中3 数学：式の展開と乗法公式の練習問題
分配法則から四つの乗法公式を確かめ、自分の面積図と各項を対応させます。準備14問と、実際の図・式・修正理由を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3A(2)ア(イ)・イ(ア)、冊子137–138/PDF141–142の、既習の法則と関連付けて乗法公式を考察し表現する学習に沿う独自課題です。大阪府の式の展開の資料で、生徒が面積図をかく要求も実際に読みました。その辺の組・作図例を写したり、係数だけを差し替えた練習列にしたりしません。ここでは展開と図の対応を扱います。因数分解は別教材で扱います。
解説を読む
展開は積で表された式を和の形へ直すことです。(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab、(a+b)²=a²+2ab+b²、(a−b)²=a²−2ab+b²、(a+b)(a−b)=a²−b²を、分配法則と図の各部分へ結びます。普通の面積図の辺は正の長さです。負の項を負の面積の部品にせず、取り除く面積や重なり、または分配法則の符号として説明します。数を一度代入して一致しても、全ての値で成り立つ証明の代わりにはしません。
必要な予備知識
同類項、単項式と多項式の乗法、分配法則、正負の数・平方、長方形と正方形の面積。紙・定規や方眼紙、既存の授業用ボードで図を描きます。図の長さの単位を同じにし、面積の単位はその二乗です。面積図にした条件と、分配法則で式として確かめた範囲を区別します。
- (a+b)(c+d)の四つの積ac,ad,bc,bdを落とさず、同類項をまとめます。四つの積は面積を四つへ分ける場合の各部分とも対応します。
- (x+a)(x+b)では交差する二項ax,bxが(a+b)xへまとまります。定数項abと混同しません。
- (a+b)²では二つの長方形abがあるので2abです。a²+b²だけにはなりません。
- (a−b)²を面積で説明するならa>b>0とし、aの正方形から二つの幅bの帯を引くと重なるb²を二度引くため、一度戻します。分配法則も同じ符号を示します。
- (a+b)(a−b)=a²−b²では交差項が打ち消し合います。a>b>0なら、aの正方形から角のbの正方形を除き、残りを辺a+bとa−bの長方形へ並べ替える図でも説明できます。
- 普通の辺に負の長さを割り当てません。切り取る図では元の長さより切る長さが小さい条件を示し、取り除いた面積の値自体は正です。
- まとまりを一文字と見る場合は、最後に元の式へ戻します。2xの平方は4x²、二つの積の符号もそれぞれ確かめます。
- 図の辺・各部分の面積・全体の積・展開の各項を生徒が対応させます。数の代入は確認の一つであり、文字の式と法則を使う説明を省略しません。
解き方の例
x>0で、縦x+1・横x+4の長方形の縦をxと1、横をxと4へ分けます。四つの部分x²,4x,x,4を足すとx²+5x+4で、交差項4x+xが5xです。全体の積と各項、正の長さの条件を図に対応させます。
x>2で一辺x−2の正方形を考えます。一辺xの正方形から右の幅2の帯と上の幅2の帯を引くと、角の2×2が二度除かれます。一度戻すとx²−2x−2x+4=x²−4x+4。分配法則の(x−2)(x−2)とも対応し、負の面積を一部品として描きません。
よくある間違い
- 二項の積で四つの組を作らず、交差項を一つか二つ落とす。
- 平方を二つの平方の和だけにし、2abを落とす。
- (a−b)²の最後を−b²にしたり、引いた二帯の重なりを戻さなかったりする。
- (a+b)(a−b)に平方の2abの項を残す。
- 2xの平方を2x²とし、係数の平方を落とす。
- 負の係数の項をそのまま負の長さや普通の負の面積の部品として描く。
- 一回の数値代入だけを、全ての値での文字式の証明として扱う。
考え方を説明する
準備14問は係数と公式・図の条件を確認する足場です。主課題では生徒の実際の面積図、辺と各部分のラベル、全体の積・分配法則・展開の式、対応の説明を講師が手動で確認します。T1は四部分と誤ったまとめ、T2は二つの長方形、T3は二帯と重なり、T4は切り分けと並べ替え、T5は2xのまとまり、T6は取り除く正の面積、T7は置換と元への戻し、T8は二つの面積の差、T9は生徒の異なる二組、T10は生徒の切り取り図と誤りの反例が必要です。図にした範囲と式の法則を分け、有効な別の分け方・式順・図配置を認めます。係数や最終式だけ、一般的な描き方の文だけでは完了にしません。
係数や選択の正答は生徒が面積図から展開を説明できた証拠ではありません。主課題の生徒の実際の図・式・部分との対応を講師が紙やボードで手動確認し、作図や説明を自動採点したとはしません。
練習する
準備は展開の係数や公式の意味を確かめる足場です。主課題では辺と各部分の面積を示す図、分配法則と公式の式、対応を説明する文を残します。紙・定規や既存の授業用ボードを使い、講師が手動で確認します。係数の正答だけでは図を用いた説明の完了にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
(x+6)(x+1)を展開したとき、xの係数を求めてください。
答えと解説
7
6x+x=7xなので7です。
(x+6)(x+1)を展開したとき、定数項を求めてください。
答えと解説
6
6×1=6です。
(x+5)²を展開したとき、xの係数を求めてください。
答えと解説
10
二つの積5xと5xを合わせ10xです。
(x+5)²を展開したとき、定数項を求めてください。
答えと解説
25
5×5=25です。
(x−4)²を展開したとき、xの係数を求めてください。
答えと解説
−8
−4x−4x=−8xです。符号も含めて答えます。
(x−4)²を展開したとき、定数項を求めてください。
答えと解説
16
(−4)×(−4)=16です。
(x+3)(x−3)を展開したとき、定数項を求めてください。
答えと解説
−9
和と差の積でx²−9。定数項は−9です。
(2x+5)²を展開したとき、xの係数を求めてください。
答えと解説
20
2×(2x)×5=20xです。2xのまとまりを保ちます。
(a+b)²の2abに対応する、正の辺の面積図の部分はどれですか。
- a²の正方形一つだけ
- b²の正方形一つだけ
- aとbを辺に持つ二つの長方形
- 全体の辺a+bだけ
答えと解説
aとbを辺に持つ二つの長方形
四部分のうちabの長方形が二つあります。
普通の面積図で(a−b)²を切り取りとして説明する、この教材の条件はどれですか。
- a>b>0
- a=0かつb>0
- a<b<0
- aとbは必ず同じ負の数
答えと解説
a>b>0
正のaの正方形から正のbの帯を引くのでa>b>0とします。
(a−b)²=a²−2ab+b²の最後が+b²になる図の理由はどれですか。
- 負の面積の正方形を作るから
- 最後の項の符号は好きに選べるから
- b²を全く除いていないから
- 二つの帯で重なるb²を二度引いたので一度戻すから
答えと解説
二つの帯で重なるb²を二度引いたので一度戻すから
重なりを二度引いたままにしません。
(a+b)(a−b)の交差項abと−abはどうなりますか。
- 2abになる
- 打ち消し合って0になる
- 必ずabだけ残る
- abの平方になる
答えと解説
打ち消し合って0になる
a²−ab+ab−b²で交差項は0です。
2xの平方はどれですか。
- 2x²
- x²+4
- 4x
- 4x²
答えと解説
4x²
(2x)(2x)=4x²です。
xへ一つの数を代入し両辺が一致しました。文字式の恒等式の説明として適切なのはどれですか。
- これで全てのxで成り立つ証明が完了
- その一例の確認であり、法則による文字の式の説明も必要
- 他の値では必ず不一致
- 図の辺を負にしてよい根拠になる
答えと解説
その一例の確認であり、法則による文字の式の説明も必要
一例の一致と一般の式の根拠を分けます。
考え方を説明する
x>0とし、縦2x+1・横x+5の長方形を考えます。ある人は二つの交差部分を一つの5xだとし、面積を2x²+5x+5としました。縦を2xと1、横をxと5へ分けた面積図を実際に描き、全四部分・全体の積・展開の式を対応させて直してください。
答えと解説
生徒の四部分は2x²,10x,x,5で、交差部分は10x+x=11x。全体の積(2x+1)(x+5)=2x²+11x+5。縦横と各部分を生徒の実際の長方形へラベル付けし、5x一つでは二つの積を表せないと直す。x>0で各辺は正。
生徒の四分割図・全ての辺と四面積・四つの積からまとめる式・誤りの修正文が必要。最終係数だけを正して終えない。
a>0,b>0として、一辺a+bの正方形を考えます。縦横をaとbへ分けた面積図を実際に描き、「(a+b)²=a²+b²」という説明を直してください。二つの長方形の辺と面積、四つの積、平方の公式を対応させます。
答えと解説
生徒の四部分a²,ab,ab,b²を合計し、(a+b)²=a²+2ab+b²。二つの別の長方形が各abなので2abを落とせない。正の辺a,bと全体a+b、各部分の位置を生徒の図と分配法則の式に対応させる。
生徒の実際の四分割図と二つのabが必須。公式の丸写しだけでなく、それぞれどの部分かを指す。
x>4とし、一辺x−4の正方形を考えます。一辺xの正方形から右と上の幅4の帯を取り除く面積図を実際に描き、重なる部分を示してください。(x−4)²の展開を、取り除く面積・重なり・分配法則と対応させ、最後の項を−16とする誤りを直します。
答えと解説
二帯は各4xで、角の4×4=16が重なる。二度引いた重なりを一度戻してx²−4x−4x+16=x²−8x+16。(x−4)(x−4)の四つの積x²,−4x,−4x,+16とも対応する。生徒の残る一辺x−4の正方形と帯・重なりの図が必要。
生徒の実際の二帯と重なり、各正の面積と引く符号、+16へ直した式・理由を見る。長さや普通の面積を負の部品にはしない。
a>b>0とします。一辺aの正方形の右上の角から一辺bの正方形を取り除く図を実際に描き、残りを二つの長方形へ分けます。それを並べ替えて辺a+bとa−bの長方形にした自分の二つの図を示し、(a+b)(a−b)=a²−b²と分配法則の打消しを説明してください。
答えと解説
除いた右上b²の残りを、左の幅a−b・高さaの長方形と、右下の幅b・高さa−bの長方形に分ける。左を回して横a・縦a−bとし、横b・縦a−bの右下の部分を隣へ置けば横a+b・縦a−b。面積a²−b²と一致し、式a²−ab+ab−b²でも交差項が消える。生徒の切分け・並替えの二図と辺・対応が必要。
生徒の実際の二図・二部分の辺と保存した面積、四つの積と打消し、a>b>0を見る。切り捨てた部分b²を残りへ足す図にしない。
x>0とし、一辺2x+1の正方形を考えます。縦横を2xと1へ分けた面積図を実際に描き、2xを一つのまとまりとして平方の公式を使ってください。「(2x+1)²=2x²+4x+1」のどこを直すか、四つの部分と式を対応させて説明します。
答えと解説
四部分は(2x)²=4x²、2x×1が二つ、1。合計は4x²+4x+1で、誤りは2xの平方を2x²とした部分。u=2xと見れば(u+1)²=u²+2u+1、戻すと4x²+4x+1。生徒の辺・各面積の実際の図と対応が必要。
生徒の四分割図と4x²の根拠、まとまりの置換・戻し、誤りの修正を見る。係数の平方を落とさない。
x>3とし、縦x−3・横x+2の長方形を考えます。縦x・横x+2の元の長方形から高さ3の帯を取り除く図を実際に描き、元の面積と取り除く正の面積をそれぞれ分けてください。負の長さや負の面積の部品を作らず、(x−3)(x+2)の展開を各部分と式で説明します。
答えと解説
元はx(x+2)=x²+2x、引く帯は3(x+2)=3x+6という正の面積。差はx²+2x−3x−6=x²−x−6。生徒のxとx−3、帯の3、横のxと2、各正の面積を示す実際の図へ、引く符号を対応させる。分配法則(x−3)(x+2)の四項とも一致。
生徒の元・帯・残りの実際の図、正の面積と減算、四項とまとめる式、x>3の条件を見る。−6の面積を普通の長方形として描かない。
y>−1とし、縦y+3・横y+6の長方形を考えます。u=y+1と置き、縦をuと2、横をuと5へ分けた自分の面積図を実際に描いてください。uを使う公式、四部分、元のyへ戻した展開の式を対応させ、u>0になる理由も示します。
答えと解説
u=y+1>0で全体は(u+2)(u+5)。四部分u²,5u,2u,10を足しu²+7u+10。戻すと(y+1)²+7(y+1)+10=y²+9y+18。生徒のu,2,5と全体y+3,y+6をラベル付けした実際の図へ、四項と二段階の式を対応させる。
生徒の図とu>0の条件、四部分、置換した公式と元に戻す全計算が必要。uの式だけで止めず、(y+1)²の交差項も落とさない。
n>0とし、縦n+2・横n+8の長方形と、一辺n+5の正方形を比べます。それぞれの辺をnと定数へ分けた二つの面積図を実際に描き、全ての部分と公式で二面積の差を計算してください。どちらがいくつ大きいか、nが変わっても差がどうなるかを文字の式で説明します。
答えと解説
長方形の四面積n²,8n,2n,16からn²+10n+16。正方形の四面積n²,5n,5n,25からn²+10n+25。長方形−正方形=−9なので正方形の方が面積9だけ大きい。共通の長さ単位なら差の単位はその二乗。生徒の二図と各部分、文字の式で共通項の打消しを示す。
生徒の実際の二面積図・全部分・二つの展開と差、どちらが大きいかの文が必要。nを一つ代入した確認だけを一般の理由にしない。
正の整数a,bを二組考え、各組でa+b=10とし、二組のabは異なるようにします。x>0で縦x+a・横x+bの二つの長方形を実際に描き、辺・四面積・展開の式を対応させてください。xの係数が同じでも定数項は違う二例を、自分で選んだ数値と比較文で示します。
答えと解説
作例は(a,b)=(1,9)と(4,6)。生徒の四分割図から一方はx²+10x+9、他方はx²+10x+24。交差項の係数は両方a+b=10だが、定数項abは9と24で違う。生徒の別の二組も、正整数・和10・異なる積と実際の二図・四面積を確かめて認める。
生徒の二組の数値条件・二つの実際の図・四面積・展開と比較文が必要。順番だけ逆にした同じ積の二組は条件を満たさない。
2〜6の整数cを一つ選び、x>cで一辺x−cの正方形の面積を考えます。「(x−c)²=x²−c²」という説明を、自分で描いた二つの帯と重なりの面積図、分配法則と正しい公式で直してください。最後にx=c+1で元の主張と正しい式を両方確かめ、一例の反例と一般の式の理由を分けます。
答えと解説
作例c=5なら、生徒のxの正方形から二つの5xの帯を引き重なり25を一度戻す図で(x−5)²=x²−10x+25。分配法則でも同じ。x=c+1=6では左辺1、誤った右辺36−25=11で不一致、正しい式36−60+25=1。一例の不一致は元の主張への反例だが、正しい一般の式は図と法則で説明する。別のc=2〜6も認める。
生徒が選んだcとx>c、二帯と重なりの実際の図・辺・面積・符号、正しい式とx=c+1の二つの確認が必要。数値の不一致だけで図式対応を省略しない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3A(2)ア(イ)・イ(ア)、冊子137–138/PDF141–142の、既習の法則と関連付けて乗法公式を考察し表現する学習に沿う独自課題です。大阪府の式の展開の資料で、生徒が面積図をかく要求も実際に読みました。その辺の組・作図例を写したり、係数だけを差し替えた練習列にしたりしません。ここでは展開と図の対応を扱います。因数分解は別教材で扱います。 · 2026-11-03
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 面積の分け方と乗法公式を、本人の図と展開の式へ結ぶ
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/connect-area-partitions-and-product-expansion-formulas/
準備14問は係数と公式・図の条件を確認する足場です。主課題では生徒の実際の面積図、辺と各部分のラベル、全体の積・分配法則・展開の式、対応の説明を講師が手動で確認します。T1は四部分と誤ったまとめ、T2は二つの長方形、T3は二帯と重なり、T4は切り分けと並べ替え、T5は2xのまとまり、T6は取り除く正の面積、T7は置換と元への戻し、T8は二つの面積の差、T9は生徒の異なる二組、T10は生徒の切り取り図と誤りの反例が必要です。図にした範囲と式の法則を分け、有効な別の分け方・式順・図配置を認めます。係数や最終式だけ、一般的な描き方の文だけでは完了にしません。
(x+6)(x+1)を展開したとき、xの係数を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x+6)(x+1)を展開したとき、定数項を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x+5)²を展開したとき、xの係数を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x+5)²を展開したとき、定数項を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x−4)²を展開したとき、xの係数を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x−4)²を展開したとき、定数項を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x+3)(x−3)を展開したとき、定数項を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(2x+5)²を展開したとき、xの係数を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(a+b)²の2abに対応する、正の辺の面積図の部分はどれですか。
- a²の正方形一つだけ
- b²の正方形一つだけ
- aとbを辺に持つ二つの長方形
- 全体の辺a+bだけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
普通の面積図で(a−b)²を切り取りとして説明する、この教材の条件はどれですか。
- a>b>0
- a=0かつb>0
- a<b<0
- aとbは必ず同じ負の数
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(a−b)²=a²−2ab+b²の最後が+b²になる図の理由はどれですか。
- 負の面積の正方形を作るから
- 最後の項の符号は好きに選べるから
- b²を全く除いていないから
- 二つの帯で重なるb²を二度引いたので一度戻すから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(a+b)(a−b)の交差項abと−abはどうなりますか。
- 2abになる
- 打ち消し合って0になる
- 必ずabだけ残る
- abの平方になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
2xの平方はどれですか。
- 2x²
- x²+4
- 4x
- 4x²
途中の計算・単位・理由・確認答え:
xへ一つの数を代入し両辺が一致しました。文字式の恒等式の説明として適切なのはどれですか。
- これで全てのxで成り立つ証明が完了
- その一例の確認であり、法則による文字の式の説明も必要
- 他の値では必ず不一致
- 図の辺を負にしてよい根拠になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
x>0とし、縦2x+1・横x+5の長方形を考えます。ある人は二つの交差部分を一つの5xだとし、面積を2x²+5x+5としました。縦を2xと1、横をxと5へ分けた面積図を実際に描き、全四部分・全体の積・展開の式を対応させて直してください。
a>0,b>0として、一辺a+bの正方形を考えます。縦横をaとbへ分けた面積図を実際に描き、「(a+b)²=a²+b²」という説明を直してください。二つの長方形の辺と面積、四つの積、平方の公式を対応させます。
x>4とし、一辺x−4の正方形を考えます。一辺xの正方形から右と上の幅4の帯を取り除く面積図を実際に描き、重なる部分を示してください。(x−4)²の展開を、取り除く面積・重なり・分配法則と対応させ、最後の項を−16とする誤りを直します。
a>b>0とします。一辺aの正方形の右上の角から一辺bの正方形を取り除く図を実際に描き、残りを二つの長方形へ分けます。それを並べ替えて辺a+bとa−bの長方形にした自分の二つの図を示し、(a+b)(a−b)=a²−b²と分配法則の打消しを説明してください。
x>0とし、一辺2x+1の正方形を考えます。縦横を2xと1へ分けた面積図を実際に描き、2xを一つのまとまりとして平方の公式を使ってください。「(2x+1)²=2x²+4x+1」のどこを直すか、四つの部分と式を対応させて説明します。
x>3とし、縦x−3・横x+2の長方形を考えます。縦x・横x+2の元の長方形から高さ3の帯を取り除く図を実際に描き、元の面積と取り除く正の面積をそれぞれ分けてください。負の長さや負の面積の部品を作らず、(x−3)(x+2)の展開を各部分と式で説明します。
y>−1とし、縦y+3・横y+6の長方形を考えます。u=y+1と置き、縦をuと2、横をuと5へ分けた自分の面積図を実際に描いてください。uを使う公式、四部分、元のyへ戻した展開の式を対応させ、u>0になる理由も示します。
n>0とし、縦n+2・横n+8の長方形と、一辺n+5の正方形を比べます。それぞれの辺をnと定数へ分けた二つの面積図を実際に描き、全ての部分と公式で二面積の差を計算してください。どちらがいくつ大きいか、nが変わっても差がどうなるかを文字の式で説明します。
正の整数a,bを二組考え、各組でa+b=10とし、二組のabは異なるようにします。x>0で縦x+a・横x+bの二つの長方形を実際に描き、辺・四面積・展開の式を対応させてください。xの係数が同じでも定数項は違う二例を、自分で選んだ数値と比較文で示します。
2〜6の整数cを一つ選び、x>cで一辺x−cの正方形の面積を考えます。「(x−c)²=x²−c²」という説明を、自分で描いた二つの帯と重なりの面積図、分配法則と正しい公式で直してください。最後にx=c+1で元の主張と正しい式を両方確かめ、一例の反例と一般の式の理由を分けます。
解答: 面積の分け方と乗法公式を、本人の図と展開の式へ結ぶ
7
6x+x=7xなので7です。
6
6×1=6です。
10
二つの積5xと5xを合わせ10xです。
25
5×5=25です。
−8
−4x−4x=−8xです。符号も含めて答えます。
16
(−4)×(−4)=16です。
−9
和と差の積でx²−9。定数項は−9です。
20
2×(2x)×5=20xです。2xのまとまりを保ちます。
aとbを辺に持つ二つの長方形
四部分のうちabの長方形が二つあります。
a>b>0
正のaの正方形から正のbの帯を引くのでa>b>0とします。
二つの帯で重なるb²を二度引いたので一度戻すから
重なりを二度引いたままにしません。
打ち消し合って0になる
a²−ab+ab−b²で交差項は0です。
4x²
(2x)(2x)=4x²です。
その一例の確認であり、法則による文字の式の説明も必要
一例の一致と一般の式の根拠を分けます。
記述問題の解答・確認の観点
x>0とし、縦2x+1・横x+5の長方形を考えます。ある人は二つの交差部分を一つの5xだとし、面積を2x²+5x+5としました。縦を2xと1、横をxと5へ分けた面積図を実際に描き、全四部分・全体の積・展開の式を対応させて直してください。
生徒の四部分は2x²,10x,x,5で、交差部分は10x+x=11x。全体の積(2x+1)(x+5)=2x²+11x+5。縦横と各部分を生徒の実際の長方形へラベル付けし、5x一つでは二つの積を表せないと直す。x>0で各辺は正。
生徒の四分割図・全ての辺と四面積・四つの積からまとめる式・誤りの修正文が必要。最終係数だけを正して終えない。
a>0,b>0として、一辺a+bの正方形を考えます。縦横をaとbへ分けた面積図を実際に描き、「(a+b)²=a²+b²」という説明を直してください。二つの長方形の辺と面積、四つの積、平方の公式を対応させます。
生徒の四部分a²,ab,ab,b²を合計し、(a+b)²=a²+2ab+b²。二つの別の長方形が各abなので2abを落とせない。正の辺a,bと全体a+b、各部分の位置を生徒の図と分配法則の式に対応させる。
生徒の実際の四分割図と二つのabが必須。公式の丸写しだけでなく、それぞれどの部分かを指す。
x>4とし、一辺x−4の正方形を考えます。一辺xの正方形から右と上の幅4の帯を取り除く面積図を実際に描き、重なる部分を示してください。(x−4)²の展開を、取り除く面積・重なり・分配法則と対応させ、最後の項を−16とする誤りを直します。
二帯は各4xで、角の4×4=16が重なる。二度引いた重なりを一度戻してx²−4x−4x+16=x²−8x+16。(x−4)(x−4)の四つの積x²,−4x,−4x,+16とも対応する。生徒の残る一辺x−4の正方形と帯・重なりの図が必要。
生徒の実際の二帯と重なり、各正の面積と引く符号、+16へ直した式・理由を見る。長さや普通の面積を負の部品にはしない。
a>b>0とします。一辺aの正方形の右上の角から一辺bの正方形を取り除く図を実際に描き、残りを二つの長方形へ分けます。それを並べ替えて辺a+bとa−bの長方形にした自分の二つの図を示し、(a+b)(a−b)=a²−b²と分配法則の打消しを説明してください。
除いた右上b²の残りを、左の幅a−b・高さaの長方形と、右下の幅b・高さa−bの長方形に分ける。左を回して横a・縦a−bとし、横b・縦a−bの右下の部分を隣へ置けば横a+b・縦a−b。面積a²−b²と一致し、式a²−ab+ab−b²でも交差項が消える。生徒の切分け・並替えの二図と辺・対応が必要。
生徒の実際の二図・二部分の辺と保存した面積、四つの積と打消し、a>b>0を見る。切り捨てた部分b²を残りへ足す図にしない。
x>0とし、一辺2x+1の正方形を考えます。縦横を2xと1へ分けた面積図を実際に描き、2xを一つのまとまりとして平方の公式を使ってください。「(2x+1)²=2x²+4x+1」のどこを直すか、四つの部分と式を対応させて説明します。
四部分は(2x)²=4x²、2x×1が二つ、1。合計は4x²+4x+1で、誤りは2xの平方を2x²とした部分。u=2xと見れば(u+1)²=u²+2u+1、戻すと4x²+4x+1。生徒の辺・各面積の実際の図と対応が必要。
生徒の四分割図と4x²の根拠、まとまりの置換・戻し、誤りの修正を見る。係数の平方を落とさない。
x>3とし、縦x−3・横x+2の長方形を考えます。縦x・横x+2の元の長方形から高さ3の帯を取り除く図を実際に描き、元の面積と取り除く正の面積をそれぞれ分けてください。負の長さや負の面積の部品を作らず、(x−3)(x+2)の展開を各部分と式で説明します。
元はx(x+2)=x²+2x、引く帯は3(x+2)=3x+6という正の面積。差はx²+2x−3x−6=x²−x−6。生徒のxとx−3、帯の3、横のxと2、各正の面積を示す実際の図へ、引く符号を対応させる。分配法則(x−3)(x+2)の四項とも一致。
生徒の元・帯・残りの実際の図、正の面積と減算、四項とまとめる式、x>3の条件を見る。−6の面積を普通の長方形として描かない。
y>−1とし、縦y+3・横y+6の長方形を考えます。u=y+1と置き、縦をuと2、横をuと5へ分けた自分の面積図を実際に描いてください。uを使う公式、四部分、元のyへ戻した展開の式を対応させ、u>0になる理由も示します。
u=y+1>0で全体は(u+2)(u+5)。四部分u²,5u,2u,10を足しu²+7u+10。戻すと(y+1)²+7(y+1)+10=y²+9y+18。生徒のu,2,5と全体y+3,y+6をラベル付けした実際の図へ、四項と二段階の式を対応させる。
生徒の図とu>0の条件、四部分、置換した公式と元に戻す全計算が必要。uの式だけで止めず、(y+1)²の交差項も落とさない。
n>0とし、縦n+2・横n+8の長方形と、一辺n+5の正方形を比べます。それぞれの辺をnと定数へ分けた二つの面積図を実際に描き、全ての部分と公式で二面積の差を計算してください。どちらがいくつ大きいか、nが変わっても差がどうなるかを文字の式で説明します。
長方形の四面積n²,8n,2n,16からn²+10n+16。正方形の四面積n²,5n,5n,25からn²+10n+25。長方形−正方形=−9なので正方形の方が面積9だけ大きい。共通の長さ単位なら差の単位はその二乗。生徒の二図と各部分、文字の式で共通項の打消しを示す。
生徒の実際の二面積図・全部分・二つの展開と差、どちらが大きいかの文が必要。nを一つ代入した確認だけを一般の理由にしない。
正の整数a,bを二組考え、各組でa+b=10とし、二組のabは異なるようにします。x>0で縦x+a・横x+bの二つの長方形を実際に描き、辺・四面積・展開の式を対応させてください。xの係数が同じでも定数項は違う二例を、自分で選んだ数値と比較文で示します。
作例は(a,b)=(1,9)と(4,6)。生徒の四分割図から一方はx²+10x+9、他方はx²+10x+24。交差項の係数は両方a+b=10だが、定数項abは9と24で違う。生徒の別の二組も、正整数・和10・異なる積と実際の二図・四面積を確かめて認める。
生徒の二組の数値条件・二つの実際の図・四面積・展開と比較文が必要。順番だけ逆にした同じ積の二組は条件を満たさない。
2〜6の整数cを一つ選び、x>cで一辺x−cの正方形の面積を考えます。「(x−c)²=x²−c²」という説明を、自分で描いた二つの帯と重なりの面積図、分配法則と正しい公式で直してください。最後にx=c+1で元の主張と正しい式を両方確かめ、一例の反例と一般の式の理由を分けます。
作例c=5なら、生徒のxの正方形から二つの5xの帯を引き重なり25を一度戻す図で(x−5)²=x²−10x+25。分配法則でも同じ。x=c+1=6では左辺1、誤った右辺36−25=11で不一致、正しい式36−60+25=1。一例の不一致は元の主張への反例だが、正しい一般の式は図と法則で説明する。別のc=2〜6も認める。
生徒が選んだcとx>c、二帯と重なりの実際の図・辺・面積・符号、正しい式とx=c+1の二つの確認が必要。数値の不一致だけで図式対応を省略しない。