中3 数学：三平方の定理：平面図形の練習問題
直角の根拠と斜辺を自分の図へ示し、平方の式から正の長さを求めます。準備14問と自分の図・式・確認を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3B(3)、冊子149〜151/PDF153〜155の、直角三角形の辺と正方形の面積、定理と逆、補助線を引いて平面の長さを求め、適用条件を確かめる趣旨を踏まえた独自課題です。現行出版社R7の指導計画と公式要点でも平面図形・座標・円への活用を扱っています。出版社の問題の数値・配列・図版は写しません。098の立体の断面・展開図を取り出す活動とは区別します。
解説を読む
三平方の定理を使う前に、どの三角形のどの角が直角かを確かめます。直角をはさむ二辺の平方の和が、直角の向かいの斜辺の平方です。斜辺を求める足し算と、残る一辺を求める引き算を区別し、平方根から正の長さを選びます。逆を使うときは、最も長い辺を先に決めて平方を比べます。
必要な予備知識
直角三角形、長方形・正方形・正三角形、円の半径、座標と水平・垂直、合同、平方根とその計算、式の展開。一般の三角比は使いません。
- 直角三角形で、直角をはさむ二辺をa,b、斜辺をcとするとa²+b²=c²です。斜辺は直角の向かいの辺で、最も長い辺です。
- 斜辺を求めるときは平方を足します。他の一辺なら、斜辺の平方からもう一辺の平方を引きます。長さは正なので、平方根の負の値は採りません。
- 根号を含む答えは、できるときは簡単にします。正確な値と小数の近似値は区別し、途中で不用意に丸めません。
- 長方形の対角線は二辺と直角三角形を作ります。正方形の一辺がsなら、対角線の平方は2s²です。
- 正三角形の一つの頂点と対辺の中点を結ぶと、合同な二つの三角形に分かれ、両側の等しい角の和が180°なので直角です。高さと半分の底辺を使います。
- 円では半径・弦と垂線など、与えられた条件から直角三角形を選びます。半分の弦と弦全体を取り違えません。
- 座標の二点間に水平・垂直の補助線を引くと、それぞれx軸、y軸に平行な二辺は直角に交わります。座標の差の絶対値がその二辺の長さです。
- 三角形の三辺で、最長の辺cについてa²+b²=c²なら、逆からcの向かいの角が直角です。直角がまだ分からない図へ、先に定理を当てはめません。
解き方の例
∠B=90°、AB=10,BC=21cmなら、斜辺ACについてAC²=10²+21²=541。AC>0なのでAC=√541cmです。23²=529<541<576=24²より23<AC<24。根号のままが正確な値です。
三角形の辺が16,63,65cmなら、16+63>65で三角形を作れます。最長辺65について16²+63²=256+3969=4225=65²なので、逆から65cmの辺の向かいが直角です。図の見た目を根拠にはしません。
よくある間違い
- 直角が確かめられていないのに、三平方の定理を使う。
- 斜辺を短い辺だと取り違える。
- 残る一辺を求める場面でも二つの平方を足す。
- 平方根の負の値を長さの答えに含める。
- 半分の弦の長さで、弦全体の答えにする。
- 座標の差をそのまま足して二点間の距離にする。
- 逆で最長の辺の平方を、二辺の平方の和と比べない。
- 生徒の直角三角形や式を残さず、数値だけで終える。
考え方を説明する
準備14問は直角・斜辺・平方の関係の足場です。主課題は生徒の実際の図、直角の根拠、斜辺の指定、平方の式と実際の計算、正の長さと単位、平方・大小や元の条件による確認を手動で見ます。T1は斜辺と面積、T2は残る一辺、T3は根号と範囲、T4は四つの三角形の面積、T5は正三角形の高さ、T6は弦、T7は座標、T8は逆の適否、T9は斜辺の式の修正、T10は生徒の数と図による作例です。正しい別の補助線・計算順・同値な根号表現も認めます。
主課題の図・式・途中計算・確認は紙や既存の授業用ボードへ生徒が実際に書き、講師が手動確認します。自由な図や計算過程の自動採点は行いません。模式図を測って答えません。独自の数値設定であり実測記録ではありません。生徒の試用、母語話者の校閲や学習効果は未確認です。
練習する
準備の数値と選択は足場です。主課題は直角の根拠・斜辺・既知量と未知量を自分の図に示し、平方の式、正の長さと単位、元の条件での確認を紙や既存の授業用ボードへ残し、講師が手動確認します。根号の式は選択肢か筆記で扱います。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
∠ABC=90°、AB=9,BC=12cmです。斜辺ACは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
15
AC²=9²+12²=225、AC>0なので15cmです。
∠ACB=90°の△ABCで、AC=8,BC=15cmです。斜辺ABを求める式はどれですか。
図を準備しています。
- AB²+8²=15²
- 8²+15²=AB²
- AB=8+15
- AB²=15²−8²
答えと解説
8²+15²=AB²
直角Cの向かいはABです。直角をはさむAC,BCの平方を足してAB²にします。
直角三角形の斜辺は17cm、直角をはさむ一辺は8cmです。残る辺は何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
15
残る辺の平方=17²−8²=225。正の長さなので15cmです。
直角三角形の斜辺は26cm、直角をはさむ一辺は10cmです。残る辺は何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
24
26²−10²=576、正の平方根は24です。
直角をはさむ二辺が5cmと9cmです。斜辺の正確な長さはどれですか。
図を準備しています。
- 14 cm
- √14 cm
- √106 cm
- √56 cm
答えと解説
√106 cm
斜辺の平方=5²+9²=106なので正の長さ√106cmです。
一辺11cmの正方形ABCDです。対角線ACの正確な長さはどれですか。
図を準備しています。
- 22 cm
- √22 cm
- 11√2 cm
- 121 cm
答えと解説
11√2 cm
AC²=11²+11²=242=121×2なのでAC=11√2cmです。
長方形の縦は8cm、横は15cmです。対角線は何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
17
対角線の平方=8²+15²=289。正の長さ17cmです。
一辺14cmの正三角形で、頂点から対辺へ下ろした高さはどれですか。
図を準備しています。
- 14√3 cm
- 7√3 cm
- 7√2 cm
- 14√2 cm
答えと解説
7√3 cm
頂点から下ろした垂線の足は対辺の中点です。高さ²=14²−7²=147、正の高さ7√3cmです。
中心O、半径10cmの円で、Mは弦ABの中点、OM⊥AB、OM=6cmです。弦ABは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
16
直角三角形OMAでAM²=10²−6²=64、AM=8cm。AB=2×8=16cmです。
座標平面でA(−4,2),B(8,7)です。二点間の距離ABは何ですか。座標の1目盛りを長さ1とします。
図を準備しています。
答えと解説
13
水平の差12、垂直の差5からAB²=12²+5²=169。AB=13です。
辺の長さが11,60,61cmの三角形です。最も長い61cmの辺の向かいの角について、正しい判断はどれですか。
- 11+60=71だから90°ではない
- 61²−60²=1だから90°
- 11²+60²=61²なので逆から90°
- 三辺から直角かは判断できない
答えと解説
11²+60²=61²なので逆から90°
121+3600=3721=61²です。逆から61cmの辺の向かいが直角です。
辺の長さが7,9,13cmの三角形です。直角三角形ですか。
- 7²+9²=13²なので直角
- 7+9>13なので直角
- 7²+9²≠13²なので直角三角形ではない
- 13−9=4なので直角
答えと解説
7²+9²≠13²なので直角三角形ではない
最長辺13について49+81=130ですが13²=169です。直角三角形なら等しいはずなので直角三角形ではありません。
△ABCでAB=6,BC=10cmですが、角や他の辺の条件はありません。ACについて正しい判断はどれですか。
- 必ず8cm
- 必ず√136cm
- 必ず16cm
- この条件だけでは一つに決まらない
答えと解説
この条件だけでは一つに決まらない
直角はまだ確かめられていません。6²+AC²=10²とも6²+10²=AC²とも決められず、ACは一つに定まりません。
∠ABC=90°、斜辺AC=13cm、AB=5cmです。ある人はBC²=13²+5²としました。正しく式を直したとき、BCは何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
12
5²+BC²=13²なのでBC²=169−25=144、BC=12cmです。斜辺より長い値にはしません。
考え方を説明する
∠ABC=90°、AB=12,BC=35cmです。直角と斜辺を自分の図へ書き、AC、三角形の面積と周の長さを求めます。使った式、正の長さを選ぶ理由と平方による確認を示してください。
答えと解説
生徒の図でBが直角、ACが斜辺。AC²=12²+35²=144+1225=1369、AC>0より37cm。面積=12×35÷2=210cm²、周=12+35+37=84cm。37²=1369、37>35>12と確かめる。
生徒の直角・斜辺の図、式と計算、AC37cm/面積210cm²/周84cm、正の長さと平方・大小の確認を見ます。
∠ACB=90°、斜辺AB=41cm、AC=9cmです。自分の図へ条件を書き、BCと面積を求めます。平方根の正負をどう扱ったか、元の式へ戻した確認も説明してください。
答えと解説
生徒の図でCが直角、ABが斜辺。9²+BC²=41²よりBC²=1681−81=1600。長さは正なのでBC=40cmで−40を採らない。面積=9×40÷2=180cm²。81+1600=1681で確認する。
生徒の直角・斜辺の図、引き算の式、BC40cm/面積180cm²、負の値を除く理由と代入確認を見ます。
縦9cm、横14cmの長方形ABCDです。対角線と直角三角形を自分の図に示し、対角線の正確な長さを求めます。隣り合う整数の平方で長さの範囲を示し、図を測った小数だけを答えにしない理由を書いてください。
答えと解説
生徒の図でAB=14,BC=9、Bが直角、ACが斜辺。AC²=14²+9²=277なのでAC=√277cm。16²=256<277<289=17²より16<AC<17。根号が正確な値であり、画面の模式図を測った小数は条件から導いた正確な値ではない。
生徒の長方形と対角線、平方の式と√277cm、16<AC<17の平方による確認、正確な値と図の測定の区別を見ます。
直角をはさむ二辺が5cmと8cmの合同な直角三角形を四つ用意します。一辺13cmの正方形の各辺へ、5cmと8cmに分ける点を同じ回り方で置き、四隅に三角形を置くと中央に四角形が残ります。実際の配置図を描き、中央が一辺cの正方形になる角の理由、面積の引き算からcの正確な長さを示します。この課題では先に三平方の定理を根拠にしないでください。
答えと解説
生徒の配置図では外側の各辺が5+8=13cm。中央の四辺は合同な直角三角形の斜辺なので全てc。各隅で直角三角形の二鋭角の和が90°だから、中央の内角は180°−90°=90°。よって中央は正方形。外側の面積169から四つの三角形の面積4×(5×8÷2)=80を引き、c²=89。c>0なのでc=√89cm。169=80+89も確かめる。
生徒の四つの合同三角形の配置図、中央の等辺と直角の理由、169−80=89、c=√89cmと面積合計の確認を見る。定理を先に使う循環にしない。
一辺18cmの正三角形ABCで、MはBCの中点です。AMを引いた自分の図を描き、AMが高さになる理由、AMと三角形の面積を求めます。平方根を簡単にし、平方で確認してください。
答えと解説
生徒の図でBM=CM=9cm。△ABMと△ACMはAB=AC,BM=CM,AM共通の三辺から合同。∠AMB=∠AMCで一直線の和180°だから各90°、AMは高さ。AM²=18²−9²=243、AM=9√3cm。面積=18×9√3÷2=81√3cm²。81+243=324、(9√3)²=243と確認する。
生徒の中点と補助線の図、合同から直角になる理由、AM9√3cm/面積81√3cm²、平方の式と確認を見ます。
中心O、半径13cmの円で、Mは弦ABの中点、OM⊥AB、OM=5cmです。半径と垂線を自分の図へ描き、弦ABと△AOBの面積を求めます。半分と全体を区別し、平方と面積の式を書いてください。
答えと解説
生徒の図で△OMAがMで直角、OA=13cm、AM=MB。AM²=13²−5²=144、AM=12cm。弦全体AB=24cm。△AOBの底辺ABに対する高さはOM=5cmなので面積24×5÷2=60cm²。12²+5²=13²と確認する。
生徒の半径・中点・直角の図、AM12とAB24cmの区別、面積60cm²、平方と面積の式・確認を見ます。
座標平面でA(−3,−2),B(9,3)です。座標軸と二点、水平・垂直の補助線を自分の図へ描き、ABを求めます。補助点の座標と直角の理由、座標の差と平方の式、正の値での確認を示してください。1目盛りの長さは1です。
答えと解説
作例H(9,−2)を生徒の図へ置く。AHは水平、HBは垂直なので∠AHB=90°。AH=|9−(−3)|=12、HB=|3−(−2)|=5。AB²=12²+5²=169なのでAB=13。別の補助点(−3,3)でも5²+12²=169で同じ長さ。13>12を確認する。
生徒の軸・点・補助線の図、実際の補助点と水平垂直による直角、差12と5、AB13と平方・大小の確認を見ます。
三角形Iの三辺は12,35,37cm、三角形IIの三辺は10,13,17cmです。二つの三角形を自分の図へ書き、最長辺を選んで直角三角形かを判断します。三角形を作れること、平方の比較と逆の使い方を説明し、直角が分かったものだけへ直角印を付けてください。
答えと解説
Iは12+35>37、IIは10+13>17で他の三角不等式も満たす。Iの最長辺37について12²+35²=144+1225=1369=37²。逆から37cmの辺の向かいが直角で、生徒の図に印を付ける。IIは10²+13²=269≠289=17²。直角三角形なら最長辺の平方に等しいはずなので直角三角形ではない。見た目だけでIIに印を付けない。
生徒の二図と最長辺、三角不等式、IとIIの平方計算、逆と非該当の理由、Iのみの直角印を見ます。
縦6cm、横11cmの長方形で、ある人は「対角線dの平方は11²−6²=85だからd=√85cm」と書きました。自分の図に対角線と直角を書き、どの辺が斜辺かから誤りを直します。正確な長さ、平方と大小による確認を示してください。
答えと解説
生徒の長方形の図で対角線が直角の向かいの斜辺。d²=11²+6²=157、d>0なのでd=√157cm。元の式は11を斜辺のように扱った誤り。157>121よりd>11で、実際に12²<157<13²なので12<d<13。√85<11では対角線が横辺より短くなってしまう。
生徒の長方形・直角・斜辺の図、引く式を誤りとする理由、√157cm、平方と大小・範囲の確認を見ます。
10以上14以下の整数nを一つ選びます。直角をはさむ辺を2ncmと(n²−1)cmとする直角三角形を自分で描き、自分で選んだ数を代入した全ての辺、面積を計算します。斜辺を平方の式から求め、(n²+1)cmになることを実際の数で確かめ、直角と斜辺を図へ記してください。
答えと解説
作例n=11では直角をはさむ辺は22cmと120cm。生徒の図へ直角・二辺・未知の斜辺cを書く。c²=22²+120²=484+14400=14884なのでc=122cm。n²+1=122で一致し、122²=14884でも確認。面積22×120÷2=1320cm²。別の条件内nでも具体的な生徒の図・代入・三辺・面積・確認がそろえば認める。
生徒の選んだn、実際の直角三角形の図、二辺の代入と斜辺の平方の計算、三辺と面積の単位、n²+1との実数値の確認を見る。一般式や完成した数値だけで生徒の作例にしない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3B(3)、冊子149〜151/PDF153〜155の、直角三角形の辺と正方形の面積、定理と逆、補助線を引いて平面の長さを求め、適用条件を確かめる趣旨を踏まえた独自課題です。現行出版社R7の指導計画と公式要点でも平面図形・座標・円への活用を扱っています。出版社の問題の数値・配列・図版は写しません。098の立体の断面・展開図を取り出す活動とは区別します。 · 2026-11-03
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講師の方へ
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この練習問題を保存ワークシート: 直角三角形を見つけ、三平方の定理で平面の長さを求める
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/find-plane-lengths-with-right-triangles-and-positive-roots/
準備14問は直角・斜辺・平方の関係の足場です。主課題は生徒の実際の図、直角の根拠、斜辺の指定、平方の式と実際の計算、正の長さと単位、平方・大小や元の条件による確認を手動で見ます。T1は斜辺と面積、T2は残る一辺、T3は根号と範囲、T4は四つの三角形の面積、T5は正三角形の高さ、T6は弦、T7は座標、T8は逆の適否、T9は斜辺の式の修正、T10は生徒の数と図による作例です。正しい別の補助線・計算順・同値な根号表現も認めます。
∠ABC=90°、AB=9,BC=12cmです。斜辺ACは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∠ACB=90°の△ABCで、AC=8,BC=15cmです。斜辺ABを求める式はどれですか。
図を準備しています。
- AB²+8²=15²
- 8²+15²=AB²
- AB=8+15
- AB²=15²−8²
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直角三角形の斜辺は17cm、直角をはさむ一辺は8cmです。残る辺は何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直角三角形の斜辺は26cm、直角をはさむ一辺は10cmです。残る辺は何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直角をはさむ二辺が5cmと9cmです。斜辺の正確な長さはどれですか。
図を準備しています。
- 14 cm
- √14 cm
- √106 cm
- √56 cm
途中の計算・単位・理由・確認答え:
一辺11cmの正方形ABCDです。対角線ACの正確な長さはどれですか。
図を準備しています。
- 22 cm
- √22 cm
- 11√2 cm
- 121 cm
途中の計算・単位・理由・確認答え:
長方形の縦は8cm、横は15cmです。対角線は何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
一辺14cmの正三角形で、頂点から対辺へ下ろした高さはどれですか。
図を準備しています。
- 14√3 cm
- 7√3 cm
- 7√2 cm
- 14√2 cm
途中の計算・単位・理由・確認答え:
中心O、半径10cmの円で、Mは弦ABの中点、OM⊥AB、OM=6cmです。弦ABは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
座標平面でA(−4,2),B(8,7)です。二点間の距離ABは何ですか。座標の1目盛りを長さ1とします。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
辺の長さが11,60,61cmの三角形です。最も長い61cmの辺の向かいの角について、正しい判断はどれですか。
- 11+60=71だから90°ではない
- 61²−60²=1だから90°
- 11²+60²=61²なので逆から90°
- 三辺から直角かは判断できない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
辺の長さが7,9,13cmの三角形です。直角三角形ですか。
- 7²+9²=13²なので直角
- 7+9>13なので直角
- 7²+9²≠13²なので直角三角形ではない
- 13−9=4なので直角
途中の計算・単位・理由・確認答え:
△ABCでAB=6,BC=10cmですが、角や他の辺の条件はありません。ACについて正しい判断はどれですか。
- 必ず8cm
- 必ず√136cm
- 必ず16cm
- この条件だけでは一つに決まらない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∠ABC=90°、斜辺AC=13cm、AB=5cmです。ある人はBC²=13²+5²としました。正しく式を直したとき、BCは何cmですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
∠ABC=90°、AB=12,BC=35cmです。直角と斜辺を自分の図へ書き、AC、三角形の面積と周の長さを求めます。使った式、正の長さを選ぶ理由と平方による確認を示してください。
∠ACB=90°、斜辺AB=41cm、AC=9cmです。自分の図へ条件を書き、BCと面積を求めます。平方根の正負をどう扱ったか、元の式へ戻した確認も説明してください。
縦9cm、横14cmの長方形ABCDです。対角線と直角三角形を自分の図に示し、対角線の正確な長さを求めます。隣り合う整数の平方で長さの範囲を示し、図を測った小数だけを答えにしない理由を書いてください。
直角をはさむ二辺が5cmと8cmの合同な直角三角形を四つ用意します。一辺13cmの正方形の各辺へ、5cmと8cmに分ける点を同じ回り方で置き、四隅に三角形を置くと中央に四角形が残ります。実際の配置図を描き、中央が一辺cの正方形になる角の理由、面積の引き算からcの正確な長さを示します。この課題では先に三平方の定理を根拠にしないでください。
一辺18cmの正三角形ABCで、MはBCの中点です。AMを引いた自分の図を描き、AMが高さになる理由、AMと三角形の面積を求めます。平方根を簡単にし、平方で確認してください。
中心O、半径13cmの円で、Mは弦ABの中点、OM⊥AB、OM=5cmです。半径と垂線を自分の図へ描き、弦ABと△AOBの面積を求めます。半分と全体を区別し、平方と面積の式を書いてください。
座標平面でA(−3,−2),B(9,3)です。座標軸と二点、水平・垂直の補助線を自分の図へ描き、ABを求めます。補助点の座標と直角の理由、座標の差と平方の式、正の値での確認を示してください。1目盛りの長さは1です。
三角形Iの三辺は12,35,37cm、三角形IIの三辺は10,13,17cmです。二つの三角形を自分の図へ書き、最長辺を選んで直角三角形かを判断します。三角形を作れること、平方の比較と逆の使い方を説明し、直角が分かったものだけへ直角印を付けてください。
縦6cm、横11cmの長方形で、ある人は「対角線dの平方は11²−6²=85だからd=√85cm」と書きました。自分の図に対角線と直角を書き、どの辺が斜辺かから誤りを直します。正確な長さ、平方と大小による確認を示してください。
10以上14以下の整数nを一つ選びます。直角をはさむ辺を2ncmと(n²−1)cmとする直角三角形を自分で描き、自分で選んだ数を代入した全ての辺、面積を計算します。斜辺を平方の式から求め、(n²+1)cmになることを実際の数で確かめ、直角と斜辺を図へ記してください。
解答: 直角三角形を見つけ、三平方の定理で平面の長さを求める
15
AC²=9²+12²=225、AC>0なので15cmです。
8²+15²=AB²
直角Cの向かいはABです。直角をはさむAC,BCの平方を足してAB²にします。
15
残る辺の平方=17²−8²=225。正の長さなので15cmです。
24
26²−10²=576、正の平方根は24です。
√106 cm
斜辺の平方=5²+9²=106なので正の長さ√106cmです。
11√2 cm
AC²=11²+11²=242=121×2なのでAC=11√2cmです。
17
対角線の平方=8²+15²=289。正の長さ17cmです。
7√3 cm
頂点から下ろした垂線の足は対辺の中点です。高さ²=14²−7²=147、正の高さ7√3cmです。
16
直角三角形OMAでAM²=10²−6²=64、AM=8cm。AB=2×8=16cmです。
13
水平の差12、垂直の差5からAB²=12²+5²=169。AB=13です。
11²+60²=61²なので逆から90°
121+3600=3721=61²です。逆から61cmの辺の向かいが直角です。
7²+9²≠13²なので直角三角形ではない
最長辺13について49+81=130ですが13²=169です。直角三角形なら等しいはずなので直角三角形ではありません。
この条件だけでは一つに決まらない
直角はまだ確かめられていません。6²+AC²=10²とも6²+10²=AC²とも決められず、ACは一つに定まりません。
12
5²+BC²=13²なのでBC²=169−25=144、BC=12cmです。斜辺より長い値にはしません。
記述問題の解答・確認の観点
∠ABC=90°、AB=12,BC=35cmです。直角と斜辺を自分の図へ書き、AC、三角形の面積と周の長さを求めます。使った式、正の長さを選ぶ理由と平方による確認を示してください。
生徒の図でBが直角、ACが斜辺。AC²=12²+35²=144+1225=1369、AC>0より37cm。面積=12×35÷2=210cm²、周=12+35+37=84cm。37²=1369、37>35>12と確かめる。
生徒の直角・斜辺の図、式と計算、AC37cm/面積210cm²/周84cm、正の長さと平方・大小の確認を見ます。
∠ACB=90°、斜辺AB=41cm、AC=9cmです。自分の図へ条件を書き、BCと面積を求めます。平方根の正負をどう扱ったか、元の式へ戻した確認も説明してください。
生徒の図でCが直角、ABが斜辺。9²+BC²=41²よりBC²=1681−81=1600。長さは正なのでBC=40cmで−40を採らない。面積=9×40÷2=180cm²。81+1600=1681で確認する。
生徒の直角・斜辺の図、引き算の式、BC40cm/面積180cm²、負の値を除く理由と代入確認を見ます。
縦9cm、横14cmの長方形ABCDです。対角線と直角三角形を自分の図に示し、対角線の正確な長さを求めます。隣り合う整数の平方で長さの範囲を示し、図を測った小数だけを答えにしない理由を書いてください。
生徒の図でAB=14,BC=9、Bが直角、ACが斜辺。AC²=14²+9²=277なのでAC=√277cm。16²=256<277<289=17²より16<AC<17。根号が正確な値であり、画面の模式図を測った小数は条件から導いた正確な値ではない。
生徒の長方形と対角線、平方の式と√277cm、16<AC<17の平方による確認、正確な値と図の測定の区別を見ます。
直角をはさむ二辺が5cmと8cmの合同な直角三角形を四つ用意します。一辺13cmの正方形の各辺へ、5cmと8cmに分ける点を同じ回り方で置き、四隅に三角形を置くと中央に四角形が残ります。実際の配置図を描き、中央が一辺cの正方形になる角の理由、面積の引き算からcの正確な長さを示します。この課題では先に三平方の定理を根拠にしないでください。
生徒の配置図では外側の各辺が5+8=13cm。中央の四辺は合同な直角三角形の斜辺なので全てc。各隅で直角三角形の二鋭角の和が90°だから、中央の内角は180°−90°=90°。よって中央は正方形。外側の面積169から四つの三角形の面積4×(5×8÷2)=80を引き、c²=89。c>0なのでc=√89cm。169=80+89も確かめる。
生徒の四つの合同三角形の配置図、中央の等辺と直角の理由、169−80=89、c=√89cmと面積合計の確認を見る。定理を先に使う循環にしない。
一辺18cmの正三角形ABCで、MはBCの中点です。AMを引いた自分の図を描き、AMが高さになる理由、AMと三角形の面積を求めます。平方根を簡単にし、平方で確認してください。
生徒の図でBM=CM=9cm。△ABMと△ACMはAB=AC,BM=CM,AM共通の三辺から合同。∠AMB=∠AMCで一直線の和180°だから各90°、AMは高さ。AM²=18²−9²=243、AM=9√3cm。面積=18×9√3÷2=81√3cm²。81+243=324、(9√3)²=243と確認する。
生徒の中点と補助線の図、合同から直角になる理由、AM9√3cm/面積81√3cm²、平方の式と確認を見ます。
中心O、半径13cmの円で、Mは弦ABの中点、OM⊥AB、OM=5cmです。半径と垂線を自分の図へ描き、弦ABと△AOBの面積を求めます。半分と全体を区別し、平方と面積の式を書いてください。
生徒の図で△OMAがMで直角、OA=13cm、AM=MB。AM²=13²−5²=144、AM=12cm。弦全体AB=24cm。△AOBの底辺ABに対する高さはOM=5cmなので面積24×5÷2=60cm²。12²+5²=13²と確認する。
生徒の半径・中点・直角の図、AM12とAB24cmの区別、面積60cm²、平方と面積の式・確認を見ます。
座標平面でA(−3,−2),B(9,3)です。座標軸と二点、水平・垂直の補助線を自分の図へ描き、ABを求めます。補助点の座標と直角の理由、座標の差と平方の式、正の値での確認を示してください。1目盛りの長さは1です。
作例H(9,−2)を生徒の図へ置く。AHは水平、HBは垂直なので∠AHB=90°。AH=|9−(−3)|=12、HB=|3−(−2)|=5。AB²=12²+5²=169なのでAB=13。別の補助点(−3,3)でも5²+12²=169で同じ長さ。13>12を確認する。
生徒の軸・点・補助線の図、実際の補助点と水平垂直による直角、差12と5、AB13と平方・大小の確認を見ます。
三角形Iの三辺は12,35,37cm、三角形IIの三辺は10,13,17cmです。二つの三角形を自分の図へ書き、最長辺を選んで直角三角形かを判断します。三角形を作れること、平方の比較と逆の使い方を説明し、直角が分かったものだけへ直角印を付けてください。
Iは12+35>37、IIは10+13>17で他の三角不等式も満たす。Iの最長辺37について12²+35²=144+1225=1369=37²。逆から37cmの辺の向かいが直角で、生徒の図に印を付ける。IIは10²+13²=269≠289=17²。直角三角形なら最長辺の平方に等しいはずなので直角三角形ではない。見た目だけでIIに印を付けない。
生徒の二図と最長辺、三角不等式、IとIIの平方計算、逆と非該当の理由、Iのみの直角印を見ます。
縦6cm、横11cmの長方形で、ある人は「対角線dの平方は11²−6²=85だからd=√85cm」と書きました。自分の図に対角線と直角を書き、どの辺が斜辺かから誤りを直します。正確な長さ、平方と大小による確認を示してください。
生徒の長方形の図で対角線が直角の向かいの斜辺。d²=11²+6²=157、d>0なのでd=√157cm。元の式は11を斜辺のように扱った誤り。157>121よりd>11で、実際に12²<157<13²なので12<d<13。√85<11では対角線が横辺より短くなってしまう。
生徒の長方形・直角・斜辺の図、引く式を誤りとする理由、√157cm、平方と大小・範囲の確認を見ます。
10以上14以下の整数nを一つ選びます。直角をはさむ辺を2ncmと(n²−1)cmとする直角三角形を自分で描き、自分で選んだ数を代入した全ての辺、面積を計算します。斜辺を平方の式から求め、(n²+1)cmになることを実際の数で確かめ、直角と斜辺を図へ記してください。
作例n=11では直角をはさむ辺は22cmと120cm。生徒の図へ直角・二辺・未知の斜辺cを書く。c²=22²+120²=484+14400=14884なのでc=122cm。n²+1=122で一致し、122²=14884でも確認。面積22×120÷2=1320cm²。別の条件内nでも具体的な生徒の図・代入・三辺・面積・確認がそろえば認める。
生徒の選んだn、実際の直角三角形の図、二辺の代入と斜辺の平方の計算、三辺と面積の単位、n²+1との実数値の確認を見る。一般式や完成した数値だけで生徒の作例にしない。