中3 数学：積と和を使う因数分解の練習問題
整数の二数を、定数項の積とxの係数の和の両方から選びます。準備14問と、自分の因数分解・展開・修正理由を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3A(2)ア(イ)・イ(ア)、冊子137–138/PDF141–142の乗法公式の逆と、既習の法則に基づいて方法を表現する学習に沿う独自課題です。現行出版社の本文で、整数の積の組から和も確かめることと、因数の順序を入れ替えた同値な形を実際に読みました。例題の文や数値列を写しません。082の共通因数だけの目標とは分け、和と積の両条件と生徒の計算過程を必須にします。
解説を読む
x²+px+qを(x+a)(x+b)へ因数分解するときは、a+b=pとab=qの両方を満たす二数を探します。分配法則でx²+bx+ax+abに戻すと、和がxの係数、積が定数項になる理由も分かります。この教材は整数a,bの組を扱います。x²の係数が1でない式は、指示された共通の数を先にくくり、内側を確かめます。方程式のxの値を求める問題とは区別します。
必要な予備知識
正負の整数の和と積、約数の組、分配法則、乗法公式、共通因数による因数分解。文字xは実数として扱います。自分の候補と条件、積の式と全項の展開を紙や既存の授業用ボードへ書きます。自由記述の積を自動採点する方法は使いません。
- x²+px+q=(x+a)(x+b)なら、x²の係数は1、a+b=p、ab=qです。和だけや積だけを合わせても、元の式を再現したとは限りません。
- q≠0なら積がqになる整数の組を調べ、その和をpと比べます。定数項が正なら二数は同符号、負なら異符号です。
- 定数項が正で和が負なら二数は両方負です。異符号の場合は和の符号も、二数の具体的な計算で確かめます。
- 因数の順序を逆にした(x+b)(x+a)も同じ積です。順序だけを違う答えとして退けません。
- 二数が同じなら(x+a)(x+a)=(x+a)²です。平方の形でも和は2a、積はa²の両方を確認します。
- 共通の数をくくる場合、その数は最後まで保ちます。内側のx²の係数が1になったこと、内側の和と積の条件を確かめ、全体を展開して戻します。
- 整数の組が見付からないときは、調べた整数の積の組で説明します。この形で整数の二数を選べないことを、どの数の範囲でも積にできないという断定へ広げません。q=0なら0とpの組も確かめます。
- 選んだ二数だけで終えず、生徒が積の形と全項の展開を実際に書きます。数を一つ代入して一致しただけでは、全てのxの恒等式の説明にはしません。
解き方の例
x²+16x+63では、7+9=16、7×9=63なので(x+7)(x+9)。展開はx²+9x+7x+63=x²+16x+63です。1と63なら積は合っても和64で合わないので、積の一条件だけでは決めません。
x²−5x−36では、−9+4=−5、(−9)×4=−36なので(x−9)(x+4)。全項の展開x²+4x−9x−36が元へ戻ります。9と−4を選ぶと和が+5になり、積だけ合っても同じ式にはなりません。
よくある間違い
- 積だけが合う組を選び、和の条件を確かめない。
- 和だけが合う組を選び、定数項の積を確かめない。
- 積が正のときに、和が負でも二数を両方正にする。
- 異符号の二数を入れ替えることと、二数の符号を両方変えることを同じ操作にする。
- 共通の数をくくった後、外の因数を落とす。
- 整数a,bの組がないことを、数の範囲を断らず全ての因数分解が不可能と言い切る。
考え方を説明する
準備14問は二数や係数の条件を確かめる足場です。主課題では生徒が和と積の両条件、必要な候補、選ぶ二数、実際の因数分解の積、四つの積から元へ戻る全計算と理由を残します。T1は正の候補の一覧、T2は負の二数、T3は積の合う別候補と和、T4は異符号の修正、T5は和だけの誤り、T6は共通の数と内側、T7は同じ二数の平方、T8は整数の組がない範囲、T9は生徒の新しい二数、T10は同じ積と違う和の二例を扱います。因数の順序や有効な生徒の別例も認めます。一般的な探し方や最終式だけで完了にしません。
二数や選択の正答だけでは、生徒が因数分解と確認を説明した証拠にはしません。実際の積と全項の展開、条件・修正理由を講師が紙やボードで手動確認します。方程式の解や図の作成を、この教材の全課題へ追加の必須条件にはしません。
練習する
準備は係数や二数の条件を確かめる足場です。主課題では和と積の両条件、選んだ二数、因数分解した積、全項へ展開して戻る確認と修正理由を実際に書きます。紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。二数や最終式だけの正答を説明の完了にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
x²+13x+40=(x+a)(x+b)でa,bは整数です。a≤bとして、a,bを小さい順に答えてください。
答えと解説
小さい方 = 5 / 大きい方 = 8
5+8=13、5×8=40の両方を満たします。
x²−13x+40=(x+a)(x+b)でa,bは整数です。a≤bとして、a,bを小さい順に答えてください。
答えと解説
小さい方 = −8 / 大きい方 = −5
−8+(−5)=−13、(−8)(−5)=40。両方負です。
x²+x−42=(x+a)(x+b)でa,bは整数です。a≤bとして、a,bを小さい順に答えてください。
答えと解説
小さい方 = −6 / 大きい方 = 7
−6+7=1、(−6)×7=−42。
x²−x−42=(x+a)(x+b)でa,bは整数です。a≤bとして、a,bを小さい順に答えてください。
答えと解説
小さい方 = −7 / 大きい方 = 6
−7+6=−1、(−7)×6=−42。和の符号も確かめます。
x²+px−48=(x+8)(x−6)です。pの値を答えてください。
答えと解説
2
8+(−6)=2です。積も8×(−6)=−48になります。
x²−15x+q=(x−7)(x−8)です。qの値を答えてください。
答えと解説
56
(−7)(−8)=56、和は−15です。
x²+px+49=(x+7)²です。pの値を答えてください。
答えと解説
14
7+7=14、7×7=49の両方を確かめます。
x²+q=(x−9)(x+9)です。qの値を答えてください。
答えと解説
−81
−9+9=0、(−9)×9=−81です。
x²+11x+18の因数分解に使える整数の組はどれですか。
- 1と10
- 3と8
- 2と9
- 5と6
答えと解説
2と9
2+9=11、2×9=18。どれも和は11ですが、積18なのは2と9です。
x²+2x−35の因数分解はどれですか。
- (x−7)(x+5)
- (x+7)(x−5)
- (x+7)(x+5)
- (x−7)(x−5)
答えと解説
(x+7)(x−5)
7+(−5)=2、7×(−5)=−35で、展開して元へ戻ります。
整数a,bでab>0かつa+b<0です。二数の符号はどれですか。
- 両方正
- 一方だけ負
- 少なくとも一方は0
- 両方負
答えと解説
両方負
積が正なら同符号で、和が負なので両方負です。
(x+4)(x+9)と(x+9)(x+4)について正しい説明はどれですか。
- 交換法則で全てのxで等しい
- 前の積がいつも大きい
- 後の積がいつも大きい
- x=0のときだけ等しい
答えと解説
交換法則で全てのxで等しい
因数の順序を入れ替えても積は同じです。
x²+px+q=(x+a)(x+b)を確かめるとき必要なのはどれですか。
- a+b=pだけ
- ab=qだけ
- a+b=pとab=qの両方、さらに展開で元の式を確認
- a,bが正であることだけ
答えと解説
a+b=pとab=qの両方、さらに展開で元の式を確認
和がxの係数、積が定数項になる両条件を確かめます。
x²−11xを積の形にしたものはどれですか。
- (x−11)²
- x(x+11)
- x−11
- x(x−11)
答えと解説
x(x−11)
0と−11の和は−11、積は0。x(x−11)=x²−11xです。
考え方を説明する
x²+14x+45を因数分解してください。積45になる正の整数の組を順序の入替えを除いて全て書き、各和を比べます。選んだ二数の両条件、因数分解した積と四つの積の展開を実際に書いて確かめてください。
答えと解説
正の組(1,45),(3,15),(5,9)の和は46,18,14。5と9を選び、5+9=14、5×9=45で(x+5)(x+9)。全項の展開x²+9x+5x+45=x²+14x+45へ戻る。
生徒の全三候補と和、両条件、積と全項の展開を見る。二数だけで終了しない。
x²−14x+45を因数分解してください。二数の符号を和と積の両方から判断し、具体的な二数・両条件・積の形と全項の展開を書きます。両方正の5と9を選んだ場合との違いも説明してください。
答えと解説
積が正で和が負なので両方負。−5と−9は和−14・積45で(x−5)(x−9)。展開x²−9x−5x+45=x²−14x+45。正の5,9では和が+14となり、積だけ合っても元の式ではない。
生徒の符号の理由と二数、両条件、全展開、正の二数との比較を見る。因数の順序の違いは認める。
x²+3x−54を因数分解してください。積−54になる整数の組を二組挙げ、一組だけは和3に合うようにします。それぞれ和と積を計算し、使う組を選んで積の形と全項へ展開した確認を書いてください。
答えと解説
例(−3,18)は積−54・和15で不適合、(−6,9)は積−54・和3で適合。(x−6)(x+9)を展開しx²+9x−6x−54=x²+3x−54。別の積−54で和が3ではない候補でも可。
生徒の二組の実際の和と積、適否、正しい積と全項の展開を確認する。候補を全て列挙する追加条件は課さない。
ある人はx²−3x−54=(x+9)(x−6)としました。右辺を四つの積へ展開し、どの条件が合ってどれが違うかを示してください。正しい二数と因数分解を、和・積・全項の展開で説明します。
答えと解説
誤った右辺はx²−6x+9x−54=x²+3x−54。積−54は合うが和+3が−3に合わない。−9と6なら和−3・積−54で(x−9)(x+6)。展開x²+6x−9x−54=x²−3x−54。
生徒の誤りの全展開と両条件の適否、修正した積と全展開を見る。因数順序を替えるだけでは和の符号は変わらない。
x²+12x+32について、ある人は5と7の和が12なので(x+5)(x+7)としました。和と積を両方確かめ、誤った右辺の展開と元の式の違いを示してください。正しい二数を見つけ、積の形と全項の展開を書きます。
答えと解説
5+7=12だが5×7=35で32ではない。展開はx²+7x+5x+35=x²+12x+35。4と8なら和12・積32で(x+4)(x+8)、展開x²+8x+4x+32=x²+12x+32。
生徒が和だけでは不十分と具体的に示し、誤った定数項と正しい積・全展開を残したか確認する。
3x²+36x+81を因数分解してください。共通の数を先に外へ出し、内側のx²の係数と和・積の条件を書きます。内側の二数を選び、外の数を保った積と、全体を展開して元へ戻る全計算を実際に示してください。
答えと解説
3(x²+12x+27)。内側は先頭係数1、二数の和12・積27で3と9。全体は3(x+3)(x+9)。内側の全項はx²+9x+3x+27、3を掛けると3x²+27x+9x+81=3x²+36x+81。
生徒の共通因数3・内側の両条件と二数・外を保った積・全展開を見る。元の36と81をそのまま内側の和と積にしない。
x²−16x+64を因数分解してください。和と積の両条件から二数を示し、同じ因数を使う積と平方の形の両方を書きます。四つの積へ展開して元へ戻ることも確かめてください。
答えと解説
−8+(−8)=−16、(−8)(−8)=64。(x−8)(x−8)=(x−8)²。展開x²−8x−8x+64=x²−16x+64。両端の平方だけを見ず真ん中の係数も確かめる。
生徒の同じ二数と両条件、積と平方の表記、全項の展開を見る。x²−64の和と差の積と混同しない。
x²+7x+7を、整数a,bを使って(x+a)(x+b)という形にできるか調べてください。積7になる整数の組を順序を除いて全て書き、和も確かめます。結論を、調べた数の範囲が分かる文で書いてください。
答えと解説
積7の整数の組は(1,7),(−1,−7)で、和8,−8は7ではない。従って整数a,bではこの形にできない。調べたのは整数の二数によるこの形であり、数の範囲を断らず全ての因数分解が不可能と断定しない。
生徒の正負を含む全二候補と和、両条件と整数範囲を明示した結論を見る。平方根の解法や実数での積を追加の必須課題にしない。
a<0,b>0、|a|≤9、|b|≤9、a+b=−2を満たす整数の二数を作ります。自分で選んだ数値でq=abを計算し、x²−2x+qの因数分解と全項へ展開する確認を書いてください。二数の条件と、別の有効な例もあることを説明します。
答えと解説
作例a=−7,b=5なら和−2・積−35、x²−2x−35=(x−7)(x+5)。展開x²+5x−7x−35=x²−2x−35。範囲と符号を満たす生徒の別例も可。例えば−4と2は和−2・積−8で、答えの二数は一意ではない。
生徒が選んだ数と全ての条件、積q、実際の多項式と因数分解・展開した式全体・非一意性を見る。作例の転記だけを生徒の別例作成としない。
積−24になる整数の組(a,b)を二組作り、各組でa<0,b>0、|a|≤12、|b|≤12とします。二組の和は違うようにしてください。自分で作った具体的な二組で、二つの多項式・因数分解・全項の展開を書き、積が同じでもxの係数は違うことを比較文にします。
答えと解説
例(−4,6)と(−3,8)なら和2と5、積は両方−24。x²+2x−24=(x−4)(x+6)、全展開x²+6x−4x−24。x²+5x−24=(x−3)(x+8)、全展開x²+8x−3x−24。定数項は同じ−24でも、二数の和が違うのでxの係数は2と5で違う。生徒の条件に合う別の二組も可。
生徒の二組の全ての条件、各和と積、二つの積と展開した式全体、具体的な係数の比較文を見る。同じ積だけで同じ二次式とはしない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
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教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3A(2)ア(イ)・イ(ア)、冊子137–138/PDF141–142の乗法公式の逆と、既習の法則に基づいて方法を表現する学習に沿う独自課題です。現行出版社の本文で、整数の積の組から和も確かめることと、因数の順序を入れ替えた同値な形を実際に読みました。例題の文や数値列を写しません。082の共通因数だけの目標とは分け、和と積の両条件と生徒の計算過程を必須にします。 · 2026-11-03
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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この練習問題を保存ワークシート: 積と和の両条件から二数を選び、因数分解を確かめる
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/factor-monic-quadratics-by-both-sum-and-product/
準備14問は二数や係数の条件を確かめる足場です。主課題では生徒が和と積の両条件、必要な候補、選ぶ二数、実際の因数分解の積、四つの積から元へ戻る全計算と理由を残します。T1は正の候補の一覧、T2は負の二数、T3は積の合う別候補と和、T4は異符号の修正、T5は和だけの誤り、T6は共通の数と内側、T7は同じ二数の平方、T8は整数の組がない範囲、T9は生徒の新しい二数、T10は同じ積と違う和の二例を扱います。因数の順序や有効な生徒の別例も認めます。一般的な探し方や最終式だけで完了にしません。
x²+13x+40=(x+a)(x+b)でa,bは整数です。a≤bとして、a,bを小さい順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−13x+40=(x+a)(x+b)でa,bは整数です。a≤bとして、a,bを小さい順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+x−42=(x+a)(x+b)でa,bは整数です。a≤bとして、a,bを小さい順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−x−42=(x+a)(x+b)でa,bは整数です。a≤bとして、a,bを小さい順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+px−48=(x+8)(x−6)です。pの値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−15x+q=(x−7)(x−8)です。qの値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+px+49=(x+7)²です。pの値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+q=(x−9)(x+9)です。qの値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+11x+18の因数分解に使える整数の組はどれですか。
- 1と10
- 3と8
- 2と9
- 5と6
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+2x−35の因数分解はどれですか。
- (x−7)(x+5)
- (x+7)(x−5)
- (x+7)(x+5)
- (x−7)(x−5)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
整数a,bでab>0かつa+b<0です。二数の符号はどれですか。
- 両方正
- 一方だけ負
- 少なくとも一方は0
- 両方負
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x+4)(x+9)と(x+9)(x+4)について正しい説明はどれですか。
- 交換法則で全てのxで等しい
- 前の積がいつも大きい
- 後の積がいつも大きい
- x=0のときだけ等しい
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+px+q=(x+a)(x+b)を確かめるとき必要なのはどれですか。
- a+b=pだけ
- ab=qだけ
- a+b=pとab=qの両方、さらに展開で元の式を確認
- a,bが正であることだけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²−11xを積の形にしたものはどれですか。
- (x−11)²
- x(x+11)
- x−11
- x(x−11)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
x²+14x+45を因数分解してください。積45になる正の整数の組を順序の入替えを除いて全て書き、各和を比べます。選んだ二数の両条件、因数分解した積と四つの積の展開を実際に書いて確かめてください。
x²−14x+45を因数分解してください。二数の符号を和と積の両方から判断し、具体的な二数・両条件・積の形と全項の展開を書きます。両方正の5と9を選んだ場合との違いも説明してください。
x²+3x−54を因数分解してください。積−54になる整数の組を二組挙げ、一組だけは和3に合うようにします。それぞれ和と積を計算し、使う組を選んで積の形と全項へ展開した確認を書いてください。
ある人はx²−3x−54=(x+9)(x−6)としました。右辺を四つの積へ展開し、どの条件が合ってどれが違うかを示してください。正しい二数と因数分解を、和・積・全項の展開で説明します。
x²+12x+32について、ある人は5と7の和が12なので(x+5)(x+7)としました。和と積を両方確かめ、誤った右辺の展開と元の式の違いを示してください。正しい二数を見つけ、積の形と全項の展開を書きます。
3x²+36x+81を因数分解してください。共通の数を先に外へ出し、内側のx²の係数と和・積の条件を書きます。内側の二数を選び、外の数を保った積と、全体を展開して元へ戻る全計算を実際に示してください。
x²−16x+64を因数分解してください。和と積の両条件から二数を示し、同じ因数を使う積と平方の形の両方を書きます。四つの積へ展開して元へ戻ることも確かめてください。
x²+7x+7を、整数a,bを使って(x+a)(x+b)という形にできるか調べてください。積7になる整数の組を順序を除いて全て書き、和も確かめます。結論を、調べた数の範囲が分かる文で書いてください。
a<0,b>0、|a|≤9、|b|≤9、a+b=−2を満たす整数の二数を作ります。自分で選んだ数値でq=abを計算し、x²−2x+qの因数分解と全項へ展開する確認を書いてください。二数の条件と、別の有効な例もあることを説明します。
積−24になる整数の組(a,b)を二組作り、各組でa<0,b>0、|a|≤12、|b|≤12とします。二組の和は違うようにしてください。自分で作った具体的な二組で、二つの多項式・因数分解・全項の展開を書き、積が同じでもxの係数は違うことを比較文にします。
解答: 積と和の両条件から二数を選び、因数分解を確かめる
小さい方 = 5 / 大きい方 = 8
5+8=13、5×8=40の両方を満たします。
小さい方 = −8 / 大きい方 = −5
−8+(−5)=−13、(−8)(−5)=40。両方負です。
小さい方 = −6 / 大きい方 = 7
−6+7=1、(−6)×7=−42。
小さい方 = −7 / 大きい方 = 6
−7+6=−1、(−7)×6=−42。和の符号も確かめます。
2
8+(−6)=2です。積も8×(−6)=−48になります。
56
(−7)(−8)=56、和は−15です。
14
7+7=14、7×7=49の両方を確かめます。
−81
−9+9=0、(−9)×9=−81です。
2と9
2+9=11、2×9=18。どれも和は11ですが、積18なのは2と9です。
(x+7)(x−5)
7+(−5)=2、7×(−5)=−35で、展開して元へ戻ります。
両方負
積が正なら同符号で、和が負なので両方負です。
交換法則で全てのxで等しい
因数の順序を入れ替えても積は同じです。
a+b=pとab=qの両方、さらに展開で元の式を確認
和がxの係数、積が定数項になる両条件を確かめます。
x(x−11)
0と−11の和は−11、積は0。x(x−11)=x²−11xです。
記述問題の解答・確認の観点
x²+14x+45を因数分解してください。積45になる正の整数の組を順序の入替えを除いて全て書き、各和を比べます。選んだ二数の両条件、因数分解した積と四つの積の展開を実際に書いて確かめてください。
正の組(1,45),(3,15),(5,9)の和は46,18,14。5と9を選び、5+9=14、5×9=45で(x+5)(x+9)。全項の展開x²+9x+5x+45=x²+14x+45へ戻る。
生徒の全三候補と和、両条件、積と全項の展開を見る。二数だけで終了しない。
x²−14x+45を因数分解してください。二数の符号を和と積の両方から判断し、具体的な二数・両条件・積の形と全項の展開を書きます。両方正の5と9を選んだ場合との違いも説明してください。
積が正で和が負なので両方負。−5と−9は和−14・積45で(x−5)(x−9)。展開x²−9x−5x+45=x²−14x+45。正の5,9では和が+14となり、積だけ合っても元の式ではない。
生徒の符号の理由と二数、両条件、全展開、正の二数との比較を見る。因数の順序の違いは認める。
x²+3x−54を因数分解してください。積−54になる整数の組を二組挙げ、一組だけは和3に合うようにします。それぞれ和と積を計算し、使う組を選んで積の形と全項へ展開した確認を書いてください。
例(−3,18)は積−54・和15で不適合、(−6,9)は積−54・和3で適合。(x−6)(x+9)を展開しx²+9x−6x−54=x²+3x−54。別の積−54で和が3ではない候補でも可。
生徒の二組の実際の和と積、適否、正しい積と全項の展開を確認する。候補を全て列挙する追加条件は課さない。
ある人はx²−3x−54=(x+9)(x−6)としました。右辺を四つの積へ展開し、どの条件が合ってどれが違うかを示してください。正しい二数と因数分解を、和・積・全項の展開で説明します。
誤った右辺はx²−6x+9x−54=x²+3x−54。積−54は合うが和+3が−3に合わない。−9と6なら和−3・積−54で(x−9)(x+6)。展開x²+6x−9x−54=x²−3x−54。
生徒の誤りの全展開と両条件の適否、修正した積と全展開を見る。因数順序を替えるだけでは和の符号は変わらない。
x²+12x+32について、ある人は5と7の和が12なので(x+5)(x+7)としました。和と積を両方確かめ、誤った右辺の展開と元の式の違いを示してください。正しい二数を見つけ、積の形と全項の展開を書きます。
5+7=12だが5×7=35で32ではない。展開はx²+7x+5x+35=x²+12x+35。4と8なら和12・積32で(x+4)(x+8)、展開x²+8x+4x+32=x²+12x+32。
生徒が和だけでは不十分と具体的に示し、誤った定数項と正しい積・全展開を残したか確認する。
3x²+36x+81を因数分解してください。共通の数を先に外へ出し、内側のx²の係数と和・積の条件を書きます。内側の二数を選び、外の数を保った積と、全体を展開して元へ戻る全計算を実際に示してください。
3(x²+12x+27)。内側は先頭係数1、二数の和12・積27で3と9。全体は3(x+3)(x+9)。内側の全項はx²+9x+3x+27、3を掛けると3x²+27x+9x+81=3x²+36x+81。
生徒の共通因数3・内側の両条件と二数・外を保った積・全展開を見る。元の36と81をそのまま内側の和と積にしない。
x²−16x+64を因数分解してください。和と積の両条件から二数を示し、同じ因数を使う積と平方の形の両方を書きます。四つの積へ展開して元へ戻ることも確かめてください。
−8+(−8)=−16、(−8)(−8)=64。(x−8)(x−8)=(x−8)²。展開x²−8x−8x+64=x²−16x+64。両端の平方だけを見ず真ん中の係数も確かめる。
生徒の同じ二数と両条件、積と平方の表記、全項の展開を見る。x²−64の和と差の積と混同しない。
x²+7x+7を、整数a,bを使って(x+a)(x+b)という形にできるか調べてください。積7になる整数の組を順序を除いて全て書き、和も確かめます。結論を、調べた数の範囲が分かる文で書いてください。
積7の整数の組は(1,7),(−1,−7)で、和8,−8は7ではない。従って整数a,bではこの形にできない。調べたのは整数の二数によるこの形であり、数の範囲を断らず全ての因数分解が不可能と断定しない。
生徒の正負を含む全二候補と和、両条件と整数範囲を明示した結論を見る。平方根の解法や実数での積を追加の必須課題にしない。
a<0,b>0、|a|≤9、|b|≤9、a+b=−2を満たす整数の二数を作ります。自分で選んだ数値でq=abを計算し、x²−2x+qの因数分解と全項へ展開する確認を書いてください。二数の条件と、別の有効な例もあることを説明します。
作例a=−7,b=5なら和−2・積−35、x²−2x−35=(x−7)(x+5)。展開x²+5x−7x−35=x²−2x−35。範囲と符号を満たす生徒の別例も可。例えば−4と2は和−2・積−8で、答えの二数は一意ではない。
生徒が選んだ数と全ての条件、積q、実際の多項式と因数分解・展開した式全体・非一意性を見る。作例の転記だけを生徒の別例作成としない。
積−24になる整数の組(a,b)を二組作り、各組でa<0,b>0、|a|≤12、|b|≤12とします。二組の和は違うようにしてください。自分で作った具体的な二組で、二つの多項式・因数分解・全項の展開を書き、積が同じでもxの係数は違うことを比較文にします。
例(−4,6)と(−3,8)なら和2と5、積は両方−24。x²+2x−24=(x−4)(x+6)、全展開x²+6x−4x−24。x²+5x−24=(x−3)(x+8)、全展開x²+8x−3x−24。定数項は同じ−24でも、二数の和が違うのでxの係数は2と5で違う。生徒の条件に合う別の二組も可。
生徒の二組の全ての条件、各和と積、二つの積と展開した式全体、具体的な係数の比較文を見る。同じ積だけで同じ二次式とはしない。