中1 数学：角錐・円錐の体積の練習問題
角錐・円錐の体積を底面積と垂直な高さから求め、同じ底面積・高さの柱体と比較します。斜めの辺や母線を高さと取り違えないようにします。
学年・内容の目安 中1。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中1 B(2) 空間図形。冊子78〜83ページ（PDF82〜87ページ）。
解説を読む
角錐・円錐の体積を底面積と垂直な高さから求め、同じ底面積・高さの柱体と比較します。斜めの辺や母線を高さと取り違えないようにします。
必要な予備知識
小学校で学んだ角、垂直・平行、円、面積・体積と、中1の正負の数・文字式を確認します。
- 角錐・円錐の体積は、底面積×高さ÷3です。
- 同じ底面積で高さも同じ柱体と比べると、錐体の体積は1/3です。
- 円錐の母線は斜めの線分で、体積に使う垂直な高さとは異なります。
解き方の例
底面積24 cm²、高さ9 cmの角錐は72 cm³です。同じ底面積・高さの角柱は216 cm³で、角錐の体積はその1/3です。
よくある間違い
- 3で割り忘れる。
- 高さではなく母線を使う。
- 底面積が同じだけで、どんな錐体と柱体も体積が1:3と思う。
考え方を説明する
底面積と垂直な高さを図で示すこと、比較する二つの条件を確認します。
自動採点は指定した数値や選択肢です。図、作図の跡、説明、単位は講師が記述課題で確認します。
練習する
求められた数値だけを、文字や単位を付けずに入力します。正確に等しい整数・小数・分数・帯分数を受け付けます。小数点と桁区切りの両方に読める入力では意味を選んでください。途中式は紙や記述欄で確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
底面積12 cm²、高さ6 cmの角錐と、それと底面積も高さも同じ角柱があります。角錐と角柱の体積を答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
角錐の体積（cm³） = 24 / 角柱の体積（cm³） = 72
角錐は12×6÷3 = 24 cm³、角柱は12×6 = 72 cm³です。
底面積20 cm²、高さ9 cmの角錐と、それと底面積も高さも同じ角柱があります。角錐と角柱の体積を答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
角錐の体積（cm³） = 60 / 角柱の体積（cm³） = 180
角錐は20×9÷3 = 60 cm³、角柱は20×9 = 180 cm³です。
底面積35 cm²、高さ6 cmの角錐と、それと底面積も高さも同じ角柱があります。角錐と角柱の体積を答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
角錐の体積（cm³） = 70 / 角柱の体積（cm³） = 210
角錐は35×6÷3 = 70 cm³、角柱は35×6 = 210 cm³です。
底面積18 cm²、高さ5 cmの角錐と、それと底面積も高さも同じ角柱があります。角錐と角柱の体積を答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
角錐の体積（cm³） = 30 / 角柱の体積（cm³） = 90
角錐は18×5÷3 = 30 cm³、角柱は18×5 = 90 cm³です。
底面積45/2 cm²、高さ8 cmの角錐と、それと底面積も高さも同じ角柱があります。角錐と角柱の体積を答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
角錐の体積（cm³） = 60 / 角柱の体積（cm³） = 180
角錐は45/2×8÷3 = 60 cm³、角柱は45/2×8 = 180 cm³です。
底面積28 cm²、高さ12 cmの角錐と、それと底面積も高さも同じ角柱があります。角錐と角柱の体積を答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
角錐の体積（cm³） = 112 / 角柱の体積（cm³） = 336
角錐は28×12÷3 = 112 cm³、角柱は28×12 = 336 cm³です。
半径2 cm、高さ9 cmの円錐と、半径・高さが同じ円柱があります。円錐の体積Aπ cm³、円柱の体積Bπ cm³の係数A、Bを答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
A：円錐の体積の係数 = 12 / B：円柱の体積の係数 = 36
A = 2²×9÷3 = 12、B = 2²×9 = 36です。
半径3 cm、高さ4 cmの円錐と、半径・高さが同じ円柱があります。円錐の体積Aπ cm³、円柱の体積Bπ cm³の係数A、Bを答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
A：円錐の体積の係数 = 12 / B：円柱の体積の係数 = 36
A = 3²×4÷3 = 12、B = 3²×4 = 36です。
半径4 cm、高さ6 cmの円錐と、半径・高さが同じ円柱があります。円錐の体積Aπ cm³、円柱の体積Bπ cm³の係数A、Bを答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
A：円錐の体積の係数 = 32 / B：円柱の体積の係数 = 96
A = 4²×6÷3 = 32、B = 4²×6 = 96です。
半径5 cm、高さ12 cmの円錐と、半径・高さが同じ円柱があります。円錐の体積Aπ cm³、円柱の体積Bπ cm³の係数A、Bを答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
A：円錐の体積の係数 = 100 / B：円柱の体積の係数 = 300
A = 5²×12÷3 = 100、B = 5²×12 = 300です。
半径3/2 cm、高さ8 cmの円錐と、半径・高さが同じ円柱があります。円錐の体積Aπ cm³、円柱の体積Bπ cm³の係数A、Bを答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
A：円錐の体積の係数 = 6 / B：円柱の体積の係数 = 18
A = (3/2)²×8÷3 = 6、B = (3/2)²×8 = 18です。
半径6 cm、高さ5 cmの円錐と、半径・高さが同じ円柱があります。円錐の体積Aπ cm³、円柱の体積Bπ cm³の係数A、Bを答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
A：円錐の体積の係数 = 60 / B：円柱の体積の係数 = 180
A = 6²×5÷3 = 60、B = 6²×5 = 180です。
底面積と高さがそれぞれ等しい角錐と角柱を比べます。角錐の体積は角柱の何倍ですか。
- 3倍
- 1/2倍
- 1/3倍
- 同じ
答えと解説
1/3倍
角錐の体積は底面積×高さ÷3なので1/3です。
円錐の半径を変えず、高さを2倍にすると体積はどうなりますか。
- 2倍
- 3倍
- 4倍
- 変わらない
答えと解説
2倍
半径を固定すれば底面積は同じで、体積は高さに比例するので2倍です。
円錐の高さを変えず、半径を2倍にすると体積はどうなりますか。
- 2倍
- 3倍
- 変わらない
- 4倍
答えと解説
4倍
底面積が半径の2乗に比例し4倍になるので、体積も4倍です。
角錐の体積に使う高さはどれですか。
- 底面の一辺
- 頂点から底面を含む平面に下ろした垂線の長さ
- 側面のどれかの辺
- 側面の三角形の高さならどれでもよい
答えと解説
頂点から底面を含む平面に下ろした垂線の長さ
底面を含む平面への垂直な距離を使います。
考え方を説明する
底面積30 cm²、高さ8 cmの角錐の体積を求め、同じ底面積・高さの角柱と比べてください。
答えと解説
角錐80 cm³、角柱240 cm³。角錐は角柱の1/3。
同じにしている二条件、3で割る操作、単位を確認します。
半径3 cm、高さ4 cm、母線5 cmの円錐について、体積を15π cm³とした誤りを説明して直してください。
答えと解説
体積に母線5 cmを使った誤り。垂直な高さ4 cmを使い、π×3²×4÷3 = 12π cm³。
母線と高さを図で区別すること、元の誤りの原因を説明することを確認します。
底面積が同じ二つの円錐があります。一方の高さが他方の3倍です。体積の比を説明し、底面積が違う場合にも同じ結論になるか考えてください。
答えと解説
体積は高さに比例するので3:1。底面積が異なれば一般には3:1とは言えない。
比例する条件の固定と、条件が外れたときの判断を確認します。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
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講師の方へ
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この練習問題を保存ワークシート: 角錐・円錐の体積を比べる
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/pyramid-cone-volume-comparison/
底面積と垂直な高さを図で示すこと、比較する二つの条件を確認します。
底面積12 cm²、高さ6 cmの角錐と、それと底面積も高さも同じ角柱があります。角錐と角柱の体積を答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
底面積20 cm²、高さ9 cmの角錐と、それと底面積も高さも同じ角柱があります。角錐と角柱の体積を答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
底面積35 cm²、高さ6 cmの角錐と、それと底面積も高さも同じ角柱があります。角錐と角柱の体積を答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
底面積18 cm²、高さ5 cmの角錐と、それと底面積も高さも同じ角柱があります。角錐と角柱の体積を答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
底面積45/2 cm²、高さ8 cmの角錐と、それと底面積も高さも同じ角柱があります。角錐と角柱の体積を答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
底面積28 cm²、高さ12 cmの角錐と、それと底面積も高さも同じ角柱があります。角錐と角柱の体積を答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
半径2 cm、高さ9 cmの円錐と、半径・高さが同じ円柱があります。円錐の体積Aπ cm³、円柱の体積Bπ cm³の係数A、Bを答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
半径3 cm、高さ4 cmの円錐と、半径・高さが同じ円柱があります。円錐の体積Aπ cm³、円柱の体積Bπ cm³の係数A、Bを答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
半径4 cm、高さ6 cmの円錐と、半径・高さが同じ円柱があります。円錐の体積Aπ cm³、円柱の体積Bπ cm³の係数A、Bを答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
半径5 cm、高さ12 cmの円錐と、半径・高さが同じ円柱があります。円錐の体積Aπ cm³、円柱の体積Bπ cm³の係数A、Bを答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
半径3/2 cm、高さ8 cmの円錐と、半径・高さが同じ円柱があります。円錐の体積Aπ cm³、円柱の体積Bπ cm³の係数A、Bを答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
半径6 cm、高さ5 cmの円錐と、半径・高さが同じ円柱があります。円錐の体積Aπ cm³、円柱の体積Bπ cm³の係数A、Bを答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
底面積と高さがそれぞれ等しい角錐と角柱を比べます。角錐の体積は角柱の何倍ですか。
- 3倍
- 1/2倍
- 1/3倍
- 同じ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円錐の半径を変えず、高さを2倍にすると体積はどうなりますか。
- 2倍
- 3倍
- 4倍
- 変わらない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円錐の高さを変えず、半径を2倍にすると体積はどうなりますか。
- 2倍
- 3倍
- 変わらない
- 4倍
途中の計算・単位・理由・確認答え:
角錐の体積に使う高さはどれですか。
- 底面の一辺
- 頂点から底面を含む平面に下ろした垂線の長さ
- 側面のどれかの辺
- 側面の三角形の高さならどれでもよい
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
底面積30 cm²、高さ8 cmの角錐の体積を求め、同じ底面積・高さの角柱と比べてください。
半径3 cm、高さ4 cm、母線5 cmの円錐について、体積を15π cm³とした誤りを説明して直してください。
底面積が同じ二つの円錐があります。一方の高さが他方の3倍です。体積の比を説明し、底面積が違う場合にも同じ結論になるか考えてください。
解答: 角錐・円錐の体積を比べる
角錐の体積（cm³） = 24 / 角柱の体積（cm³） = 72
角錐は12×6÷3 = 24 cm³、角柱は12×6 = 72 cm³です。
角錐の体積（cm³） = 60 / 角柱の体積（cm³） = 180
角錐は20×9÷3 = 60 cm³、角柱は20×9 = 180 cm³です。
角錐の体積（cm³） = 70 / 角柱の体積（cm³） = 210
角錐は35×6÷3 = 70 cm³、角柱は35×6 = 210 cm³です。
角錐の体積（cm³） = 30 / 角柱の体積（cm³） = 90
角錐は18×5÷3 = 30 cm³、角柱は18×5 = 90 cm³です。
角錐の体積（cm³） = 60 / 角柱の体積（cm³） = 180
角錐は45/2×8÷3 = 60 cm³、角柱は45/2×8 = 180 cm³です。
角錐の体積（cm³） = 112 / 角柱の体積（cm³） = 336
角錐は28×12÷3 = 112 cm³、角柱は28×12 = 336 cm³です。
A：円錐の体積の係数 = 12 / B：円柱の体積の係数 = 36
A = 2²×9÷3 = 12、B = 2²×9 = 36です。
A：円錐の体積の係数 = 12 / B：円柱の体積の係数 = 36
A = 3²×4÷3 = 12、B = 3²×4 = 36です。
A：円錐の体積の係数 = 32 / B：円柱の体積の係数 = 96
A = 4²×6÷3 = 32、B = 4²×6 = 96です。
A：円錐の体積の係数 = 100 / B：円柱の体積の係数 = 300
A = 5²×12÷3 = 100、B = 5²×12 = 300です。
A：円錐の体積の係数 = 6 / B：円柱の体積の係数 = 18
A = (3/2)²×8÷3 = 6、B = (3/2)²×8 = 18です。
A：円錐の体積の係数 = 60 / B：円柱の体積の係数 = 180
A = 6²×5÷3 = 60、B = 6²×5 = 180です。
1/3倍
角錐の体積は底面積×高さ÷3なので1/3です。
2倍
半径を固定すれば底面積は同じで、体積は高さに比例するので2倍です。
4倍
底面積が半径の2乗に比例し4倍になるので、体積も4倍です。
頂点から底面を含む平面に下ろした垂線の長さ
底面を含む平面への垂直な距離を使います。
記述問題の解答・確認の観点
底面積30 cm²、高さ8 cmの角錐の体積を求め、同じ底面積・高さの角柱と比べてください。
角錐80 cm³、角柱240 cm³。角錐は角柱の1/3。
同じにしている二条件、3で割る操作、単位を確認します。
半径3 cm、高さ4 cm、母線5 cmの円錐について、体積を15π cm³とした誤りを説明して直してください。
体積に母線5 cmを使った誤り。垂直な高さ4 cmを使い、π×3²×4÷3 = 12π cm³。
母線と高さを図で区別すること、元の誤りの原因を説明することを確認します。
底面積が同じ二つの円錐があります。一方の高さが他方の3倍です。体積の比を説明し、底面積が違う場合にも同じ結論になるか考えてください。
体積は高さに比例するので3:1。底面積が異なれば一般には3:1とは言えない。
比例する条件の固定と、条件が外れたときの判断を確認します。