中3 数学：平方根の意味と値の範囲の練習問題
正の数の二つの平方根と根号の値を区別し、端の数の二乗から一つの正の平方根の範囲を絞ります。準備14問と、自分の式・理由を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3A(1)ア(ア)、冊子133–134/PDF137–138の平方根の必要性と意味、逐次近似に沿う独自課題です。PDF140/冊子136と現行出版社の近似値の本文も読み、正確な値・範囲・四捨五入を区別します。例題の作図や小数列は写しません。084は一つの数の意味と範囲で、085の根号の計算・有理化、086の複数の無理数式の比較とは分けます。
解説を読む
実数の範囲で、二乗してaになる数をaの平方根といいます。a>0なら正と負の二つがあり、√aはその正の方だけを表します。0の平方根は0だけ、負の数を二乗しても正になるため、負の数には実数の平方根はありません。一つの正の平方根の範囲を知るには、0以上の端の数を二乗し、根号の中の数を挟むか確かめます。根号の表す正確な値と、有限の小数での近似値を区別します。
必要な予備知識
正負の数、二乗と符号、小数・分数の計算、整数の平方、正方形の面積、数の大小と四捨五入。紙や必要に応じて電卓、既存の授業用ボードで自分の式と説明を残します。電卓の表示を写すだけでなく、比較に使った端の二乗を示します。
- a>0の平方根は√aと−√aの二つです。√aという一つの記号の値へ、±を勝手に付けません。
- 0の平方根は0だけです。実数の二乗は0以上なので、負の数には実数の平方根がありません。「常に正負二つ」という言い方は0には当てはまりません。
- √aはa≥0で0以上です。例えば√((-r)²)でr>0なら、二乗した値の正の平方根を取るのでrです。負の数をそのまま根号の外へ戻しません。
- 0≤L<UでL²<a<U²なら、L<√a<Uです。端の符号と平方を確かめます。aが平方数なら等号の場合を別に扱い、無理に等号を含まない不等号（<や>）にはしません。
- 整数で挟んだ後、小数第一位・第二位へ端を細かくし、二乗して範囲を絞れます。比較に使った小数の平方を、途中で雑に丸めません。
- √aという正確な値と有限小数の近似値を区別します。近い小数の二乗がaと一致しなければ、その小数と√aは厳密には等しくありません。
- ある二つの小数の間だと分かっただけでは、求める位への四捨五入が決まらない場合があります。必要なら四捨五入の境目の数の平方も確かめ、どちら側か判断します。
- 正方形の辺の長さは正の方を使い、面積の平方根で表します。数として負の平方根があることと、負の辺の長さを作ることを混同しません。図の見た目や実測を正確な値の証明にしません。
解き方の例
√196は14という一つの値です。196の平方根を全て挙げるなら14と−14で、14²も(−14)²も196です。√196=±14とはしません。
√31では5²=25<31<36=6²より5<√31<6。さらに5.5²=30.25<31<31.36=5.6²なので5.5<√31<5.6。端を二乗した根拠と、√31そのものの正確な表記を分けます。
よくある間違い
- √aという正の一つの値と、aの全ての平方根を同じ答え方にする。
- 0にも互いに異なる正負の二根があるとする。
- 負の数の二乗や、負の数を二乗してから取る正の平方根の符号を混同する。
- 端の数を二乗せず、根号の中の数そのものを半分にする。
- 小数の近似値を正確な等号で結び、有限の表示が真の値を全部表すとする。
- 隣り合う小数で挟めたことだけから、境目を確かめず四捨五入を決める。
考え方を説明する
準備14問は根号の値・二根・端の整数・意味の区別を確かめる足場です。主課題は生徒の二乗の式、正負や根号の区別、端の二乗と不等式、根拠の文を手動確認します。T1は根号と二根、T2は小数・0・負の数、T3は正の辺と整数範囲、T4は0.1刻み、T5は二段階の小数範囲、T6は近似と等号の修正、T7は負の数の二乗からの根号、T8は四捨五入の境目、T9は生徒の一つの非平方数、T10は生徒の0.1刻みの範囲です。生徒の有効な別例と根拠、同値な数の表記も認めます。電卓の表示や最終値だけ、一般的な手順の文だけでは完了にしません。
主課題の実際の説明は、生徒が紙や既存の授業用ボードへ書き、講師が手動確認します。数値や選択肢の解答だけで、意味や近似の説明ができたことにはしません。実測・実際の生徒の成果を主張せず、この教材の全課題で図を追加の必須条件にはしません。
練習する
準備は数や範囲、根号の意味を確かめる足場です。主課題では根号と平方根の区別、符号、端の数の二乗と不等式、近似と正確な値の違いを実際の式と文で残します。紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。数の入力だけを説明の完了にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
√144の値を答えてください。
答えと解説
12
12²=144で、√144は正の方の12です。
121の平方根を全て、小さい方・大きい方の順に答えてください。
答えと解説
小さい平方根 = −11 / 大きい平方根 = 11
(−11)²=11²=121で、二つの平方根は−11と11です。
√0.64の値を答えてください。
答えと解説
0.8²=0.64なので0.8=4/5です。負の方は√0.64の値ではありません。
49/100の平方根を全て、小さい方・大きい方の順に答えてください。
答えと解説
小さい平方根 = − / 大きい平方根 =
(7/10)²も(−7/10)²も49/100です。
√((−13)²)の値を答えてください。
答えと解説
13
(−13)²=169、√169は正の13です。
√0の値を答えてください。
答えと解説
0
0を二乗すると0。0の平方根は0だけです。
連続する整数でn<√53<n+1となります。nの値を答えてください。
答えと解説
7
7²=49<53<64=8²なので7<√53<8です。
連続する整数でn<√53<n+1となります。大きい方の端n+1の値を答えてください。
答えと解説
8
49<53<64なので端は7と8です。
20の平方根を全て表したものはどれですか。
- √20と−√20
- √20だけ
- 20と−20
- 10と−10
答えと解説
√20と−√20
二乗して20になる正と負の二つです。
√18という記号が表す値の説明はどれですか。
- 18を半分にした値
- 二乗して18になる負の数だけ
- 二乗して18になる正の数一つ
- 正負二つの値を同時に表す
答えと解説
二乗して18になる正の数一つ
18>0なので√18は正の平方根一つを表します。
−12の平方根について、実数の範囲で正しい説明はどれですか。
- −√12だけある
- 平方根はない
- √12と−√12がある
- −6と6がある
答えと解説
平方根はない
どんな実数の二乗も0以上で、−12にはなりません。
3²<13<4²から、正しい範囲はどれですか。
- 13<√13<16
- −4<√13<−3
- √13=3.5
- 3<√13<4
答えと解説
3<√13<4
端の3と4は正で、二乗が13を挟むので3<√13<4です。
3.74²<14<3.75²を確かめました。そこから確実に言えるのはどれですか。
- √14=3.74と正確に等しい
- 3.74<√14<3.75
- √14=3.75と正確に等しい
- 14<√14<15
答えと解説
3.74<√14<3.75
得られたのは正の平方根の範囲であり、有限小数との厳密な等号ではありません。
正の√aを0.1だけ違う二つの正の端で挟むとき、必要な確かめはどれですか。
- 端の和がaかだけ調べる
- aを2で割る
- 端を負の数へ変える
- 両端を二乗し、その間にaがあるか調べる
答えと解説
両端を二乗し、その間にaがあるか調べる
正の範囲で、端の二乗と根号の中のaを比較します。
考え方を説明する
「√169の値」と「169の平方根を全て」の二つへ、それぞれ答えてください。各答えを二乗する式と、根号の表す一つの値・正負の二つの数の違いを、具体的な数と文で説明します。
答えと解説
√169=13。169の平方根は13と−13で、13²=169、(−13)²=169。√169は正の方の13一つで、√169=±13とはしない。生徒が二つの問いと各二乗を対応させる。
生徒の二つの答え方・各二乗の式・一値と二根の区別を見る。±の記号だけを説明の代わりにしない。
0.49、0、−0.49の平方根を、実数の範囲で調べます。それぞれある数を全て挙げるか、ない理由を二乗と符号で説明してください。「平方根はどんな数でも正負二つ」という説明を直します。
答えと解説
0.49の平方根は0.7と−0.7で、各二乗0.49。0は0だけで0²=0、−0と0は同じ数。−0.49は実数の二乗が0以上なので平方根なし。正の数には二つ、0には一つ、負の数には実数の平方根なしと範囲を分ける。
生徒の三つの場合と二乗・符号の根拠、0を二つの異なる数としない修正を見ます。
面積が58cm²という説明用の正方形の一辺を考えます。辺の正確な値を根号と単位で表し、連続する二整数の平方を計算して辺の長さを挟んでください。数として負の平方根があることと、辺に使う値の違いも説明します。
答えと解説
辺は√58cmで正。7²=49<58<64=8²より7<√58<8、長さは7cmと8cmの間。58の数の平方根には−√58もあるが、辺の長さには正の√58を使う。面積からの計算であり、実測の長さを報告していない。
生徒の根号とcm・二つの整数の平方・等号を含まない不等式・正の辺の理由を見る。三平方の定理の作図を追加必須にはしない。
√43を、まず連続する整数、次に0.1だけ違う正の小数の端で挟んでください。使った各端の二乗を実際に計算し、43との比較と、√43の範囲を段階ごとの式と文で示します。
答えと解説
6²=36<43<49=7²より6<√43<7。6.5²=42.25<43<43.56=6.6²より6.5<√43<6.6。生徒の別の正しい端の選択でも、差0.1で平方が挟むか確認する。
生徒の四つの平方の値・43との比較・正の端と二段階の不等式を見る。根号キーの表示だけにしない。
√14を、整数、0.1だけ違う小数、0.01だけ違う小数の端で順に挟んでください。全ての端の二乗を計算し、三段階の範囲を示します。最後の小数のどちらかを正確な√14と等号で結んでよいかも説明してください。
答えと解説
3²=9<14<16=4²。3.7²=13.69<14<14.44=3.8²。3.74²=13.9876<14<14.0625=3.75²。従って3<√14<4、3.7<√14<3.8、3.74<√14<3.75。どちらの最後の端も平方が14と等しくないので、√14そのものと厳密な等号で結ばない。
生徒の六つの平方・全比較・三段階の不等式・近似と等号の区別を見る。最後の範囲だけで終えない。
ある人は「√22=4.7。電卓で近く見えたから正確に等しい」と言いました。4.69と4.7の二乗を実際に計算し、22との比較から√22の範囲を示してください。4.7の使い方を、近似と正確な等号を区別した文へ直します。
答えと解説
4.69²=21.9961<22<22.09=4.7²より4.69<√22<4.7。4.7²は22ではないので√22=4.7と厳密には書けない。4.7を近似値として使うことと、根号が表す正確な値を区別し、必要な精度も示す。
生徒の二つの平方・比較と不等式、元の等号の修正理由を見る。有限の電卓表示を真の値全体とはしない。
ある人は「√((−9)²)=−9」としました。根号の中を先に計算し、根号の表す値の符号を確かめて修正してください。−√81という式の値と、81の平方根を全て挙げる答えとも区別して説明します。
答えと解説
(−9)²=81なので√((−9)²)=√81=9。−√81は根号の外の負号により−9、81の平方根を全てなら9と−9。根号の中の元の−9をそのまま外へ戻さず、二乗と正の平方根、外側の符号を順に分ける。
生徒の三つの値・答え方と各符号の理由を確認する。根号の範囲の括弧を曖昧にしない。
3.74<√14<3.75が分かったので、「小数第3位を四捨五入して小数第2位までなら必ず3.75」と言う人がいます。境目3.745の二乗を計算して14と比べ、丸めた値を決めてください。最初の範囲だけで決まらなかった点も説明します。
答えと解説
3.745²=14.025025>14なので√14<3.745。既知の3.74<√14と合わせ、四捨五入の境目より下だから小数第2位までの近似値は3.74。最初の3.74と3.75の間には境目3.745があるので、その範囲だけではどちら側か決まらない。正確な値が3.74と等しいという意味ではない。
生徒の境目の正確な平方・14との比較・正の大小・丸めた3.74と近似の説明を見る。0.01刻みの端を見て一方へ決め付けない。
26以上80以下の整数nで、整数の平方ではない数を一つ選びます。nの正負の平方根を根号で示し、正の方を連続する二整数で挟んでください。自分で選んだ数値・両端の平方・不等式と、二根と√nの違いを文で示します。
答えと解説
作例n=55なら平方根は√55と−√55。7²=49<55<64=8²で7<√55<8。√55は正の一つの値で、55の二根は正負二つ。生徒の条件に合う別のnでもよい。選んだ数が整数の平方でないことも両端の平方との間に等号が成り立たないことから確かめる。
生徒が選んだ範囲内の非平方数、両平方根と正の方の整数範囲・実際の二乗の根拠を見る。作例を唯一の答えにしない。
10以上40以下の整数nで、整数の平方ではない数を一つ選びます。√nを差が0.1の二つの0以上の小数の端で挟んでください。自分で選んだnと端の値、各二乗・nとの比較・不等式を実際に書き、正確な根号の値と近似の違いを説明します。
答えと解説
作例n=26、端5.0と5.1なら5.0²=25<26<26.01=5.1²、5.0<√26<5.1。√26が正確な値で、有限小数の端との厳密な等号ではない。生徒の別のnと差0.1の有効な二端も認める。
生徒が選ぶ非平方数と差0.1の二端、符号と両平方、等号を含まない不等式・近似の説明を見る。電卓の根号表示だけや一般的な手順だけで完了にしない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
問題用紙と解答・解説を別々にダウンロードできます。PDFは日本の教育課程と小数点「.」の設定で作成しています。画面で選んだ設定は、下の印刷ボタンで反映できます。
教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3A(1)ア(ア)、冊子133–134/PDF137–138の平方根の必要性と意味、逐次近似に沿う独自課題です。PDF140/冊子136と現行出版社の近似値の本文も読み、正確な値・範囲・四捨五入を区別します。例題の作図や小数列は写しません。084は一つの数の意味と範囲で、085の根号の計算・有理化、086の複数の無理数式の比較とは分けます。 · 2026-11-03
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/explain-square-root-meaning-and-refine-one-value-bounds/
準備14問は根号の値・二根・端の整数・意味の区別を確かめる足場です。主課題は生徒の二乗の式、正負や根号の区別、端の二乗と不等式、根拠の文を手動確認します。T1は根号と二根、T2は小数・0・負の数、T3は正の辺と整数範囲、T4は0.1刻み、T5は二段階の小数範囲、T6は近似と等号の修正、T7は負の数の二乗からの根号、T8は四捨五入の境目、T9は生徒の一つの非平方数、T10は生徒の0.1刻みの範囲です。生徒の有効な別例と根拠、同値な数の表記も認めます。電卓の表示や最終値だけ、一般的な手順の文だけでは完了にしません。
√144の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
121の平方根を全て、小さい方・大きい方の順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
√0.64の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
49/100の平方根を全て、小さい方・大きい方の順に答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
√((−13)²)の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
√0の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
連続する整数でn<√53<n+1となります。nの値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
連続する整数でn<√53<n+1となります。大きい方の端n+1の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
20の平方根を全て表したものはどれですか。
- √20と−√20
- √20だけ
- 20と−20
- 10と−10
途中の計算・単位・理由・確認答え:
√18という記号が表す値の説明はどれですか。
- 18を半分にした値
- 二乗して18になる負の数だけ
- 二乗して18になる正の数一つ
- 正負二つの値を同時に表す
途中の計算・単位・理由・確認答え:
−12の平方根について、実数の範囲で正しい説明はどれですか。
- −√12だけある
- 平方根はない
- √12と−√12がある
- −6と6がある
途中の計算・単位・理由・確認答え:
3²<13<4²から、正しい範囲はどれですか。
- 13<√13<16
- −4<√13<−3
- √13=3.5
- 3<√13<4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
3.74²<14<3.75²を確かめました。そこから確実に言えるのはどれですか。
- √14=3.74と正確に等しい
- 3.74<√14<3.75
- √14=3.75と正確に等しい
- 14<√14<15
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正の√aを0.1だけ違う二つの正の端で挟むとき、必要な確かめはどれですか。
- 端の和がaかだけ調べる
- aを2で割る
- 端を負の数へ変える
- 両端を二乗し、その間にaがあるか調べる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
「√169の値」と「169の平方根を全て」の二つへ、それぞれ答えてください。各答えを二乗する式と、根号の表す一つの値・正負の二つの数の違いを、具体的な数と文で説明します。
0.49、0、−0.49の平方根を、実数の範囲で調べます。それぞれある数を全て挙げるか、ない理由を二乗と符号で説明してください。「平方根はどんな数でも正負二つ」という説明を直します。
面積が58cm²という説明用の正方形の一辺を考えます。辺の正確な値を根号と単位で表し、連続する二整数の平方を計算して辺の長さを挟んでください。数として負の平方根があることと、辺に使う値の違いも説明します。
√43を、まず連続する整数、次に0.1だけ違う正の小数の端で挟んでください。使った各端の二乗を実際に計算し、43との比較と、√43の範囲を段階ごとの式と文で示します。
√14を、整数、0.1だけ違う小数、0.01だけ違う小数の端で順に挟んでください。全ての端の二乗を計算し、三段階の範囲を示します。最後の小数のどちらかを正確な√14と等号で結んでよいかも説明してください。
ある人は「√22=4.7。電卓で近く見えたから正確に等しい」と言いました。4.69と4.7の二乗を実際に計算し、22との比較から√22の範囲を示してください。4.7の使い方を、近似と正確な等号を区別した文へ直します。
ある人は「√((−9)²)=−9」としました。根号の中を先に計算し、根号の表す値の符号を確かめて修正してください。−√81という式の値と、81の平方根を全て挙げる答えとも区別して説明します。
3.74<√14<3.75が分かったので、「小数第3位を四捨五入して小数第2位までなら必ず3.75」と言う人がいます。境目3.745の二乗を計算して14と比べ、丸めた値を決めてください。最初の範囲だけで決まらなかった点も説明します。
26以上80以下の整数nで、整数の平方ではない数を一つ選びます。nの正負の平方根を根号で示し、正の方を連続する二整数で挟んでください。自分で選んだ数値・両端の平方・不等式と、二根と√nの違いを文で示します。
10以上40以下の整数nで、整数の平方ではない数を一つ選びます。√nを差が0.1の二つの0以上の小数の端で挟んでください。自分で選んだnと端の値、各二乗・nとの比較・不等式を実際に書き、正確な根号の値と近似の違いを説明します。
解答: 平方根の意味を区別し、二乗から一つの値の範囲を確かめる
12
12²=144で、√144は正の方の12です。
小さい平方根 = −11 / 大きい平方根 = 11
(−11)²=11²=121で、二つの平方根は−11と11です。
0.8²=0.64なので0.8=4/5です。負の方は√0.64の値ではありません。
小さい平方根 = − / 大きい平方根 =
(7/10)²も(−7/10)²も49/100です。
13
(−13)²=169、√169は正の13です。
0
0を二乗すると0。0の平方根は0だけです。
7
7²=49<53<64=8²なので7<√53<8です。
8
49<53<64なので端は7と8です。
√20と−√20
二乗して20になる正と負の二つです。
二乗して18になる正の数一つ
18>0なので√18は正の平方根一つを表します。
平方根はない
どんな実数の二乗も0以上で、−12にはなりません。
3<√13<4
端の3と4は正で、二乗が13を挟むので3<√13<4です。
3.74<√14<3.75
得られたのは正の平方根の範囲であり、有限小数との厳密な等号ではありません。
両端を二乗し、その間にaがあるか調べる
正の範囲で、端の二乗と根号の中のaを比較します。
記述問題の解答・確認の観点
「√169の値」と「169の平方根を全て」の二つへ、それぞれ答えてください。各答えを二乗する式と、根号の表す一つの値・正負の二つの数の違いを、具体的な数と文で説明します。
√169=13。169の平方根は13と−13で、13²=169、(−13)²=169。√169は正の方の13一つで、√169=±13とはしない。生徒が二つの問いと各二乗を対応させる。
生徒の二つの答え方・各二乗の式・一値と二根の区別を見る。±の記号だけを説明の代わりにしない。
0.49、0、−0.49の平方根を、実数の範囲で調べます。それぞれある数を全て挙げるか、ない理由を二乗と符号で説明してください。「平方根はどんな数でも正負二つ」という説明を直します。
0.49の平方根は0.7と−0.7で、各二乗0.49。0は0だけで0²=0、−0と0は同じ数。−0.49は実数の二乗が0以上なので平方根なし。正の数には二つ、0には一つ、負の数には実数の平方根なしと範囲を分ける。
生徒の三つの場合と二乗・符号の根拠、0を二つの異なる数としない修正を見ます。
面積が58cm²という説明用の正方形の一辺を考えます。辺の正確な値を根号と単位で表し、連続する二整数の平方を計算して辺の長さを挟んでください。数として負の平方根があることと、辺に使う値の違いも説明します。
辺は√58cmで正。7²=49<58<64=8²より7<√58<8、長さは7cmと8cmの間。58の数の平方根には−√58もあるが、辺の長さには正の√58を使う。面積からの計算であり、実測の長さを報告していない。
生徒の根号とcm・二つの整数の平方・等号を含まない不等式・正の辺の理由を見る。三平方の定理の作図を追加必須にはしない。
√43を、まず連続する整数、次に0.1だけ違う正の小数の端で挟んでください。使った各端の二乗を実際に計算し、43との比較と、√43の範囲を段階ごとの式と文で示します。
6²=36<43<49=7²より6<√43<7。6.5²=42.25<43<43.56=6.6²より6.5<√43<6.6。生徒の別の正しい端の選択でも、差0.1で平方が挟むか確認する。
生徒の四つの平方の値・43との比較・正の端と二段階の不等式を見る。根号キーの表示だけにしない。
√14を、整数、0.1だけ違う小数、0.01だけ違う小数の端で順に挟んでください。全ての端の二乗を計算し、三段階の範囲を示します。最後の小数のどちらかを正確な√14と等号で結んでよいかも説明してください。
3²=9<14<16=4²。3.7²=13.69<14<14.44=3.8²。3.74²=13.9876<14<14.0625=3.75²。従って3<√14<4、3.7<√14<3.8、3.74<√14<3.75。どちらの最後の端も平方が14と等しくないので、√14そのものと厳密な等号で結ばない。
生徒の六つの平方・全比較・三段階の不等式・近似と等号の区別を見る。最後の範囲だけで終えない。
ある人は「√22=4.7。電卓で近く見えたから正確に等しい」と言いました。4.69と4.7の二乗を実際に計算し、22との比較から√22の範囲を示してください。4.7の使い方を、近似と正確な等号を区別した文へ直します。
4.69²=21.9961<22<22.09=4.7²より4.69<√22<4.7。4.7²は22ではないので√22=4.7と厳密には書けない。4.7を近似値として使うことと、根号が表す正確な値を区別し、必要な精度も示す。
生徒の二つの平方・比較と不等式、元の等号の修正理由を見る。有限の電卓表示を真の値全体とはしない。
ある人は「√((−9)²)=−9」としました。根号の中を先に計算し、根号の表す値の符号を確かめて修正してください。−√81という式の値と、81の平方根を全て挙げる答えとも区別して説明します。
(−9)²=81なので√((−9)²)=√81=9。−√81は根号の外の負号により−9、81の平方根を全てなら9と−9。根号の中の元の−9をそのまま外へ戻さず、二乗と正の平方根、外側の符号を順に分ける。
生徒の三つの値・答え方と各符号の理由を確認する。根号の範囲の括弧を曖昧にしない。
3.74<√14<3.75が分かったので、「小数第3位を四捨五入して小数第2位までなら必ず3.75」と言う人がいます。境目3.745の二乗を計算して14と比べ、丸めた値を決めてください。最初の範囲だけで決まらなかった点も説明します。
3.745²=14.025025>14なので√14<3.745。既知の3.74<√14と合わせ、四捨五入の境目より下だから小数第2位までの近似値は3.74。最初の3.74と3.75の間には境目3.745があるので、その範囲だけではどちら側か決まらない。正確な値が3.74と等しいという意味ではない。
生徒の境目の正確な平方・14との比較・正の大小・丸めた3.74と近似の説明を見る。0.01刻みの端を見て一方へ決め付けない。
26以上80以下の整数nで、整数の平方ではない数を一つ選びます。nの正負の平方根を根号で示し、正の方を連続する二整数で挟んでください。自分で選んだ数値・両端の平方・不等式と、二根と√nの違いを文で示します。
作例n=55なら平方根は√55と−√55。7²=49<55<64=8²で7<√55<8。√55は正の一つの値で、55の二根は正負二つ。生徒の条件に合う別のnでもよい。選んだ数が整数の平方でないことも両端の平方との間に等号が成り立たないことから確かめる。
生徒が選んだ範囲内の非平方数、両平方根と正の方の整数範囲・実際の二乗の根拠を見る。作例を唯一の答えにしない。
10以上40以下の整数nで、整数の平方ではない数を一つ選びます。√nを差が0.1の二つの0以上の小数の端で挟んでください。自分で選んだnと端の値、各二乗・nとの比較・不等式を実際に書き、正確な根号の値と近似の違いを説明します。
作例n=26、端5.0と5.1なら5.0²=25<26<26.01=5.1²、5.0<√26<5.1。√26が正確な値で、有限小数の端との厳密な等号ではない。生徒の別のnと差0.1の有効な二端も認める。
生徒が選ぶ非平方数と差0.1の二端、符号と両平方、等号を含まない不等式・近似の説明を見る。電卓の根号表示だけや一般的な手順だけで完了にしない。