中3 数学：関数 y=ax² の表・グラフ・変化の割合の練習問題
二乗に比例する関係を表・式・自分のグラフで結び、係数、変域、区間ごとの変化の割合とモデルの限界を説明します。準備14問と自分の記録を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3C(1)、冊子152〜154/PDF156〜158の、二乗に比例する関係を表・式・グラフで捉え、係数や変域・変化の割合、具体的な場面での活用と仮定を考える趣旨を踏まえた独自課題です。現行東京書籍R7の公開指導計画でも表・式・グラフと変化の割合が扱われています。出版社の問題・数値・図版は写しません。099はy=ax²を扱い、中3C(1)のあらゆる関数を網羅したとはしません。
解説を読む
y=ax²では、xの値を二乗してから一定の数aをかけます。xが反対の符号でも二乗は同じですが、変化の割合はふつう区間によって変わります。表の数値、式の代入、座標平面上の曲線を往復して考え、一次関数との違いや現実の場面で仮定した範囲を説明します。ここではa≠0とします。
必要な予備知識
一次関数の表・式・グラフ、変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)、正負の数と分数の計算、座標、平方、値の範囲。平方完成、頂点を移す一般二次関数や微分は使いません。
- y=ax²ではaは0でない一定の数です。xの二乗にaをかけるので、y=(ax)²とは一般に違います。
- x≠0の組ならa=y/x²で求められます。x=0では必ずy=0ですが、原点を通るという条件だけではaの値は決まりません。
- xの値をk倍にすると、二乗に比例する関係のyの値はk²倍になります。xとyが同じ倍率になる比例とは区別します。
- グラフは原点を通り、y軸について対称な放物線です。a>0なら上へ、a<0なら下へ開きます。表の点だけを折れ線でつないだものにはしません。
- 同じx≠0で比べると、|a|が大きいほど|y|が大きくなります。aの符号が違えば、対応するyの符号も違います。
- 変域は指定したxの範囲全体で考えます。x=0を含むか、含まず片側だけかを確かめ、端のxに代入した二つの値だけで早まって決めません。
- 変化の割合は、実際の二点について(yの増加量)/(xの増加量)で求めます。y=ax²でも一次関数と同じ計算の定義ですが、ふつう区間によって値が違います。
- 同じ平均の変化の割合でも、区間内での変わり方が同じとは限りません。現実に当てはめるときは定義域、単位、理想化や測定の誤差を示し、有限個のデータだけで全範囲の法則を証明したことにはしません。
解き方の例
y=−2x²でxが−3から1まで増えると、yは−18から−2になります。変化の割合は{−2−(−18)}/{1−(−3)}=16/4=4です。途中のx=0でy=0となるので、全区間で一定の割合で増えたという意味ではありません。
y=(3/2)x²で−2≦x≦1なら、x²は0以上4以下です。aは正なのでyの変域は0≦y≦6です。端のxだけを見るとyは6と3/2ですが、途中の原点を含みます。
よくある間違い
- xを二乗する前にaをかけ、(ax)²を計算する。
- x=0,y=0の組で0÷0を行い、aを決める。
- xが3倍ならyも3倍だとする。
- aが負でもグラフが上へ開くとする。
- 表の点を折れ線で結び、間の曲がり方を表さない。
- x=0を含む変域で端の値だけを比べる。
- 変化の割合をy/xやyの増加量だけで求める。
- 平均の割合が0なら区間中のyがずっと同じだとする。
- 仮想データや理想モデルを、実際に測定した結果や全範囲の証明とする。
考え方を説明する
準備14問は値の代入・係数・グラフの読み・変域・変化の割合を確かめる足場です。主課題は生徒の具体的な表、軸名と目盛りを示した曲線、式との対応、指定範囲と0の扱い、実際の二点による変化の割合の計算、一次関数との比較や場面の仮定・限界を手動確認します。T1は表と生徒の曲線、T2は係数の比較、T3は点から式を決める、T4とT5は正負の係数の変域、T6は四区間の割合、T7は一次関数との比較、T8は仮想モデルと定義域、T9はデータとモデルの区別、T10は生徒が選んだ係数と範囲の作例です。正確に同値な分数・小数や根拠のそろった別の説明も認めます。
生徒の値の表・グラフ・式・説明は紙や既存の授業用ボードへ実際に書き、講師が手動確認します。表示曲線は与えた条件の視覚的な足場です。自由なグラフや式全体の自動採点、実物の測定、生徒の試用、母語話者の校閲や学習効果は未確認です。T8・T9の数値は独自の仮想設定で、実測の記録ではありません。
練習する
準備の数値と選択は足場です。主課題では自分の値の表、目盛り付きのグラフ、変域や変化の割合の計算、場面の仮定と結論を紙や既存の授業用ボードに残し、講師が手動確認します。自由なグラフや説明の自動採点はしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
y=3x²でx=−4のとき、yの値はいくつですか。
答えと解説
48
(−4)²=16なのでy=3×16=48です。3xを先に二乗しません。
y=ax²でx=3のときy=−18です。aの値はいくつですか。
答えと解説
−2
−18=9aなのでa=−18/9=−2です。
y=(1/2)x²でx=−6のとき、yの値はいくつですか。
答えと解説
18
(−6)²=36なのでy=36/2=18です。
y=ax²（a≠0）でxの値を3倍にすると、対応するyの値は何倍になりますか。
- 3倍
- 6倍
- 9倍
- 1/3倍
答えと解説
9倍
a(3x)²=9ax²なので9倍です。
y=−3x²でx=−2とx=2に対応するyについて、正しいものはどれですか。
- どちらも−12
- どちらも12
- x=−2のとき12、x=2のとき−12
- x=−2のとき−6、x=2のとき6
答えと解説
どちらも−12
どちらもx²=4なのでy=−12です。y軸について対称な点になります。
y=3x²でxが1から4まで増えるとき、変化の割合はいくつですか。
答えと解説
15
yは3から48へ増えるので、変化の割合=(48−3)/(4−1)=45/3=15です。
y=−2x²でxが−3から−1まで増えるとき、変化の割合はいくつですか。
答えと解説
8
yは−18から−2へ増え、{−2−(−18)}/{−1−(−3)}=16/2=8です。
図はy=ax²のグラフです。与えた格子点Pを読み、aの値を求めてください。
図を準備しています。
答えと解説
図のPは(2,6)。6=4aよりa=6/4=3/2です。
y=x²で−2≦x≦3のとき、yの変域はどれですか。
図を準備しています。
- 4≦y≦9
- −2≦y≦3
- 0≦y≦9
- 0≦y≦4
答えと解説
0≦y≦9
範囲内にx=0があるので最小値は0。|x|が最大のx=3でy=9となります。
y=−(1/2)x²で−4≦x≦2のとき、yの変域はどれですか。
図を準備しています。
- −8≦y≦−2
- −8≦y≦0
- 0≦y≦8
- −2≦y≦0
答えと解説
−8≦y≦0
0≦x²≦16に−1/2をかけると−8≦y≦0。x=0で0、x=−4で−8です。
y=2x²とy=2xで、区間1≦x≦2と2≦x≦3の変化の割合を調べました。正しい組はどれですか。
- どちらの関数も2、2
- y=2x²は6、10。y=2xは2、2
- y=2x²は4、6。y=2xは2、2
- y=2x²は6、10。y=2xは4、6
答えと解説
y=2x²は6、10。y=2xは2、2
二乗の方はyが2→8→18なので割合は6、10。一次の方は2→4→6なので2、2です。
y=ax²（a≠0）のグラフが原点を通るという情報だけから、aについて何がいえますか。
- a=0に決まる
- a=1に決まる
- a=−1に決まる
- この情報だけではaの値は決まらない
答えと解説
この情報だけではaの値は決まらない
どのaでもx=0ならy=0です。係数を決めるには原点以外の情報が必要です。
a<0のy=ax²のグラフの性質として正しいものはどれですか。
- 上へ開き、x軸について対称
- 下へ開き、y軸について対称
- 下へ開き、原点について対称
- 直線になり、y軸について対称
答えと解説
下へ開き、y軸について対称
負の係数なのでy≦0で下へ開きます。反対符号のxに同じyが対応し、y軸について対称です。
y=(3/2)x²でxが−2から2まで増えるとき、変化の割合はいくつですか。
答えと解説
0
両端のyはどちらも6なので(6−6)/{2−(−2)}=0です。途中のx=0ではy=0で、区間中ずっと一定という意味ではありません。
考え方を説明する
y=(1/2)x²について、x=−4,−3,−2,0,2,3,4の値の表を作ります。軸名と目盛りを決めて自分の座標平面に点をとり、間をなめらかな曲線で結んでください。反対符号のxに対応する値と、式から分かる対称性を説明します。
答えと解説
生徒の表は順にy=8,9/2,2,0,2,9/2,8。自分の軸にこれらの点をとり、原点を通って上へ開く放物線をかく。xと−xで二乗が等しいのでyの値も等しく、グラフはy軸について対称である。表にない点でも式を用いて確かめられ、与えた点を折れ線で結んだものにはしない。
生徒の七組の表、軸名と一貫した目盛り、正しい位置の点と曲線、式の(−x)²=x²による対称性の説明を見る。画面にある完成図を見ただけでは生徒のグラフにしない。
同じ座標平面にy=x²、y=3x²、y=−3x²の三つをかきます。まずx=−2,−1,0,1,2の表を三つ作り、どの曲線か分かる名前を付けます。同じxでの|y|、係数の符号と開く向きについて表と式を根拠に比較してください。
答えと解説
生徒の表はy=x²が4,1,0,1,4、y=3x²が12,3,0,3,12、y=−3x²が−12,−3,0,−3,−12。三つとも原点を通りy軸対称。同じx≠0で|3x²|は|x²|の3倍。正の係数の二つは上へ開き、負の係数の曲線はy=3x²をx軸について反転した位置に下へ開く。
生徒の三表、三曲線と凡例、同じxでの数値比較、符号と絶対値を分けた説明を見る。単に「大きいaほどグラフが上」として負の係数やx=0を無視しない。
y=ax²のグラフはP(−3,−12)を通ります。aと式全体を求め、x=−3,−3/2,0,3/2,3の表と自分の曲線をかきます。Q(3/2,−3)が同じグラフ上にあるかを代入で確かめ、原点だけではaを決められない理由も説明してください。
答えと解説
−12=9aよりa=−4/3、式はy=−(4/3)x²。生徒の表は−12,−3,0,−3,−12で下へ開くy軸対称の曲線。x=3/2を代入すると−(4/3)×9/4=−3なのでQはグラフ上にある。原点なら0=a×0でどのaでも成り立ち、その条件だけではaを特定できない。
生徒のPの代入式と係数、式全体、五組の表と目盛り付き曲線、Qの代入確認、原点の条件の限界を見る。同値な正確な分数や循環しない小数の表記を認める。
y=2x²について、範囲Iは−3≦x≦1、範囲IIは−4≦x≦−1です。同じ関数のグラフに二つの範囲を色や線種で分けて示し、それぞれのyの変域を求めます。x=0が範囲内にあるかを根拠に、最小値と最大値の位置を説明してください。
答えと解説
Iはx=0を含み、0≦x²≦9より0≦y≦18。最小はx=0、最大はx=−3。IIは負の側だけで1≦x²≦16より2≦y≦32。最小はx=−1、最大はx=−4。生徒の曲線上で各範囲と対応するyの範囲を区別する。
生徒の曲線と二範囲の表示、0の含まれ方、各範囲での最小・最大を与えるx、0〜18と2〜32の正確な結論を見ます。
y=−(1/2)x²について、範囲Iは−2≦x≦5、範囲IIは1≦x≦4です。表や曲線に二つの範囲を示し、それぞれのyの変域を求めます。係数が負であることと0の含まれ方を使って説明してください。
答えと解説
Iは0≦x²≦25なので−25/2≦y≦0。最小はx=5、最大はx=0。IIは1≦x²≦16なので−8≦y≦−1/2。最小はx=4、最大はx=1。負の数をかけると大小の向きが反対になることを、生徒の表や下へ開く曲線とも結び付ける。
生徒の範囲を示す表や曲線、x²の範囲と負の係数の扱い、−25/2〜0と−8〜−1/2、極値の位置と0の条件を見ます。
y=(3/4)x²で、x=−4,−2,0,2,4の表と曲線を作ります。四つの区間−4→−2、−2→0、0→2、2→4の変化の割合を実際の増加量から計算し、左右の変わり方と「一定の割合で変わる」という主張が正しいかを説明してください。
答えと解説
生徒のyの表は12,3,0,3,12。四区間のxの増加量は全て2で、yの増加量は−9,−3,3,9。変化の割合は−9/2,−3/2,3/2,9/2。負の側ではxが増えるとyは減り、正の側では増える。四つの割合は同じでないので、この関数全体を一定の割合で変わるとはいえない。
生徒の表と曲線、四区間での二つの増加量と分数の計算、符号と左右の変化の対応、一定の割合という主張への根拠ある判断を見ます。
y=4xとy=x²について、x=0,1,2,3,4の表と同じ軸上の二つのグラフを作ります。隣り合う整数の四区間の変化の割合と、全体の0→4の平均の変化の割合を比べます。全体の割合が等しいことから「二つは同じ関数だ」とする考えを、具体的な点で確かめて説明してください。
答えと解説
生徒の表で一次関数は0,4,8,12,16、二乗の関数は0,1,4,9,16。隣り合う四区間の割合は一次が全て4、二乗が1,3,5,7。全体0→4はどちらも(16−0)/4=4だが、例えばx=2では8と4で違う。グラフは直線と放物線で、全体の平均の割合が同じでも同じ関数とは限らない。
生徒の二表と名前付きグラフ、四区間と全体の割合、同じでない具体的な値、平均と区間内の変化を分けた説明を見ます。
実測ではない仮想の運動モデルs=0.6t²を、0≦t≦5の範囲だけ考えます。tは秒、sは出発点から同じ向きに進んだ距離cmです。t=0,1,2,3,4,5の表と軸名・単位を付けた曲線を作り、1→4秒と0→2秒の平均の速さを求めます。5秒より後や実物にも同じ式が成り立つか、与えた情報の限界を説明してください。
答えと解説
生徒の表はs=0,0.6,2.4,5.4,9.6,15cm。t軸を秒、s軸をcmとして0〜5の曲線をかく。1→4秒の平均の速さは(9.6−0.6)/(4−1)=3cm/s。0→2秒では(2.4−0)/2=1.2cm/s。定義した範囲内の仮想モデルの計算であり、5秒以後の式の成立や実物の動きを観測・証明したことにはならない。
生徒の六組の表、軸名・単位・0〜5の範囲付き曲線、二つの増加量の式とcm/s、モデルの範囲と実測でないことを示した結論を見る。瞬間の速さや微分は求めない。
次の三組は実測ではない仮想データです：(x,y)=(1,2.1),(2,7.8),(3,18.2)。点を座標平面にとり、各組のy/x²を計算します。比較のためy=2x²の曲線をかき、各データのyからモデルのyを引いた差も求めてください。「この三組は全て正確にy=ax²を満たす」「近いモデルを考えられる」「全てのxで同じ法則が証明された」を区別して説明します。
答えと解説
生徒の比y/x²は21/10=2.1、39/20=1.95、91/45で、全て同じではない。この三組は一つのaによるy=ax²を正確には満たさない。モデルy=2x²の対応値は2,8,18で、データ−モデルは1/10,−1/5,1/5。点と曲線を比べ、近いモデルとして考える余地はあるが、仮想の三点だけで全てのxの法則や実物の誤差の原因を証明したとはいわない。
生徒の三点と比較曲線、三つの正確な比と差、正確な一致・近似モデル・全範囲の証明を分けた説明を見る。測定を実行した記録にしない。
aを−2,−1/2,3/2,3の四つから一つ、hを2,3,4の三つから一つ選びます。y=ax²を−h≦x≦hの範囲で考え、自分で選んだ具体的な数でx=−h,−1,0,1,hの表と曲線、yの変域を作ります。−h→0、0→h、−h→hの変化の割合を計算し、最後の割合が0になることと区間中で一定になることの違いを説明してください。
答えと解説
作例a=−1/2,h=3ならy=−(1/2)x²、表はx=−3,−1,0,1,3に対してy=−9/2,−1/2,0,−1/2,−9/2。下へ開くy軸対称の曲線で−9/2≦y≦0。−3→0の割合は{0−(−9/2)}/3=3/2、0→3は{−9/2−0}/3=−3/2、−3→3は0。最後は両端のyが同じためで、途中のyがずっと一定ではない。別の条件内a,hでも生徒の具体的な表・曲線・変域・三つの計算と説明がそろえば認める。
生徒が選んだa,h、五組の表と範囲付き曲線、aの符号に合った変域、三つの実際の割合の計算、対称な両端と途中の変化の違いを見る。一般式や完成した作例を写しただけでは生徒の数の作例にしない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3C(1)、冊子152〜154/PDF156〜158の、二乗に比例する関係を表・式・グラフで捉え、係数や変域・変化の割合、具体的な場面での活用と仮定を考える趣旨を踏まえた独自課題です。現行東京書籍R7の公開指導計画でも表・式・グラフと変化の割合が扱われています。出版社の問題・数値・図版は写しません。099はy=ax²を扱い、中3C(1)のあらゆる関数を網羅したとはしません。 · 2026-11-03
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この練習問題を保存ワークシート: y=ax²の表・式・グラフと変化の割合を結び付ける
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/connect-quadratic-proportion-tables-graphs-and-interval-rates/
準備14問は値の代入・係数・グラフの読み・変域・変化の割合を確かめる足場です。主課題は生徒の具体的な表、軸名と目盛りを示した曲線、式との対応、指定範囲と0の扱い、実際の二点による変化の割合の計算、一次関数との比較や場面の仮定・限界を手動確認します。T1は表と生徒の曲線、T2は係数の比較、T3は点から式を決める、T4とT5は正負の係数の変域、T6は四区間の割合、T7は一次関数との比較、T8は仮想モデルと定義域、T9はデータとモデルの区別、T10は生徒が選んだ係数と範囲の作例です。正確に同値な分数・小数や根拠のそろった別の説明も認めます。
y=3x²でx=−4のとき、yの値はいくつですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=ax²でx=3のときy=−18です。aの値はいくつですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=(1/2)x²でx=−6のとき、yの値はいくつですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=ax²（a≠0）でxの値を3倍にすると、対応するyの値は何倍になりますか。
- 3倍
- 6倍
- 9倍
- 1/3倍
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=−3x²でx=−2とx=2に対応するyについて、正しいものはどれですか。
- どちらも−12
- どちらも12
- x=−2のとき12、x=2のとき−12
- x=−2のとき−6、x=2のとき6
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=3x²でxが1から4まで増えるとき、変化の割合はいくつですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=−2x²でxが−3から−1まで増えるとき、変化の割合はいくつですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
図はy=ax²のグラフです。与えた格子点Pを読み、aの値を求めてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=x²で−2≦x≦3のとき、yの変域はどれですか。
図を準備しています。
- 4≦y≦9
- −2≦y≦3
- 0≦y≦9
- 0≦y≦4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=−(1/2)x²で−4≦x≦2のとき、yの変域はどれですか。
図を準備しています。
- −8≦y≦−2
- −8≦y≦0
- 0≦y≦8
- −2≦y≦0
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=2x²とy=2xで、区間1≦x≦2と2≦x≦3の変化の割合を調べました。正しい組はどれですか。
- どちらの関数も2、2
- y=2x²は6、10。y=2xは2、2
- y=2x²は4、6。y=2xは2、2
- y=2x²は6、10。y=2xは4、6
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=ax²（a≠0）のグラフが原点を通るという情報だけから、aについて何がいえますか。
- a=0に決まる
- a=1に決まる
- a=−1に決まる
- この情報だけではaの値は決まらない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a<0のy=ax²のグラフの性質として正しいものはどれですか。
- 上へ開き、x軸について対称
- 下へ開き、y軸について対称
- 下へ開き、原点について対称
- 直線になり、y軸について対称
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=(3/2)x²でxが−2から2まで増えるとき、変化の割合はいくつですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
y=(1/2)x²について、x=−4,−3,−2,0,2,3,4の値の表を作ります。軸名と目盛りを決めて自分の座標平面に点をとり、間をなめらかな曲線で結んでください。反対符号のxに対応する値と、式から分かる対称性を説明します。
同じ座標平面にy=x²、y=3x²、y=−3x²の三つをかきます。まずx=−2,−1,0,1,2の表を三つ作り、どの曲線か分かる名前を付けます。同じxでの|y|、係数の符号と開く向きについて表と式を根拠に比較してください。
y=ax²のグラフはP(−3,−12)を通ります。aと式全体を求め、x=−3,−3/2,0,3/2,3の表と自分の曲線をかきます。Q(3/2,−3)が同じグラフ上にあるかを代入で確かめ、原点だけではaを決められない理由も説明してください。
y=2x²について、範囲Iは−3≦x≦1、範囲IIは−4≦x≦−1です。同じ関数のグラフに二つの範囲を色や線種で分けて示し、それぞれのyの変域を求めます。x=0が範囲内にあるかを根拠に、最小値と最大値の位置を説明してください。
y=−(1/2)x²について、範囲Iは−2≦x≦5、範囲IIは1≦x≦4です。表や曲線に二つの範囲を示し、それぞれのyの変域を求めます。係数が負であることと0の含まれ方を使って説明してください。
y=(3/4)x²で、x=−4,−2,0,2,4の表と曲線を作ります。四つの区間−4→−2、−2→0、0→2、2→4の変化の割合を実際の増加量から計算し、左右の変わり方と「一定の割合で変わる」という主張が正しいかを説明してください。
y=4xとy=x²について、x=0,1,2,3,4の表と同じ軸上の二つのグラフを作ります。隣り合う整数の四区間の変化の割合と、全体の0→4の平均の変化の割合を比べます。全体の割合が等しいことから「二つは同じ関数だ」とする考えを、具体的な点で確かめて説明してください。
実測ではない仮想の運動モデルs=0.6t²を、0≦t≦5の範囲だけ考えます。tは秒、sは出発点から同じ向きに進んだ距離cmです。t=0,1,2,3,4,5の表と軸名・単位を付けた曲線を作り、1→4秒と0→2秒の平均の速さを求めます。5秒より後や実物にも同じ式が成り立つか、与えた情報の限界を説明してください。
次の三組は実測ではない仮想データです：(x,y)=(1,2.1),(2,7.8),(3,18.2)。点を座標平面にとり、各組のy/x²を計算します。比較のためy=2x²の曲線をかき、各データのyからモデルのyを引いた差も求めてください。「この三組は全て正確にy=ax²を満たす」「近いモデルを考えられる」「全てのxで同じ法則が証明された」を区別して説明します。
aを−2,−1/2,3/2,3の四つから一つ、hを2,3,4の三つから一つ選びます。y=ax²を−h≦x≦hの範囲で考え、自分で選んだ具体的な数でx=−h,−1,0,1,hの表と曲線、yの変域を作ります。−h→0、0→h、−h→hの変化の割合を計算し、最後の割合が0になることと区間中で一定になることの違いを説明してください。
解答: y=ax²の表・式・グラフと変化の割合を結び付ける
48
(−4)²=16なのでy=3×16=48です。3xを先に二乗しません。
−2
−18=9aなのでa=−18/9=−2です。
18
(−6)²=36なのでy=36/2=18です。
9倍
a(3x)²=9ax²なので9倍です。
どちらも−12
どちらもx²=4なのでy=−12です。y軸について対称な点になります。
15
yは3から48へ増えるので、変化の割合=(48−3)/(4−1)=45/3=15です。
8
yは−18から−2へ増え、{−2−(−18)}/{−1−(−3)}=16/2=8です。
図のPは(2,6)。6=4aよりa=6/4=3/2です。
0≦y≦9
範囲内にx=0があるので最小値は0。|x|が最大のx=3でy=9となります。
−8≦y≦0
0≦x²≦16に−1/2をかけると−8≦y≦0。x=0で0、x=−4で−8です。
y=2x²は6、10。y=2xは2、2
二乗の方はyが2→8→18なので割合は6、10。一次の方は2→4→6なので2、2です。
この情報だけではaの値は決まらない
どのaでもx=0ならy=0です。係数を決めるには原点以外の情報が必要です。
下へ開き、y軸について対称
負の係数なのでy≦0で下へ開きます。反対符号のxに同じyが対応し、y軸について対称です。
0
両端のyはどちらも6なので(6−6)/{2−(−2)}=0です。途中のx=0ではy=0で、区間中ずっと一定という意味ではありません。
記述問題の解答・確認の観点
y=(1/2)x²について、x=−4,−3,−2,0,2,3,4の値の表を作ります。軸名と目盛りを決めて自分の座標平面に点をとり、間をなめらかな曲線で結んでください。反対符号のxに対応する値と、式から分かる対称性を説明します。
生徒の表は順にy=8,9/2,2,0,2,9/2,8。自分の軸にこれらの点をとり、原点を通って上へ開く放物線をかく。xと−xで二乗が等しいのでyの値も等しく、グラフはy軸について対称である。表にない点でも式を用いて確かめられ、与えた点を折れ線で結んだものにはしない。
生徒の七組の表、軸名と一貫した目盛り、正しい位置の点と曲線、式の(−x)²=x²による対称性の説明を見る。画面にある完成図を見ただけでは生徒のグラフにしない。
同じ座標平面にy=x²、y=3x²、y=−3x²の三つをかきます。まずx=−2,−1,0,1,2の表を三つ作り、どの曲線か分かる名前を付けます。同じxでの|y|、係数の符号と開く向きについて表と式を根拠に比較してください。
生徒の表はy=x²が4,1,0,1,4、y=3x²が12,3,0,3,12、y=−3x²が−12,−3,0,−3,−12。三つとも原点を通りy軸対称。同じx≠0で|3x²|は|x²|の3倍。正の係数の二つは上へ開き、負の係数の曲線はy=3x²をx軸について反転した位置に下へ開く。
生徒の三表、三曲線と凡例、同じxでの数値比較、符号と絶対値を分けた説明を見る。単に「大きいaほどグラフが上」として負の係数やx=0を無視しない。
y=ax²のグラフはP(−3,−12)を通ります。aと式全体を求め、x=−3,−3/2,0,3/2,3の表と自分の曲線をかきます。Q(3/2,−3)が同じグラフ上にあるかを代入で確かめ、原点だけではaを決められない理由も説明してください。
−12=9aよりa=−4/3、式はy=−(4/3)x²。生徒の表は−12,−3,0,−3,−12で下へ開くy軸対称の曲線。x=3/2を代入すると−(4/3)×9/4=−3なのでQはグラフ上にある。原点なら0=a×0でどのaでも成り立ち、その条件だけではaを特定できない。
生徒のPの代入式と係数、式全体、五組の表と目盛り付き曲線、Qの代入確認、原点の条件の限界を見る。同値な正確な分数や循環しない小数の表記を認める。
y=2x²について、範囲Iは−3≦x≦1、範囲IIは−4≦x≦−1です。同じ関数のグラフに二つの範囲を色や線種で分けて示し、それぞれのyの変域を求めます。x=0が範囲内にあるかを根拠に、最小値と最大値の位置を説明してください。
Iはx=0を含み、0≦x²≦9より0≦y≦18。最小はx=0、最大はx=−3。IIは負の側だけで1≦x²≦16より2≦y≦32。最小はx=−1、最大はx=−4。生徒の曲線上で各範囲と対応するyの範囲を区別する。
生徒の曲線と二範囲の表示、0の含まれ方、各範囲での最小・最大を与えるx、0〜18と2〜32の正確な結論を見ます。
y=−(1/2)x²について、範囲Iは−2≦x≦5、範囲IIは1≦x≦4です。表や曲線に二つの範囲を示し、それぞれのyの変域を求めます。係数が負であることと0の含まれ方を使って説明してください。
Iは0≦x²≦25なので−25/2≦y≦0。最小はx=5、最大はx=0。IIは1≦x²≦16なので−8≦y≦−1/2。最小はx=4、最大はx=1。負の数をかけると大小の向きが反対になることを、生徒の表や下へ開く曲線とも結び付ける。
生徒の範囲を示す表や曲線、x²の範囲と負の係数の扱い、−25/2〜0と−8〜−1/2、極値の位置と0の条件を見ます。
y=(3/4)x²で、x=−4,−2,0,2,4の表と曲線を作ります。四つの区間−4→−2、−2→0、0→2、2→4の変化の割合を実際の増加量から計算し、左右の変わり方と「一定の割合で変わる」という主張が正しいかを説明してください。
生徒のyの表は12,3,0,3,12。四区間のxの増加量は全て2で、yの増加量は−9,−3,3,9。変化の割合は−9/2,−3/2,3/2,9/2。負の側ではxが増えるとyは減り、正の側では増える。四つの割合は同じでないので、この関数全体を一定の割合で変わるとはいえない。
生徒の表と曲線、四区間での二つの増加量と分数の計算、符号と左右の変化の対応、一定の割合という主張への根拠ある判断を見ます。
y=4xとy=x²について、x=0,1,2,3,4の表と同じ軸上の二つのグラフを作ります。隣り合う整数の四区間の変化の割合と、全体の0→4の平均の変化の割合を比べます。全体の割合が等しいことから「二つは同じ関数だ」とする考えを、具体的な点で確かめて説明してください。
生徒の表で一次関数は0,4,8,12,16、二乗の関数は0,1,4,9,16。隣り合う四区間の割合は一次が全て4、二乗が1,3,5,7。全体0→4はどちらも(16−0)/4=4だが、例えばx=2では8と4で違う。グラフは直線と放物線で、全体の平均の割合が同じでも同じ関数とは限らない。
生徒の二表と名前付きグラフ、四区間と全体の割合、同じでない具体的な値、平均と区間内の変化を分けた説明を見ます。
実測ではない仮想の運動モデルs=0.6t²を、0≦t≦5の範囲だけ考えます。tは秒、sは出発点から同じ向きに進んだ距離cmです。t=0,1,2,3,4,5の表と軸名・単位を付けた曲線を作り、1→4秒と0→2秒の平均の速さを求めます。5秒より後や実物にも同じ式が成り立つか、与えた情報の限界を説明してください。
生徒の表はs=0,0.6,2.4,5.4,9.6,15cm。t軸を秒、s軸をcmとして0〜5の曲線をかく。1→4秒の平均の速さは(9.6−0.6)/(4−1)=3cm/s。0→2秒では(2.4−0)/2=1.2cm/s。定義した範囲内の仮想モデルの計算であり、5秒以後の式の成立や実物の動きを観測・証明したことにはならない。
生徒の六組の表、軸名・単位・0〜5の範囲付き曲線、二つの増加量の式とcm/s、モデルの範囲と実測でないことを示した結論を見る。瞬間の速さや微分は求めない。
次の三組は実測ではない仮想データです：(x,y)=(1,2.1),(2,7.8),(3,18.2)。点を座標平面にとり、各組のy/x²を計算します。比較のためy=2x²の曲線をかき、各データのyからモデルのyを引いた差も求めてください。「この三組は全て正確にy=ax²を満たす」「近いモデルを考えられる」「全てのxで同じ法則が証明された」を区別して説明します。
生徒の比y/x²は21/10=2.1、39/20=1.95、91/45で、全て同じではない。この三組は一つのaによるy=ax²を正確には満たさない。モデルy=2x²の対応値は2,8,18で、データ−モデルは1/10,−1/5,1/5。点と曲線を比べ、近いモデルとして考える余地はあるが、仮想の三点だけで全てのxの法則や実物の誤差の原因を証明したとはいわない。
生徒の三点と比較曲線、三つの正確な比と差、正確な一致・近似モデル・全範囲の証明を分けた説明を見る。測定を実行した記録にしない。
aを−2,−1/2,3/2,3の四つから一つ、hを2,3,4の三つから一つ選びます。y=ax²を−h≦x≦hの範囲で考え、自分で選んだ具体的な数でx=−h,−1,0,1,hの表と曲線、yの変域を作ります。−h→0、0→h、−h→hの変化の割合を計算し、最後の割合が0になることと区間中で一定になることの違いを説明してください。
作例a=−1/2,h=3ならy=−(1/2)x²、表はx=−3,−1,0,1,3に対してy=−9/2,−1/2,0,−1/2,−9/2。下へ開くy軸対称の曲線で−9/2≦y≦0。−3→0の割合は{0−(−9/2)}/3=3/2、0→3は{−9/2−0}/3=−3/2、−3→3は0。最後は両端のyが同じためで、途中のyがずっと一定ではない。別の条件内a,hでも生徒の具体的な表・曲線・変域・三つの計算と説明がそろえば認める。
生徒が選んだa,h、五組の表と範囲付き曲線、aの符号に合った変域、三つの実際の割合の計算、対称な両端と途中の変化の違いを見る。一般式や完成した作例を写しただけでは生徒の数の作例にしない。