中3 数学：共通因数でくくる因数分解の練習問題
共通な数と文字、残る1や符号を各項の積へ戻して確かめます。準備14問と、自分の因数分解・修正理由を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3A(2)ア(イ)・イ(ア)、冊子137–138/PDF141–142の、既習の法則と関連付けて因数分解の方法を考察し表現する学習に沿う独自課題です。学校の因数分解資料と現行出版社の共通因数の本文で、残る1・くくり残し・逆の展開を実際に読みました。例題の文や数値列を写しません。082は全項の共通因数で積へ直す目標で、083の積と和を使う二次式の因数分解とは分けます。
解説を読む
因数分解は、多項式をいくつかの因数の積として表すことです。共通因数でくくるのは、ma+mb=m(a+b)という分配法則を逆に見ることです。各項が「外へ出す因数×残りの項」になるか確かめ、符号と1を落としません。この教材で「共通因数を残さず」と求めた場合は、整数係数の全項に共通する数と文字を残さず外へ出します。展開して戻る確認と、共通因数を出し切ったかの確認は別です。
必要な予備知識
項と係数、正負の数、整数の公約数、単項式の積・指数、分配法則と同類項。文字は特に断らなければ実数として扱います。紙や既存の授業用ボードに自分の式と理由を残します。ここでは、文字にどの実数を入れても成り立つ等式（恒等式）を使い、和を積の形に直します。文字の値を求める方程式は解きません。
- 項は和や差として並ぶ部分、因数は積を作る部分です。引く項も負の係数を持つ項として見て、外へ出す因数と残りの積に分けます。
- 数の部分では全係数の最大公約数、文字では全項に共通する文字の最も小さい指数を調べると、正の数の係数を持つ共通の単項式を出し切れます。負の因数で出す同値な形も認めます。
- 一つの項が外へ出す因数と同じなら、残りは1です。項が消えてよいわけではなく、因数×1が元の項を再現します。
- 負の因数を外へ出した場合は、その因数を掛けて元の符号へ戻るように、かっこの中の全ての項を確かめます。
- 一部の項だけにある文字は、全項からはくくれません。因数は全ての項に共通している必要があります。
- 積へ直した後は分配法則で全ての項へ掛けて、元の多項式に戻るか確かめます。戻っても、かっこの全項に共通因数が残っていないかを別に見ます。
- 同じ多項式のまとまりが全項へ掛かっている場合も、同じ因数として扱えます。置いた文字は最後に元へ戻し、和を積のつもりで置き換えません。
- ma+mb=m(a+b)はm=0でも両辺0です。因数分解でmを外へ出すことと、式や方程式の両辺をmで割る操作は同じではありません。数の代入一例だけを、どの実数でも等しいことの証明にはしません。
解き方の例
例として22rs−33r=11r(2s−3)。各項を11r×2sと11r×(−3)へ直し、展開では22rs−33rへ戻ります。残る2sと−3の全項に、1と−1以外の整数の共通因数や共通の文字はありません。
例として−8h²−8h=−8h(h+1)。第二項の残りは1で、−8h×1=−8hです。8h(−h−1)という同値な形も認めます。負の因数を選んだからといって、全ての内側の項を負にするとは限りません。
よくある間違い
- 足された項と、掛け合わされた因数を同じものとして扱う。
- 全項を見ず、一部にしかない文字まで外へ出す。
- 残りが1の項を消し、元へ展開すると項が足りなくなる。
- 負の因数と内側の符号を掛けた結果が、元の項へ戻らない。
- 等しい積の形であることと、要求された共通因数を出し切ったことを同じ判定にする。
- 文字が0でも元の和と因数分解後の積が等しいことを、文字で割る計算と混同する。
考え方を説明する
準備14問は数・指数・符号・積の意味を確かめる足場です。主課題では生徒が全項の因数と残りを示し、実際の積の形、展開で元に戻す全項、共通因数の出し切り、修正や条件の理由を残します。T1は共通な数と文字、T2は残る1、T3は負の因数とすべての符号、T4は三項と文字が全てには共通しない点、T5は各指数、T6は正の共通の辺、T7は同じ多項式のまとまり、T8は等しい変形と完了条件の区別、T9は生徒の新しい三項、T10は0の場合と分配法則を確かめます。同値な因数の順序や負の取り方、生徒の有効な別例を認めます。最終式だけや一般的な手順の文だけでは完了にしません。
数や選択の正答だけで、生徒が因数分解を説明したことにはしません。主課題の生徒の実際の式・展開・理由を講師が手動確認します。因数分解された式の自由記述を自動採点する機能は、この教材では使いません。
練習する
準備は共通因数の数・指数・符号を確かめる足場です。主課題では各項の積、くくり出す因数、残りの項、因数分解した積と展開による確認を実際に書きます。紙や既存の授業用ボードを使い、講師が手動で確認します。係数だけの正答を因数分解の説明の完了にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
18x²y+30xy²の全項から共通因数を出し切ります。正の係数を選ぶと、共通の単項式の数の係数はいくつですか。
答えと解説
6
18と30の最大公約数は6。文字の共通部分はxyで、共通因数は6xyです。
2x³y+7x²y²から共通因数を出し切るとき、共通の単項式のxの指数はいくつですか。
答えと解説
2
x³とx²に共通するxの最も小さい指数は2です。共通因数はx²y。
2x³y+7x²y²から共通因数を出し切るとき、共通の単項式のyの指数はいくつですか。
答えと解説
1
yとy²に共通するyの最も小さい指数は1です。
−14p²q+21pq²=7pq(Ap+Bq)です。Aの値を答えてください。
答えと解説
−2
7pq×(−2p)=−14p²qなのでA=−2です。
−14p²q+21pq²=7pq(Ap+Bq)です。Bの値を答えてください。
答えと解説
3
7pq×3q=21pq²なのでB=3です。
12m³−18m²+6m=6m(Am²+Bm+C)です。Cの値を答えてください。
答えと解説
1
最後の項は6m×1。C=1を消しません。
20a²b−8ab=4ab(Aa+B)です。Bの値を答えてください。
答えと解説
−2
4ab×(−2)=−8abなのでB=−2です。
16uv²+24uv=8uv(Av+B)です。Aの値を答えてください。
答えと解説
2
8uv×2v=16uv²なのでA=2です。
6r²−rの因数分解として正しいものはどれですか。
- r(6r)
- r(6r−1)
- r(6r+1)
- 6r(r−1)
答えと解説
r(6r−1)
残りは6rと−1。r×(−1)=−rです。
8a²b+12ab²+20abから、正の数の係数を持つ共通の単項式を残さず出すと、外の因数はどれですか。
- 4ab
- 2ab
- 8ab
- 4a²b²
答えと解説
4ab
係数の最大公約数は4、全項の共通な文字はabです。
−9s²+15sの正しい因数分解はどれですか。
- −3s(3s+5)
- 3s(3s+5)
- −3s(3s−5)
- −3s(−3s+5)
答えと解説
−3s(3s−5)
展開すると−9s²+15sへ戻ります。
5x²+10x+15の全項に共通する因数の説明で正しいものはどれですか。
- xは全項に共通する
- 5xを全項から出せる
- 最後の15を無視してよい
- 5は共通だが、文字xは全項には共通しない
答えと解説
5は共通だが、文字xは全項には共通しない
定数項15にはxが掛かっていないため、5(x²+2x+3)です。
ある積の形を展開すると元の多項式へ戻りました。「共通因数を残さず出した」という確認として適切なのはどれですか。
- 等しい変形なので内側の確認は不要
- 等しさを確かめた後、内側の全項に共通する数や文字も調べる
- 一つの数で値が一致すれば十分
- 外の因数を必ず1にする
答えと解説
等しさを確かめた後、内側の全項に共通する数や文字も調べる
展開で等しさを確認することと、共通因数を出し切ることを分けます。
xA+xB=x(A+B)について正しい説明はどれですか。
- x=0でも分配法則で両辺0となる
- xで割ったので必ずx≠0が必要
- x=0なら右辺だけ1になる
- x=0ならA=B=0に限る
答えと解説
x=0でも分配法則で両辺0となる
共通因数でくくって積の形に直す操作は、分配法則を逆に使うことであり、xで割る操作ではありません。
考え方を説明する
26a²b−39ab²を、整数係数の全項に共通する因数を残さず出して因数分解してください。各項を「共通因数×残り」の積に書き、得た因数分解を全項へ展開して確かめます。共通な数と文字を選んだ理由も書いてください。
答えと解説
共通因数13ab。26a²b=13ab×2a、−39ab²=13ab×(−3b)より13ab(2a−3b)。展開は26a²b−39ab²。26と39の最大公約数13、全項のa,bの小さい指数は各1。内側2aと−3bにはこれ以上共通する整数の因数や文字はない。−13ab(−2a+3b)等も可。
生徒の二項の積・共通因数の理由・積の式・全項の展開・出し切りを確認する。外の因数だけで終えない。
ある人は17k²+17k=17k(k)としました。元の各項を17kの倍数の積へ直して、この説明を修正してください。因数分解した式と全項へ展開する式を書き、消してはいけないものの意味を説明します。
答えと解説
17k²=17k×k、17k=17k×1なので17k(k+1)。展開は17k²+17k。残り1は第二項を再現する因数で、項がなくなったわけではない。誤った17k(k)を展開すると17k²だけになり第二項が足りない。
生徒が1の位置と17k×1の意味、誤りと正しい式の展開を具体的に残す。
−16v²+24vを、外へ−8vを出して因数分解してください。二つの残りの項を符号付きで求め、全項へ展開して確かめます。同じ元の式で外へ+8vを出す形も書き、二つが等しい理由を説明してください。
答えと解説
−8vを出すと−8v(2v−3)。残りは2vと−3で、積は−16v²と+24vへ戻る。+8vなら8v(−2v+3)。両方を展開すれば同じ二項で、外の−1と内側全項の符号の変更が対応する。
生徒の二通りの積の形とそれぞれ全項の符号付き積、同値である説明を見る。負の外因数なら内側全て負と決めない。
21p²q−14pq²+35pを、全項の共通因数を残さず出して因数分解してください。三項全ての積と残り、因数分解と展開を書きます。「qが二つの項にあるから7pqを外へ出せる」という意見も検討してください。
答えと解説
7pを出し、21p²q=7p×3pq、−14pq²=7p×(−2q²)、35p=7p×5。因数分解は7p(3pq−2q²+5)、展開は元の三項。最後の35pにqは共通しておらず、整数係数の多項式の因数として7pqを全項から出すことはできない。
生徒の三項を落とさない式、第三項の5、qが全項の因数でない理由を見る。qで割った分数の式へ目標を変更しない。
15x³y²−25x²y³を、共通な数と文字を残さず出して因数分解してください。各文字の指数を比べ、二項の因数の積、因数分解、全項の展開を書きます。x³y³を共通の文字部分にすることがなぜできないかも説明してください。
答えと解説
共通因数5x²y²で5x²y²(3x−5y)。第一項は5x²y²×3x、第二項は5x²y²×(−5y)。展開で15x³y²−25x²y³へ戻る。xの小さい指数は2、yも2。x³y³だと第一項のy、第二項のxが足りず、両項の単項式の因数にはできない。
生徒の指数比較と各項を再現する積、正しい積の式と展開を見る。指数の大きい方を機械的に選ばない。
x>0とします。縦が共通に3x、横がそれぞれ2xと5の二つの長方形を考えます。二つを横に並べた実際の図を描き、共通の辺と各面積、全体の辺と面積を示してください。和6x²+15xを因数分解した式と、展開の式を図に対応させます。
答えと解説
共通の縦3x、横2xと5の二図を隣接させると全体の横2x+5。二面積は6x²と15x、全体は3x(2x+5)=6x²+15x。生徒の同じ長さ単位の辺とその二乗の面積の図が必要。x>0で全辺は正。6と15の最大公約数3と共通文字xを出し切っている。
生徒の実際の図、3xを共通の辺とする対応、両部分・全体の積と展開、正の条件を見る。式だけを図の代わりにしない。
(t+4)u−2v(t+4)+7(t+4)を、共通するまとまりを一つの因数として積へ直してください。一度M=t+4と置いて三項の積と残りを書き、因数分解の式を元の文字へ戻します。共通のまとまりを全項へ配り、元の三項へ戻ることを確かめてください。
答えと解説
Mu−2vM+7M=M(u−2v+7)=(t+4)(u−2v+7)。三項はM×u、M×(−2v)、M×7。全項へ展開すると(t+4)u−2v(t+4)+7(t+4)。因数の順序は変えてよい。Mのまま止めずt+4に戻す。
生徒の三項の因数と残り、置換と戻し、全項へ配った式を確認する。和のu−2v+7全体が一つの内側の因数。
10z²w−15zw²+5zwについて、Aさんは5zw(2z−3w+1)、Bさんは5z(2zw−3w²+w)としました。両方を全項へ展開し、元の式と等しいかを別々に確かめてください。「共通因数を残さず出す」という指示への完了判定も別に書き、必要なら続きを書きます。
答えと解説
両方を展開すると10z²w−15zw²+5zwなので、等しい変形としては両方正しい。Bの内側は全項にwが残るため、5z×w(2z−3w+1)=5zw(2z−3w+1)へ続ける。Aは内側に共通因数が残らず完了。この範囲では内側の定数項1も見て判断する。
生徒がBの等しさ自体を誤りにせず、全六つの積と内側w、完成した因数分解を示したか見ます。
3〜8の整数dと2〜5の整数rを一つずつ選び、三項dx²y−drxy²+dxyを作ってください。全項に共通する数と文字を残さず出し、各項の積・因数分解・全項の展開を自分で選んだ具体的な数値で書きます。最後の項から何が残るか、なぜ数の共通因数を出し切ったかも説明してください。
答えと解説
作例d=7,r=2なら7x²y−14xy²+7xy=7xy(x−2y+1)。各項は7xy×x、7xy×(−2y)、7xy×1。全項の展開で元へ戻る。係数7,−14,7の最大公約数7で、最後の係数がdなので数の共通因数はd、共通文字はxy。内側の1を消さない。条件を満たす生徒の別のd,rも可。
生徒が選んだ条件内の二整数、具体的な三項・積と全展開・残る1・出し切る理由を見る。一般式を写すだけでは完了にしない。
9x²−27x=x(9x−27)という等式について、ある人は「xを外へ出すとxで割るのでx=0では使えない」と言いました。共通な数も残さず出した積の形と全項の展開を書き、x=0とx=1で両辺をそれぞれ確かめて、この意見を修正してください。数の例と分配法則の一般の理由も分けます。
答えと解説
出し切ると9x(x−3)で、展開は9x²−27x。x=0では元も積も0、x=1では9−27=−18、9×1×(1−3)=−18。因数分解は分配法則を逆に使って等しい積を作るので、xで両辺を割る操作ではない。二例の一致だけを証明とせず、全項の積9x×xと9x×(−3)から、文字にどの実数を入れても元の式と積が等しいことを説明する。
生徒の完成した積・全項の展開・二つの数の確認・割る操作との区別を見る。x=0を除外したり、xの方程式の解を求める課題へ変えない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3A(2)ア(イ)・イ(ア)、冊子137–138/PDF141–142の、既習の法則と関連付けて因数分解の方法を考察し表現する学習に沿う独自課題です。学校の因数分解資料と現行出版社の共通因数の本文で、残る1・くくり残し・逆の展開を実際に読みました。例題の文や数値列を写しません。082は全項の共通因数で積へ直す目標で、083の積と和を使う二次式の因数分解とは分けます。 · 2026-11-03
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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この練習問題を保存ワークシート: 共通因数を各項から見つけ、積と展開で確かめる
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/extract-common-factors-and-verify-every-term/
準備14問は数・指数・符号・積の意味を確かめる足場です。主課題では生徒が全項の因数と残りを示し、実際の積の形、展開で元に戻す全項、共通因数の出し切り、修正や条件の理由を残します。T1は共通な数と文字、T2は残る1、T3は負の因数とすべての符号、T4は三項と文字が全てには共通しない点、T5は各指数、T6は正の共通の辺、T7は同じ多項式のまとまり、T8は等しい変形と完了条件の区別、T9は生徒の新しい三項、T10は0の場合と分配法則を確かめます。同値な因数の順序や負の取り方、生徒の有効な別例を認めます。最終式だけや一般的な手順の文だけでは完了にしません。
18x²y+30xy²の全項から共通因数を出し切ります。正の係数を選ぶと、共通の単項式の数の係数はいくつですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
2x³y+7x²y²から共通因数を出し切るとき、共通の単項式のxの指数はいくつですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
2x³y+7x²y²から共通因数を出し切るとき、共通の単項式のyの指数はいくつですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
−14p²q+21pq²=7pq(Ap+Bq)です。Aの値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
−14p²q+21pq²=7pq(Ap+Bq)です。Bの値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
12m³−18m²+6m=6m(Am²+Bm+C)です。Cの値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
20a²b−8ab=4ab(Aa+B)です。Bの値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
16uv²+24uv=8uv(Av+B)です。Aの値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
6r²−rの因数分解として正しいものはどれですか。
- r(6r)
- r(6r−1)
- r(6r+1)
- 6r(r−1)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
8a²b+12ab²+20abから、正の数の係数を持つ共通の単項式を残さず出すと、外の因数はどれですか。
- 4ab
- 2ab
- 8ab
- 4a²b²
途中の計算・単位・理由・確認答え:
−9s²+15sの正しい因数分解はどれですか。
- −3s(3s+5)
- 3s(3s+5)
- −3s(3s−5)
- −3s(−3s+5)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
5x²+10x+15の全項に共通する因数の説明で正しいものはどれですか。
- xは全項に共通する
- 5xを全項から出せる
- 最後の15を無視してよい
- 5は共通だが、文字xは全項には共通しない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
ある積の形を展開すると元の多項式へ戻りました。「共通因数を残さず出した」という確認として適切なのはどれですか。
- 等しい変形なので内側の確認は不要
- 等しさを確かめた後、内側の全項に共通する数や文字も調べる
- 一つの数で値が一致すれば十分
- 外の因数を必ず1にする
途中の計算・単位・理由・確認答え:
xA+xB=x(A+B)について正しい説明はどれですか。
- x=0でも分配法則で両辺0となる
- xで割ったので必ずx≠0が必要
- x=0なら右辺だけ1になる
- x=0ならA=B=0に限る
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
26a²b−39ab²を、整数係数の全項に共通する因数を残さず出して因数分解してください。各項を「共通因数×残り」の積に書き、得た因数分解を全項へ展開して確かめます。共通な数と文字を選んだ理由も書いてください。
ある人は17k²+17k=17k(k)としました。元の各項を17kの倍数の積へ直して、この説明を修正してください。因数分解した式と全項へ展開する式を書き、消してはいけないものの意味を説明します。
−16v²+24vを、外へ−8vを出して因数分解してください。二つの残りの項を符号付きで求め、全項へ展開して確かめます。同じ元の式で外へ+8vを出す形も書き、二つが等しい理由を説明してください。
21p²q−14pq²+35pを、全項の共通因数を残さず出して因数分解してください。三項全ての積と残り、因数分解と展開を書きます。「qが二つの項にあるから7pqを外へ出せる」という意見も検討してください。
15x³y²−25x²y³を、共通な数と文字を残さず出して因数分解してください。各文字の指数を比べ、二項の因数の積、因数分解、全項の展開を書きます。x³y³を共通の文字部分にすることがなぜできないかも説明してください。
x>0とします。縦が共通に3x、横がそれぞれ2xと5の二つの長方形を考えます。二つを横に並べた実際の図を描き、共通の辺と各面積、全体の辺と面積を示してください。和6x²+15xを因数分解した式と、展開の式を図に対応させます。
(t+4)u−2v(t+4)+7(t+4)を、共通するまとまりを一つの因数として積へ直してください。一度M=t+4と置いて三項の積と残りを書き、因数分解の式を元の文字へ戻します。共通のまとまりを全項へ配り、元の三項へ戻ることを確かめてください。
10z²w−15zw²+5zwについて、Aさんは5zw(2z−3w+1)、Bさんは5z(2zw−3w²+w)としました。両方を全項へ展開し、元の式と等しいかを別々に確かめてください。「共通因数を残さず出す」という指示への完了判定も別に書き、必要なら続きを書きます。
3〜8の整数dと2〜5の整数rを一つずつ選び、三項dx²y−drxy²+dxyを作ってください。全項に共通する数と文字を残さず出し、各項の積・因数分解・全項の展開を自分で選んだ具体的な数値で書きます。最後の項から何が残るか、なぜ数の共通因数を出し切ったかも説明してください。
9x²−27x=x(9x−27)という等式について、ある人は「xを外へ出すとxで割るのでx=0では使えない」と言いました。共通な数も残さず出した積の形と全項の展開を書き、x=0とx=1で両辺をそれぞれ確かめて、この意見を修正してください。数の例と分配法則の一般の理由も分けます。
解答: 共通因数を各項から見つけ、積と展開で確かめる
6
18と30の最大公約数は6。文字の共通部分はxyで、共通因数は6xyです。
2
x³とx²に共通するxの最も小さい指数は2です。共通因数はx²y。
1
yとy²に共通するyの最も小さい指数は1です。
−2
7pq×(−2p)=−14p²qなのでA=−2です。
3
7pq×3q=21pq²なのでB=3です。
1
最後の項は6m×1。C=1を消しません。
−2
4ab×(−2)=−8abなのでB=−2です。
2
8uv×2v=16uv²なのでA=2です。
r(6r−1)
残りは6rと−1。r×(−1)=−rです。
4ab
係数の最大公約数は4、全項の共通な文字はabです。
−3s(3s−5)
展開すると−9s²+15sへ戻ります。
5は共通だが、文字xは全項には共通しない
定数項15にはxが掛かっていないため、5(x²+2x+3)です。
等しさを確かめた後、内側の全項に共通する数や文字も調べる
展開で等しさを確認することと、共通因数を出し切ることを分けます。
x=0でも分配法則で両辺0となる
共通因数でくくって積の形に直す操作は、分配法則を逆に使うことであり、xで割る操作ではありません。
記述問題の解答・確認の観点
26a²b−39ab²を、整数係数の全項に共通する因数を残さず出して因数分解してください。各項を「共通因数×残り」の積に書き、得た因数分解を全項へ展開して確かめます。共通な数と文字を選んだ理由も書いてください。
共通因数13ab。26a²b=13ab×2a、−39ab²=13ab×(−3b)より13ab(2a−3b)。展開は26a²b−39ab²。26と39の最大公約数13、全項のa,bの小さい指数は各1。内側2aと−3bにはこれ以上共通する整数の因数や文字はない。−13ab(−2a+3b)等も可。
生徒の二項の積・共通因数の理由・積の式・全項の展開・出し切りを確認する。外の因数だけで終えない。
ある人は17k²+17k=17k(k)としました。元の各項を17kの倍数の積へ直して、この説明を修正してください。因数分解した式と全項へ展開する式を書き、消してはいけないものの意味を説明します。
17k²=17k×k、17k=17k×1なので17k(k+1)。展開は17k²+17k。残り1は第二項を再現する因数で、項がなくなったわけではない。誤った17k(k)を展開すると17k²だけになり第二項が足りない。
生徒が1の位置と17k×1の意味、誤りと正しい式の展開を具体的に残す。
−16v²+24vを、外へ−8vを出して因数分解してください。二つの残りの項を符号付きで求め、全項へ展開して確かめます。同じ元の式で外へ+8vを出す形も書き、二つが等しい理由を説明してください。
−8vを出すと−8v(2v−3)。残りは2vと−3で、積は−16v²と+24vへ戻る。+8vなら8v(−2v+3)。両方を展開すれば同じ二項で、外の−1と内側全項の符号の変更が対応する。
生徒の二通りの積の形とそれぞれ全項の符号付き積、同値である説明を見る。負の外因数なら内側全て負と決めない。
21p²q−14pq²+35pを、全項の共通因数を残さず出して因数分解してください。三項全ての積と残り、因数分解と展開を書きます。「qが二つの項にあるから7pqを外へ出せる」という意見も検討してください。
7pを出し、21p²q=7p×3pq、−14pq²=7p×(−2q²)、35p=7p×5。因数分解は7p(3pq−2q²+5)、展開は元の三項。最後の35pにqは共通しておらず、整数係数の多項式の因数として7pqを全項から出すことはできない。
生徒の三項を落とさない式、第三項の5、qが全項の因数でない理由を見る。qで割った分数の式へ目標を変更しない。
15x³y²−25x²y³を、共通な数と文字を残さず出して因数分解してください。各文字の指数を比べ、二項の因数の積、因数分解、全項の展開を書きます。x³y³を共通の文字部分にすることがなぜできないかも説明してください。
共通因数5x²y²で5x²y²(3x−5y)。第一項は5x²y²×3x、第二項は5x²y²×(−5y)。展開で15x³y²−25x²y³へ戻る。xの小さい指数は2、yも2。x³y³だと第一項のy、第二項のxが足りず、両項の単項式の因数にはできない。
生徒の指数比較と各項を再現する積、正しい積の式と展開を見る。指数の大きい方を機械的に選ばない。
x>0とします。縦が共通に3x、横がそれぞれ2xと5の二つの長方形を考えます。二つを横に並べた実際の図を描き、共通の辺と各面積、全体の辺と面積を示してください。和6x²+15xを因数分解した式と、展開の式を図に対応させます。
共通の縦3x、横2xと5の二図を隣接させると全体の横2x+5。二面積は6x²と15x、全体は3x(2x+5)=6x²+15x。生徒の同じ長さ単位の辺とその二乗の面積の図が必要。x>0で全辺は正。6と15の最大公約数3と共通文字xを出し切っている。
生徒の実際の図、3xを共通の辺とする対応、両部分・全体の積と展開、正の条件を見る。式だけを図の代わりにしない。
(t+4)u−2v(t+4)+7(t+4)を、共通するまとまりを一つの因数として積へ直してください。一度M=t+4と置いて三項の積と残りを書き、因数分解の式を元の文字へ戻します。共通のまとまりを全項へ配り、元の三項へ戻ることを確かめてください。
Mu−2vM+7M=M(u−2v+7)=(t+4)(u−2v+7)。三項はM×u、M×(−2v)、M×7。全項へ展開すると(t+4)u−2v(t+4)+7(t+4)。因数の順序は変えてよい。Mのまま止めずt+4に戻す。
生徒の三項の因数と残り、置換と戻し、全項へ配った式を確認する。和のu−2v+7全体が一つの内側の因数。
10z²w−15zw²+5zwについて、Aさんは5zw(2z−3w+1)、Bさんは5z(2zw−3w²+w)としました。両方を全項へ展開し、元の式と等しいかを別々に確かめてください。「共通因数を残さず出す」という指示への完了判定も別に書き、必要なら続きを書きます。
両方を展開すると10z²w−15zw²+5zwなので、等しい変形としては両方正しい。Bの内側は全項にwが残るため、5z×w(2z−3w+1)=5zw(2z−3w+1)へ続ける。Aは内側に共通因数が残らず完了。この範囲では内側の定数項1も見て判断する。
生徒がBの等しさ自体を誤りにせず、全六つの積と内側w、完成した因数分解を示したか見ます。
3〜8の整数dと2〜5の整数rを一つずつ選び、三項dx²y−drxy²+dxyを作ってください。全項に共通する数と文字を残さず出し、各項の積・因数分解・全項の展開を自分で選んだ具体的な数値で書きます。最後の項から何が残るか、なぜ数の共通因数を出し切ったかも説明してください。
作例d=7,r=2なら7x²y−14xy²+7xy=7xy(x−2y+1)。各項は7xy×x、7xy×(−2y)、7xy×1。全項の展開で元へ戻る。係数7,−14,7の最大公約数7で、最後の係数がdなので数の共通因数はd、共通文字はxy。内側の1を消さない。条件を満たす生徒の別のd,rも可。
生徒が選んだ条件内の二整数、具体的な三項・積と全展開・残る1・出し切る理由を見る。一般式を写すだけでは完了にしない。
9x²−27x=x(9x−27)という等式について、ある人は「xを外へ出すとxで割るのでx=0では使えない」と言いました。共通な数も残さず出した積の形と全項の展開を書き、x=0とx=1で両辺をそれぞれ確かめて、この意見を修正してください。数の例と分配法則の一般の理由も分けます。
出し切ると9x(x−3)で、展開は9x²−27x。x=0では元も積も0、x=1では9−27=−18、9×1×(1−3)=−18。因数分解は分配法則を逆に使って等しい積を作るので、xで両辺を割る操作ではない。二例の一致だけを証明とせず、全項の積9x×xと9x×(−3)から、文字にどの実数を入れても元の式と積が等しいことを説明する。
生徒の完成した積・全項の展開・二つの数の確認・割る操作との区別を見る。x=0を除外したり、xの方程式の解を求める課題へ変えない。