正多角形と円周：作図・測定・直径との関係
辺と角をそろえた正多角形を円から作図し、幾つかの円の測定と図で円周率を考えます。円周・直径・半径を、単位と近似の意味を保って求めます。
学年・内容の目安 小5。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
小5B(1)ア(ウ)(エ)・イ(ア)、内容の取扱い(3)。冊子248〜254/PDF254〜260、特に正多角形と円周率は251〜252/PDF257〜258。辺・角の等しさ、円と組み合わせる作図、複数の円の直径と円周の測定、円周率と直径・円周の関係。円周率は3.14を用います。小6の円の面積や高校の三角比は前提にしません。
解説を読む
辺と角をそろえた正多角形を円から作図し、幾つかの円の測定と図で円周率を考えます。円周・直径・半径を、単位と近似の意味を保って求めます。
必要な予備知識
円の中心・半径・直径、角度と360度、合同な三角形、小数の乗除と長さの単位。作図では紙・コンパス・分度器・定規、実測ではひもなどを用意します。
- 正多角形は、全ての辺の長さと全ての角の大きさがそれぞれ等しい多角形です。辺だけ・角だけでは十分とは限りません。
- 円の中心の周りの角を等分し、円周上の隣り合う頂点を結んで正多角形を作図できます。正六角形は半径の開きを保ったコンパスでも作図できます。
- 円周率は円周÷直径です。円周は直径×円周率、直径は円周÷円周率、半径は直径の半分です。
- この練習の円周計算には円周率3.14を使います。3.14は近似値であり、実物の測定値が必ず同じになるという意味ではありません。
- 模式図は画面や印刷で長さを測って答える図ではありません。自分の作図・実測と、与えられた条件からの計算を分けます。
解き方の例
中心の周りを4等分すると、90度ずつの半径と円周の交点から正方形を作図できます。
直径9cmなら、円周率3.14による計算上の円周は9×3.14=28.26cmです。
よくある間違い
- コンパスで取った直線の辺の長さと、曲がった円周部分を同じ長さだと決めません。
- 円周率は円周÷半径ではなく、円周÷直径です。長さの単位もそろえます。
- 円周のcmと円の面積のcm²を取り違えません。
考え方を説明する
児童の作図・道具の使い方、中心の角・辺と半径の対応、実測の表・単位・測定差と、計算上の円周率3.14を区別して確かめます。数値だけの正答で、自分の作図や実測の達成とは判断しません。
短い数値・二つの数値・選択肢だけを自動で確認します。児童のコンパス等での作図、複数の実測値、説明や自作問題は講師が確認し、自動採点しません。図は模式図であり、印刷の縮尺や画面の長さから実物の値を測る教材ではありません。
練習する
求められた数値だけを入れるか、一つ選びます。二つの欄は指定順です。円周の計算には円周率3.14を使い、単位をそろえて途中で丸めません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
正多角形について正しい説明はどれですか。
- 辺の長さが全て等しく、角の大きさも全て等しい多角形
- 辺の長ささえ全て等しければ、角の大きさは違ってもよい
- 角の大きささえ全て等しければ、辺の長さは違ってもよい
答えと解説
辺の長さが全て等しく、角の大きさも全て等しい多角形
正多角形では全ての辺と全ての角の両方が等しくなります。辺だけが等しいひし形、角だけが等しい長方形では十分とは限りません。
図の正六角形で、中心と隣り合う二つの頂点を結んだ角は何度ですか。
図を準備しています。
答えと解説
60
中心の周りの360度を同じ大きさの6こへ分けるので360÷6=60度です。
図の正八角形で、中心と隣り合う二つの頂点を結んだ角は何度ですか。
図を準備しています。
答えと解説
45
中心の周りを8等分するので360÷8=45度です。
半径2.5cmの円の周上に、六つの頂点が全てある正六角形です。一辺の長さcmと、この正六角形の周りの長さcmを順に答えましょう。
図を準備しています。
答えと解説
一辺（cm） = 2.5 / 正六角形の周り（cm） = 15
中心と頂点を結んだ6この三角形は正三角形です。一辺は半径と同じ2.5cm、周りは2.5×6=15cmです。円周そのものとは区別します。
正六角形の中心を各頂点と結んだ6この三角形について、正しい説明はどれですか。
図を準備しています。
- 全て直角三角形になる
- 半径の長さを変えると、一つだけ違う形になる
- 全て合同な正三角形になる
答えと解説
全て合同な正三角形になる
中心の角は60度で、二辺は同じ円の半径です。残る二角も60度となる正三角形で、6こは全て合同です。
正八角形の中心を各頂点と結んだ8この三角形について、正しい説明はどれですか。
図を準備しています。
- 8こ全ての形と大きさが異なる
- 全て合同な二等辺三角形で、正三角形ではない
- 全て正三角形になる
答えと解説
全て合同な二等辺三角形で、正三角形ではない
二辺は同じ半径、中心の角は45度です。全て合同な二等辺三角形ですが、中心の角が60度ではないので正三角形ではありません。
円とコンパスを使って正六角形をかく方法として、適切なのはどれですか。
- コンパスを円の半径の長さに開いたまま、円周上の点から次の交点を順に取り、隣の点を直線で結ぶ
- 円周上で点を取るたびに、コンパスの開きを自由に変える
- 半径と同じ長さの曲がった円周部分を六つつなげれば、必ず一周になる
答えと解説
コンパスを円の半径の長さに開いたまま、円周上の点から次の交点を順に取り、隣の点を直線で結ぶ
半径の開きを保ち、円周上の隣り合う点を直線で結ぶと、その辺は半径と同じになります。直線の辺と、曲がった円周の長さを同じにはしません。
円の中心の周りを5等分して正五角形を作図します。隣り合う二本の半径の間の角は何度にしますか。
図を準備しています。
答えと解説
72
360÷5=72度です。同じ円の中心の角をそろえて頂点を取り、隣り合う頂点を結びます。
同じ円周上の六つの点と中心を結ぶと、半径は全て等しくなりました。そのことだけで、点を結んだ六角形が正六角形だといえますか。
図を準備しています。
- いえる。円周上に六点あるだけで全ての辺が等しくなる
- いえない。点の間隔が違えば、辺や角がそろうとは限らない
- いえる。半径はどんな並びの点でも六角形を正六角形にする
答えと解説
いえない。点の間隔が違えば、辺や角がそろうとは限らない
同じ円の半径は等しいですが、頂点を取る間隔は別の条件です。正六角形では辺と角が全てそろうことを確かめます。
直径6cmの円の周上に六つの頂点が全てある正六角形と、四つの辺が全てこの円に接する外側の正方形を考えます。円周は何cmより大きく、何cmより小さいと見通せますか。下の限り・上の限りを順に答えましょう。
図を準備しています。
答えと解説
これより大きい（cm） = 18 / これより小さい（cm） = 24
正六角形の一辺は半径3cmで周り18cm。外の正方形の一辺は直径6cmで周り24cm。円周は18cmより大きく24cmより小さいと見通せます。
架空の測定表で、円Aの「円周÷直径」を計算するといくつですか。
架空の測定練習記録：同じcmで測った場合 円 直径（cm） 円周（cm） A 5 15.6 B 4 12.6 C 10 31.4 答えと解説
3.12
15.6÷5=3.12です。この値は表にある測定値から求めたもので、円周率そのものを厳密に測り切った値ではありません。
架空の測定表で、円周÷直径はAが3.12、Bが3.15、Cが3.14でした。記録から考える説明として適切なのはどれですか。
架空の測定練習記録：同じcmで測った場合 円 直径（cm） 円周（cm） A 5 15.6 B 4 12.6 C 10 31.4 - 円周から直径を引いた差は、どの大きさの円でも一定になる
- 直径は違っても円周はおよそその3.14倍と考えられ、測り方や読み取りの違いも確かめる
- 全ての円の円周率が厳密に3.14だと、この三回の測定だけで証明できた
答えと解説
直径は違っても円周はおよそその3.14倍と考えられ、測り方や読み取りの違いも確かめる
測定には道具・読み取り・丸めなどの違いがあります。幾つかの円の記録から一定の割合を考えますが、3.14は円周率に用いる近似値です。
直径7.5cmの円の円周を、円周率を3.14として計算すると何cmですか。
図を準備しています。
答えと解説
23.55
円周は直径×円周率なので7.5×3.14=23.55cmです。これは円周率を3.14とした計算上の値です。
半径1.75mの円の円周を、円周率を3.14として計算すると何mですか。
答えと解説
10.99
直径は1.75×2=3.5m。円周は3.5×3.14=10.99mです。半径をそのまま直径の式へ入れません。
円周が43.96cmの円です。円周率を3.14として計算すると、直径は何cmですか。
答えと解説
14
直径×3.14=43.96なので、直径は43.96÷3.14=14cmです。
円周が28.26cmの円です。円周率を3.14として計算すると、直径と半径はそれぞれ何cmですか。直径、半径の順に答えましょう。
答えと解説
直径（cm） = 9 / 半径（cm） = 4.5
直径は28.26÷3.14=9cm。半径は直径の半分で9÷2=4.5cmです。
円周が1.57mの円です。円周率を3.14として計算すると、直径は何cmですか。
答えと解説
50
1.57m=157cmです。157÷3.14=50cm。又は1.57÷3.14=0.5mを50cmへ直します。円周と直径の単位をそろえます。
直径8cmの円と直径5cmの円の円周の差は、円周率を3.14として計算すると何cmですか。
答えと解説
9.42
8×3.14−5×3.14=(8−5)×3.14=9.42cmです。直径の差3cmそのものが円周の差ではありません。
半径4cmの円の円周を「4×3.14」と計算しました。円周率を3.14として計算する式はどれですか。
- 4×2×3.14
- 4×4×3.14
- 4÷2×3.14
答えと解説
4×2×3.14
4cmは半径なので直径8cmへ直し、8×3.14とします。4×4×3.14は円の面積の計算であり、周りの長さではありません。
直径0.6mの車輪が、平らな道を滑らずまっすぐ5回転します。円周率を3.14として計算すると、進んだ距離は何mですか。
答えと解説
9.42
一回転で進む距離を円周とすると0.6×3.14=1.884m。5回転では1.884×5=9.42mです。途中で丸めず、滑らないという条件の下で計算します。
考え方を説明する
半径2cmの円をコンパスでかき、その開きを保ったまま円周上の点を順に取って正六角形を自分で作図してください。中心と各頂点も結び、一辺と半径の関係、六つの三角形が正三角形になる理由を自分の図で説明します。
答えと解説
円周上の点から半径2cmの開きを保って次の交点を六つ取り、隣り合う頂点を結ぶ。中心と各頂点への三角形は三辺2cmの正三角形で、中心の角60度が6こ。児童のコンパスの開き・交点・辺と円周部分の区別を見る。
- 児童の円と六つの頂点・辺
- 開きを保った実際の作図記録
- 半径と辺、六つの正三角形の説明
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
半径3cmの円を自分でかき、分度器で中心の周りを等分して正八角形を作図してください。使った角度と手順を図へ残し、中心と頂点を結んだ八つの三角形の共通点を説明します。
答えと解説
360÷8=45度ずつ中心から半径を引き、円周上の頂点を順に結ぶ。八つは二辺が半径3cm、間の角45度の合同な二等辺三角形で、正三角形ではない。児童の中心・目盛り・交点・辺の対応を確認する。
- 児童の45度ずつの分割と正八角形
- 分度器・定規・コンパスの使い方の記録
- 八つの合同な二等辺三角形の説明
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
同じ半径2cmの円に、正六角形と正八角形を自分で別々に作図してください。中心から頂点へ結んだ図で、中心の角と三角形の違いを比べます。正八角形の辺の長さを公式で計算する必要はありません。
答えと解説
正六角形は中心60度で正三角形、正八角形は中心45度で正三角形ではない二等辺三角形。どちらも円の半径2cmは同じだが、八角形の一辺は六角形の一辺2cmより短いと図や実際の測定で比べられる。三角比などの公式は要求しない。
- 児童の二つの構成図
- 60度と45度、半径と辺の対応
- 三角形の種類と辺の比較
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
「辺が全て等しければ正多角形」「角が全て等しければ正多角形」という二つの説明を、自分の図でそれぞれ確かめてください。必要なら反例を作図し、どの条件が足りないか説明します。
答えと解説
例一辺4cmで角60度・120度のひし形は辺が全て等しいが正方形でなく正多角形ではない。たて3cm横6cmの長方形は角が全て90度だが辺が全て等しくない。児童の別の条件に合う図も認める。
- 児童の二つの反例又は正しい吟味
- 辺と角の両方を確かめた記録
- 不足した条件を補う説明
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
直径8cmの円と、六つの頂点が全てその円の周上にある正六角形、四つの辺が全てその円に接する外側の正方形を自分の図に表してください。二つの多角形の周りの長さを求め、円周が直径の3倍より大きく4倍より小さいと見通せる理由を説明します。
答えと解説
正六角形の一辺は半径4cmで周り24cm、外の正方形は一辺8cmで周り32cm。図で直線の辺と曲がった円周、内外の位置を対応させ24<円周<32と見通す。これだけで円周率が厳密に3.14と証明したことにはしない。
- 児童の内外と中心・半径・直径の図
- 24cmと32cmの式
- 直線の辺と円周を区別した見通し
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
大きさが違う円形の物又は自分でかいた円を三つ選び、直径と円周を実際に測って、自分の表へ記録してください。道具・単位・測り方を示し、円周÷直径を比べ、少なくとも一つは測り直して違いも説明します。
答えと解説
測定例として直径4,6,10cm、円周12.5,18.9,31.3cmなら割合3.125,3.15,3.13でおよそ3.14。これは教師の架空例で、児童の実際の値をそろえさせない。中心を通る直径、曲線の測り方、ひもの伸びや読み取り・丸めなどを確認する。
- 児童が実際に測った三つの円の記録
- 同じ単位での割合の比較
- 道具と測り直し・測定差の説明
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
架空記録で半径2・3・5cm、円周12.6・18.8・31.4cmがありました。友達は円周÷半径を調べ「円周率は約6.28」と言いました。自分で半径・直径・円周の表を作って確かめ、必要なら説明を直します。
答えと解説
直径は4,6,10cm。円周÷直径は3.15,約3.133,3.14でおよそ3.14。円周÷半径はその2倍程度で約6.28となるが、円周率の定義は円周÷直径。値の違いを単なる計算ミスとせず、比べる量を直す。
- 児童の半径・直径・円周の表
- 二つの割り算の比較
- 円周率の定義と測定差の区別
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
円周から直径を求める問題と、円周から半径を求める問題を、自分で一つずつ作って解いてください。円周率を3.14とし、単位や必要な丸め方を問題に明記し、求めた長さから円周に戻す確認も残します。
答えと解説
例円周37.68cmなら直径12cm、円周47.1cmなら直径15cm・半径7.5cm。直径×3.14又は半径×2×3.14で元の条件に戻す。児童の別の条件に合う二問題・適切に明記した近似や丸めも認める。
- 児童が作った直径・半径の二問題
- 単位と逆向きの式
- 元の円周に戻す確認と近似の扱い
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
直径の長さがもとの2倍・3倍になる円を、自分の図と計算の表で比べてください。円周率を3.14とした円周と、実際に測った値を混同せず、どの関係が変わらないか説明します。
答えと解説
例直径4,8,12cmなら計算上の円周12.56,25.12,37.68cmで2倍・3倍。円周÷直径は同じ3.14。これは3.14を用いた計算上の比較で、実際の測定値には差が生じ得る。児童の別の正の直径も可。
- 児童のもとの数と2倍・3倍の図や表
- 直径と円周の倍率の比較
- 計算上の値・実測値・一定の割合の区別
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
六つの頂点が全て同じ円の周上にある正六角形と、その円について、周りの長さの違いを比べる問題を自分で作ってください。直径又は半径を決め、作図した図・式・単位と円周率3.14の意味を示して解きます。
答えと解説
例直径10cmなら半径5cm、正六角形の周り30cm、円周率3.14による円周31.4cmで差1.4cm。児童の別の正の寸法と作図も認め、六角形の直線の辺と曲がった円周を区別する。円の面積は求めない。
- 児童の寸法付きの円と正六角形
- 二つの周りの長さと差の式
- 直線と曲線、3.14の近似と単位の説明
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
小5B(1)ア(ウ)(エ)・イ(ア)、内容の取扱い(3)。冊子248〜254/PDF254〜260、特に正多角形と円周率は251〜252/PDF257〜258。辺・角の等しさ、円と組み合わせる作図、複数の円の直径と円周の測定、円周率と直径・円周の関係。円周率は3.14を用います。小6の円の面積や高校の三角比は前提にしません。 · 2026-11-02
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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児童の作図・道具の使い方、中心の角・辺と半径の対応、実測の表・単位・測定差と、計算上の円周率3.14を区別して確かめます。数値だけの正答で、自分の作図や実測の達成とは判断しません。
正多角形について正しい説明はどれですか。
- 辺の長さが全て等しく、角の大きさも全て等しい多角形
- 辺の長ささえ全て等しければ、角の大きさは違ってもよい
- 角の大きささえ全て等しければ、辺の長さは違ってもよい
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
図の正六角形で、中心と隣り合う二つの頂点を結んだ角は何度ですか。
図を準備しています。
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
図の正八角形で、中心と隣り合う二つの頂点を結んだ角は何度ですか。
図を準備しています。
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
半径2.5cmの円の周上に、六つの頂点が全てある正六角形です。一辺の長さcmと、この正六角形の周りの長さcmを順に答えましょう。
図を準備しています。
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
正六角形の中心を各頂点と結んだ6この三角形について、正しい説明はどれですか。
図を準備しています。
- 全て直角三角形になる
- 半径の長さを変えると、一つだけ違う形になる
- 全て合同な正三角形になる
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
正八角形の中心を各頂点と結んだ8この三角形について、正しい説明はどれですか。
図を準備しています。
- 8こ全ての形と大きさが異なる
- 全て合同な二等辺三角形で、正三角形ではない
- 全て正三角形になる
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
円とコンパスを使って正六角形をかく方法として、適切なのはどれですか。
- コンパスを円の半径の長さに開いたまま、円周上の点から次の交点を順に取り、隣の点を直線で結ぶ
- 円周上で点を取るたびに、コンパスの開きを自由に変える
- 半径と同じ長さの曲がった円周部分を六つつなげれば、必ず一周になる
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
円の中心の周りを5等分して正五角形を作図します。隣り合う二本の半径の間の角は何度にしますか。
図を準備しています。
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
同じ円周上の六つの点と中心を結ぶと、半径は全て等しくなりました。そのことだけで、点を結んだ六角形が正六角形だといえますか。
図を準備しています。
- いえる。円周上に六点あるだけで全ての辺が等しくなる
- いえない。点の間隔が違えば、辺や角がそろうとは限らない
- いえる。半径はどんな並びの点でも六角形を正六角形にする
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
直径6cmの円の周上に六つの頂点が全てある正六角形と、四つの辺が全てこの円に接する外側の正方形を考えます。円周は何cmより大きく、何cmより小さいと見通せますか。下の限り・上の限りを順に答えましょう。
図を準備しています。
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
架空の測定表で、円Aの「円周÷直径」を計算するといくつですか。
架空の測定練習記録：同じcmで測った場合 円 直径（cm） 円周（cm） A 5 15.6 B 4 12.6 C 10 31.4 作図・測定の表・式・単位・理由答え:
架空の測定表で、円周÷直径はAが3.12、Bが3.15、Cが3.14でした。記録から考える説明として適切なのはどれですか。
架空の測定練習記録：同じcmで測った場合 円 直径（cm） 円周（cm） A 5 15.6 B 4 12.6 C 10 31.4 - 円周から直径を引いた差は、どの大きさの円でも一定になる
- 直径は違っても円周はおよそその3.14倍と考えられ、測り方や読み取りの違いも確かめる
- 全ての円の円周率が厳密に3.14だと、この三回の測定だけで証明できた
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
直径7.5cmの円の円周を、円周率を3.14として計算すると何cmですか。
図を準備しています。
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
半径1.75mの円の円周を、円周率を3.14として計算すると何mですか。
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
円周が43.96cmの円です。円周率を3.14として計算すると、直径は何cmですか。
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
円周が28.26cmの円です。円周率を3.14として計算すると、直径と半径はそれぞれ何cmですか。直径、半径の順に答えましょう。
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
円周が1.57mの円です。円周率を3.14として計算すると、直径は何cmですか。
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
直径8cmの円と直径5cmの円の円周の差は、円周率を3.14として計算すると何cmですか。
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
半径4cmの円の円周を「4×3.14」と計算しました。円周率を3.14として計算する式はどれですか。
- 4×2×3.14
- 4×4×3.14
- 4÷2×3.14
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
直径0.6mの車輪が、平らな道を滑らずまっすぐ5回転します。円周率を3.14として計算すると、進んだ距離は何mですか。
作図・測定の表・式・単位・理由答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
半径2cmの円をコンパスでかき、その開きを保ったまま円周上の点を順に取って正六角形を自分で作図してください。中心と各頂点も結び、一辺と半径の関係、六つの三角形が正三角形になる理由を自分の図で説明します。
半径3cmの円を自分でかき、分度器で中心の周りを等分して正八角形を作図してください。使った角度と手順を図へ残し、中心と頂点を結んだ八つの三角形の共通点を説明します。
同じ半径2cmの円に、正六角形と正八角形を自分で別々に作図してください。中心から頂点へ結んだ図で、中心の角と三角形の違いを比べます。正八角形の辺の長さを公式で計算する必要はありません。
「辺が全て等しければ正多角形」「角が全て等しければ正多角形」という二つの説明を、自分の図でそれぞれ確かめてください。必要なら反例を作図し、どの条件が足りないか説明します。
直径8cmの円と、六つの頂点が全てその円の周上にある正六角形、四つの辺が全てその円に接する外側の正方形を自分の図に表してください。二つの多角形の周りの長さを求め、円周が直径の3倍より大きく4倍より小さいと見通せる理由を説明します。
大きさが違う円形の物又は自分でかいた円を三つ選び、直径と円周を実際に測って、自分の表へ記録してください。道具・単位・測り方を示し、円周÷直径を比べ、少なくとも一つは測り直して違いも説明します。
架空記録で半径2・3・5cm、円周12.6・18.8・31.4cmがありました。友達は円周÷半径を調べ「円周率は約6.28」と言いました。自分で半径・直径・円周の表を作って確かめ、必要なら説明を直します。
円周から直径を求める問題と、円周から半径を求める問題を、自分で一つずつ作って解いてください。円周率を3.14とし、単位や必要な丸め方を問題に明記し、求めた長さから円周に戻す確認も残します。
直径の長さがもとの2倍・3倍になる円を、自分の図と計算の表で比べてください。円周率を3.14とした円周と、実際に測った値を混同せず、どの関係が変わらないか説明します。
六つの頂点が全て同じ円の周上にある正六角形と、その円について、周りの長さの違いを比べる問題を自分で作ってください。直径又は半径を決め、作図した図・式・単位と円周率3.14の意味を示して解きます。
解答: 正多角形と円周：作図・測定・直径との関係
辺の長さが全て等しく、角の大きさも全て等しい多角形
正多角形では全ての辺と全ての角の両方が等しくなります。辺だけが等しいひし形、角だけが等しい長方形では十分とは限りません。
60
中心の周りの360度を同じ大きさの6こへ分けるので360÷6=60度です。
45
中心の周りを8等分するので360÷8=45度です。
一辺（cm） = 2.5 / 正六角形の周り（cm） = 15
中心と頂点を結んだ6この三角形は正三角形です。一辺は半径と同じ2.5cm、周りは2.5×6=15cmです。円周そのものとは区別します。
全て合同な正三角形になる
中心の角は60度で、二辺は同じ円の半径です。残る二角も60度となる正三角形で、6こは全て合同です。
全て合同な二等辺三角形で、正三角形ではない
二辺は同じ半径、中心の角は45度です。全て合同な二等辺三角形ですが、中心の角が60度ではないので正三角形ではありません。
コンパスを円の半径の長さに開いたまま、円周上の点から次の交点を順に取り、隣の点を直線で結ぶ
半径の開きを保ち、円周上の隣り合う点を直線で結ぶと、その辺は半径と同じになります。直線の辺と、曲がった円周の長さを同じにはしません。
72
360÷5=72度です。同じ円の中心の角をそろえて頂点を取り、隣り合う頂点を結びます。
いえない。点の間隔が違えば、辺や角がそろうとは限らない
同じ円の半径は等しいですが、頂点を取る間隔は別の条件です。正六角形では辺と角が全てそろうことを確かめます。
これより大きい（cm） = 18 / これより小さい（cm） = 24
正六角形の一辺は半径3cmで周り18cm。外の正方形の一辺は直径6cmで周り24cm。円周は18cmより大きく24cmより小さいと見通せます。
3.12
15.6÷5=3.12です。この値は表にある測定値から求めたもので、円周率そのものを厳密に測り切った値ではありません。
直径は違っても円周はおよそその3.14倍と考えられ、測り方や読み取りの違いも確かめる
測定には道具・読み取り・丸めなどの違いがあります。幾つかの円の記録から一定の割合を考えますが、3.14は円周率に用いる近似値です。
23.55
円周は直径×円周率なので7.5×3.14=23.55cmです。これは円周率を3.14とした計算上の値です。
10.99
直径は1.75×2=3.5m。円周は3.5×3.14=10.99mです。半径をそのまま直径の式へ入れません。
14
直径×3.14=43.96なので、直径は43.96÷3.14=14cmです。
直径（cm） = 9 / 半径（cm） = 4.5
直径は28.26÷3.14=9cm。半径は直径の半分で9÷2=4.5cmです。
50
1.57m=157cmです。157÷3.14=50cm。又は1.57÷3.14=0.5mを50cmへ直します。円周と直径の単位をそろえます。
9.42
8×3.14−5×3.14=(8−5)×3.14=9.42cmです。直径の差3cmそのものが円周の差ではありません。
4×2×3.14
4cmは半径なので直径8cmへ直し、8×3.14とします。4×4×3.14は円の面積の計算であり、周りの長さではありません。
9.42
一回転で進む距離を円周とすると0.6×3.14=1.884m。5回転では1.884×5=9.42mです。途中で丸めず、滑らないという条件の下で計算します。
記述問題の解答・確認の観点
半径2cmの円をコンパスでかき、その開きを保ったまま円周上の点を順に取って正六角形を自分で作図してください。中心と各頂点も結び、一辺と半径の関係、六つの三角形が正三角形になる理由を自分の図で説明します。
円周上の点から半径2cmの開きを保って次の交点を六つ取り、隣り合う頂点を結ぶ。中心と各頂点への三角形は三辺2cmの正三角形で、中心の角60度が6こ。児童のコンパスの開き・交点・辺と円周部分の区別を見る。
- 児童の円と六つの頂点・辺
- 開きを保った実際の作図記録
- 半径と辺、六つの正三角形の説明
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
半径3cmの円を自分でかき、分度器で中心の周りを等分して正八角形を作図してください。使った角度と手順を図へ残し、中心と頂点を結んだ八つの三角形の共通点を説明します。
360÷8=45度ずつ中心から半径を引き、円周上の頂点を順に結ぶ。八つは二辺が半径3cm、間の角45度の合同な二等辺三角形で、正三角形ではない。児童の中心・目盛り・交点・辺の対応を確認する。
- 児童の45度ずつの分割と正八角形
- 分度器・定規・コンパスの使い方の記録
- 八つの合同な二等辺三角形の説明
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
同じ半径2cmの円に、正六角形と正八角形を自分で別々に作図してください。中心から頂点へ結んだ図で、中心の角と三角形の違いを比べます。正八角形の辺の長さを公式で計算する必要はありません。
正六角形は中心60度で正三角形、正八角形は中心45度で正三角形ではない二等辺三角形。どちらも円の半径2cmは同じだが、八角形の一辺は六角形の一辺2cmより短いと図や実際の測定で比べられる。三角比などの公式は要求しない。
- 児童の二つの構成図
- 60度と45度、半径と辺の対応
- 三角形の種類と辺の比較
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
「辺が全て等しければ正多角形」「角が全て等しければ正多角形」という二つの説明を、自分の図でそれぞれ確かめてください。必要なら反例を作図し、どの条件が足りないか説明します。
例一辺4cmで角60度・120度のひし形は辺が全て等しいが正方形でなく正多角形ではない。たて3cm横6cmの長方形は角が全て90度だが辺が全て等しくない。児童の別の条件に合う図も認める。
- 児童の二つの反例又は正しい吟味
- 辺と角の両方を確かめた記録
- 不足した条件を補う説明
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
直径8cmの円と、六つの頂点が全てその円の周上にある正六角形、四つの辺が全てその円に接する外側の正方形を自分の図に表してください。二つの多角形の周りの長さを求め、円周が直径の3倍より大きく4倍より小さいと見通せる理由を説明します。
正六角形の一辺は半径4cmで周り24cm、外の正方形は一辺8cmで周り32cm。図で直線の辺と曲がった円周、内外の位置を対応させ24<円周<32と見通す。これだけで円周率が厳密に3.14と証明したことにはしない。
- 児童の内外と中心・半径・直径の図
- 24cmと32cmの式
- 直線の辺と円周を区別した見通し
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
大きさが違う円形の物又は自分でかいた円を三つ選び、直径と円周を実際に測って、自分の表へ記録してください。道具・単位・測り方を示し、円周÷直径を比べ、少なくとも一つは測り直して違いも説明します。
測定例として直径4,6,10cm、円周12.5,18.9,31.3cmなら割合3.125,3.15,3.13でおよそ3.14。これは教師の架空例で、児童の実際の値をそろえさせない。中心を通る直径、曲線の測り方、ひもの伸びや読み取り・丸めなどを確認する。
- 児童が実際に測った三つの円の記録
- 同じ単位での割合の比較
- 道具と測り直し・測定差の説明
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
架空記録で半径2・3・5cm、円周12.6・18.8・31.4cmがありました。友達は円周÷半径を調べ「円周率は約6.28」と言いました。自分で半径・直径・円周の表を作って確かめ、必要なら説明を直します。
直径は4,6,10cm。円周÷直径は3.15,約3.133,3.14でおよそ3.14。円周÷半径はその2倍程度で約6.28となるが、円周率の定義は円周÷直径。値の違いを単なる計算ミスとせず、比べる量を直す。
- 児童の半径・直径・円周の表
- 二つの割り算の比較
- 円周率の定義と測定差の区別
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
円周から直径を求める問題と、円周から半径を求める問題を、自分で一つずつ作って解いてください。円周率を3.14とし、単位や必要な丸め方を問題に明記し、求めた長さから円周に戻す確認も残します。
例円周37.68cmなら直径12cm、円周47.1cmなら直径15cm・半径7.5cm。直径×3.14又は半径×2×3.14で元の条件に戻す。児童の別の条件に合う二問題・適切に明記した近似や丸めも認める。
- 児童が作った直径・半径の二問題
- 単位と逆向きの式
- 元の円周に戻す確認と近似の扱い
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
直径の長さがもとの2倍・3倍になる円を、自分の図と計算の表で比べてください。円周率を3.14とした円周と、実際に測った値を混同せず、どの関係が変わらないか説明します。
例直径4,8,12cmなら計算上の円周12.56,25.12,37.68cmで2倍・3倍。円周÷直径は同じ3.14。これは3.14を用いた計算上の比較で、実際の測定値には差が生じ得る。児童の別の正の直径も可。
- 児童のもとの数と2倍・3倍の図や表
- 直径と円周の倍率の比較
- 計算上の値・実測値・一定の割合の区別
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。
六つの頂点が全て同じ円の周上にある正六角形と、その円について、周りの長さの違いを比べる問題を自分で作ってください。直径又は半径を決め、作図した図・式・単位と円周率3.14の意味を示して解きます。
例直径10cmなら半径5cm、正六角形の周り30cm、円周率3.14による円周31.4cmで差1.4cm。児童の別の正の寸法と作図も認め、六角形の直線の辺と曲がった円周を区別する。円の面積は求めない。
- 児童の寸法付きの円と正六角形
- 二つの周りの長さと差の式
- 直線と曲線、3.14の近似と単位の説明
児童のコンパス・分度器・定規による作図、測定記録、図・表・式と説明を対応させます。画面や印刷の模式図を測った値と、実際に作図・測定した値は分けます。児童の作業と講師の支援、測定差と計算上の誤りも区別し、正しい別の構成順や例を認めます。