自分の図へ対角線ACと等しい弧を書き、AB∥CDを証明してください。等しい円周角から、どの直線を横切る錯角へ進むかを明示します。
「∠APB=∠AQBなら、P,Qが直線ABのどちら側でも四点は同じ円周上」という主張を検討します。ABを共有して反対側に二つの正三角形APB,AQBを描き、等しい角という条件は満たす一方で四点が同じ円周上にはないことを証明してください。図だけで終えません。
異なる四点A,B,P,Qで、P,Qは直線ABの同じ側、∠APB=48°、∠BAQ=∠ABQ=66°です。ある証明は「四点は同じ円周上だから∠APB=∠AQB。したがって逆から同じ円周上」としています。条件図を描き、循環している箇所を説明して、仮定だけから理由をつないだ正しい証明へ書き直してください。
30以上70以下の偶数aを一つ選びます。異なる二点A,Bを結ぶ線分の同じ側に、底角が両方(180−a)/2度の三角形APBと、Aの底角が(180−a)/2−10度、Bの底角が(180−a)/2+10度の三角形AQBを自分で描きます。円は仮定しません。自分で選んだ数で四つの底角と二つの頂角を計算し、点が異なり非退化であることと同じ側を確かめ、A,B,P,Qが同じ円周上にあることを示す証明を書いてください。
解答: 円周角の定理と逆で図形の関係を証明する
∠APBと∠AQB
同じ弧ABに対する円周角∠APB=∠AQBです。
指定した弧を含まない方の弧上（端点を除く）
頂点Pは端点とは異なり、その円周角が見込む弧を含まない方の弧上です。
P,Qが直線ABの同じ側にある
同じ端点A,Bに対する等しい角で、P,Qが直線ABの同じ側にあることを確認します。
同じ円周上なら反対側の二角の和180°に反するため、この四点は同じ円周上にない
P,QはABの反対側で、内接四角形なら向かい合う角の和は180°のはずです。60+60=120°なので反例です。
107
二つの内角は補い合う弧の中心角を半分にするので和180°です。180−73=107°。
90
直径OPに対する円周角なので180÷2=90°です。
PはABを直径とする円周上にある
直径に対する円周角の逆です。補助点をABを直径とする円の同じ側の半円上に取り、等しい90°から逆を使えます。
PTはTにおける円の接線
円周上の点Tで半径に垂直な直線は、その円のTにおける接線です。
∠BAC=∠ACD
∠BACは弧BC、∠ACDは弧DAを見込み、二つの弧が等しいので角も等しくなります。
AB∥CD
ACを横切るABとCDの錯角が等しいのでAB∥CDです。
DBは∠ADCを二等分する
半直線DBは∠ADCの内側で、両側の角が等しいため二等分線です。
結論を先に仮定せず、角の等しさを与えられた条件から導く
示すべき結論を根拠にした循環です。内角の和など仮定にある別の条件から等しい角を得て、同じ側も確かめてから逆を使います。
∠APBが定まらないので、端点と異なる頂点という条件を満たさない
P=Aでは半直線PAが定まらず、円周角の頂点として使えません。四点が異なるという条件が必要です。
∠AQB=90°で∠APBと等しく、頂点P,QはABの同じ側
Qの角は直径に対する円周角で90°です。等しい角と同じ側の条件から逆を使い、Pも同じ円周上と示します。
記述問題の解答・確認の観点
中心Oの円でP,Qは指定した弧ABを含まない方の弧上の異なる点です。P,Qは端点A,Bとは異なります。弧と二頂点を自分の図に書き、∠APB=∠AQBを中心角との関係から証明してください。端点が同じという言葉だけで終えず、どの弧を使うかを明示します。
生徒の図に指定した弧ABとその外の弧上（端点A,Bを除く）のP,Qを書く。指定した弧に対する中心角をαとする。円周角の定理より∠APB=α/2、∠AQB=α/2である。どちらも頂点を含まない同じ弧ABを見込むため、二角は等しい。反対側の弧を混ぜていない。
生徒の実際の弧と頂点の図、同じ中心角αを使える条件、二つの半分の式から等しいという結論までの証明を見ます。
円に内接する四角形ABCDについて、円周順A,B,C,Dと二つの補い合う弧を自分の図へ書き、∠DAB+∠BCD=180°を証明してください。図を測らず、同じ端点B,Dの二つの弧に対する中心角を使います。
生徒の図にAを含まない弧DCBとCを含まない弧BADを区別する。前者の中心角をαとすれば、後者は360°−αである。∠DAB=α/2、∠BCD=(360°−α)/2なので、和は180°となる。四点が円周順に異なるため、二つは四角形の向かい合う内角である。
生徒の内接四角形と二弧の図、中心角の和360°、各円周角の対応と二つの式、和180°の結論までを見ます。
中心Oの円の外にPを取り、OPの中点をMとします。OPを直径とする補助円が元の円と異なる二点T,Uで交わっています。二つの円・中心・直径と線分を自分の図へ書き、直線PTとPUが元の円の接線であることを証明してください。円周上の点で半径に垂直な直線は接線である性質を使えます。
生徒の図で元の円は中心O、補助円は中心Mで直径OP、T,Uは二円の交点と区別する。Tは補助円周上なので、直径OPに対する円周角∠OTP=90°、同様に∠OUP=90°。よってOT⊥PT、OU⊥PU。T,Uは元の円周上の点でOT,OUはその半径なので、半径に垂直なPT,PUはそれぞれT,Uで元の円に接する。
生徒の二円と二中心・直径・交点の図、補助円の直径から二つの直角を導く理由、元の円の半径と接点、接線二本の結論をつなぐ証明全体を見ます。
異なる四点A,B,P,Qで、P,Qは直線ABの同じ側にあり、∠APB=∠AQB=54°です。円を最初から仮定せず、自分の四点の図へ与えた条件を書き、四点が同じ円周上にあることを証明してください。逆のどの条件を使うかを明示します。
生徒の四点の図にA,Bの直線、同じ側のP,Qと等しい54°を書く。A,Bは共通の端点、P,Qは直線ABの同じ側の異なる頂点で、二つの角は等しい。円周角の定理の逆の条件を満たすのでA,B,P,Qは同じ円周上にある。先に円周上と仮定して角を等しくしていない。
生徒の円を仮定していない条件図、共通端点・同じ側・等しい角という仮定、逆の適用と同一円周上の結論を見ます。
Pは直線AB上にない点で、∠APB=90°です。自分の図へA,B,PとABを直径とする円を描き、Pがその円周上にあることを証明してください。必要なら、その円のPと同じ側の半円の弧上に、A,B,Pとは異なる補助点Qを取り、円周角の定理の逆を使います。
生徒の図へABを直径とする円とPを書き、Pと同じ側の半円の弧上（端点A,Bを除く）に、Pとは異なる点Qを選ぶ。直径に対する円周角なので∠AQB=90°。仮定∠APB=90°と等しく、P,QはABの同じ側の異なる頂点である。円周角の定理の逆からA,B,P,Qは同じ円周上にある。A,B,Qが定める円は描いた直径ABの円なので、Pもその円周上にある。
生徒の直径の円・点P・必要な補助点Qの図、Qの直角の根拠、等しい角と同じ側を使う逆、既知の円にPが属する結論までを見ます。
同じ円でA,B,Cがこの順に続いた弧ABC上にあり、弧AB=弧BCです。Dは残りの弧上（端点A,Cを除く）にあり、全て異なる点です。等しい弧と半直線DBを自分の図に書き、DBが∠ADCの二等分線であることを証明してください。
生徒の図に続く等しい弧AB,BCと、弧ABCを見込む頂点Dを書く。等しい弧に対する円周角なので∠ADB=∠BDC。BはDを含まない弧ACの途中にあるため半直線DBは∠ADCの内側にある。よってDBは∠ADCを等しい二つの角へ分ける二等分線である。
生徒の等しい連続弧とD,DBの図、二つの角と各弧の対応、DBが角の内側という配置、二等分線の結論をつなぐ証明を見ます。
同じ円周上にA,B,C,Dがこの順に並び、弧BCと弧DAは等しいものとします。自分の図へ対角線ACと等しい弧を書き、AB∥CDを証明してください。等しい円周角から、どの直線を横切る錯角へ進むかを明示します。
生徒の図へ円周順A,B,C,D、等しい弧BC,DA、対角線ACを書く。∠BACは弧BC、∠ACDは弧DAに対する円周角なので、等しい弧から∠BAC=∠ACD。円周順よりB,Dは直線ACの反対側であり、この二角はACを横切るABとCDの錯角である。錯角が等しいことの逆からAB∥CDと結論する。
生徒の円周順とAC・等しい弧の図、二つの角と弧の対応、ACを横切る錯角という理由、平行までつないだ証明を見ます。
「∠APB=∠AQBなら、P,Qが直線ABのどちら側でも四点は同じ円周上」という主張を検討します。ABを共有して反対側に二つの正三角形APB,AQBを描き、等しい角という条件は満たす一方で四点が同じ円周上にはないことを証明してください。図だけで終えません。
生徒の図で二つの正三角形をABの反対側へ描く。正三角形の角から∠APB=∠AQB=60°で、等しい角という仮定は満たす。もし四点が同じ円周上なら、円周順の四角形APBQの向かい合う角PとQの和は180°である。しかし実際は60+60=120°で矛盾する。したがって同一円周上ではなく、逆の同じ側の条件を落とせない。
生徒の反対側の正三角形の図、二角60°で仮定を満たすこと、内接なら和180°と実際120°との矛盾、主張が成り立たない結論を見ます。
異なる四点A,B,P,Qで、P,Qは直線ABの同じ側、∠APB=48°、∠BAQ=∠ABQ=66°です。ある証明は「四点は同じ円周上だから∠APB=∠AQB。したがって逆から同じ円周上」としています。条件図を描き、循環している箇所を説明して、仮定だけから理由をつないだ正しい証明へ書き直してください。
生徒の条件図へP,QがABの同じ側であることと、48°,66°,66°を書く。元の証明は示したい同一円周上を最初の根拠にしており循環している。仮定だけで△AQBの内角の和を使い、∠AQB=180−66−66=48°を得る。よって∠APB=∠AQBで、共通端点A,Bと同じ側の異なる頂点P,Qを持つ。円周角の定理の逆から四点は同じ円周上にある。
生徒の条件図、先に結論を仮定した箇所の特定、内角和から48°を独立に導く式、等しい角・同じ側を使って逆へ進む証明を見ます。
30以上70以下の偶数aを一つ選びます。異なる二点A,Bを結ぶ線分の同じ側に、底角が両方(180−a)/2度の三角形APBと、Aの底角が(180−a)/2−10度、Bの底角が(180−a)/2+10度の三角形AQBを自分で描きます。円は仮定しません。自分で選んだ数で四つの底角と二つの頂角を計算し、点が異なり非退化であることと同じ側を確かめ、A,B,P,Qが同じ円周上にあることを示す証明を書いてください。
作例a=50なら、△APBの底角は65°,65°、△AQBの底角は55°,75°である。生徒の図で二つの三角形はABの同じ側に描く。頂角はそれぞれ180−65−65=50°、180−55−75=50°。底角は全て正で和が180°未満なので二つの三角形はつぶれない。Aにおける半直線APとAQの角が10°異なるのでPとQは異なり、どちらも端点ではない。等しい頂角と同じ側、共通端点から円周角の定理の逆を使い、四点は同じ円周上と結論する。別の条件内aでも生徒の具体的な図・全数値・条件の確認と証明がそろえば認める。
生徒が選んだ偶数a、同じ側の二つの実際の三角形、四底角と二頂角の計算、異なる点・非退化・同じ側、逆を使う証明全体と結論を見る。一般式だけでは生徒の作例としない。