Parenthèses et nombre de solutions
Développez les parenthèses, réduisez les termes semblables et distinguez une solution, aucune solution ou une infinité de solutions.
Pour les élèves de 14 ans et plus · gratuit · sans compte
Comment utiliser les exercices d’algèbre
Vérificateur d’équations linéaires
La langue, le programme et la référence pédagogique se choisissent séparément. À partir de 14 ans : compétences choisies sur les équations du premier degré ou révisions. Les notes du programme sélectionné précisent le niveau, la version et les approfondissements. Cette série originale limitée n’est ni un cours complet ni un sujet d’examen officiel.
Les parenthèses et équations linéaires relèvent de l’algèbre de KS3 ; les équations et identités, de KS4. Les trois cas de solutions sont explicites dans le Common Core, mais ne constituent pas une exigence littérale de KS3.
Madrid, 3.º ESO : révision des parenthèses, fractions et équations du premier degré (D.4). Les cas sans solution, avec une solution ou une infinité de solutions sont un prolongement pédagogique ; le texte régional ne les énumère pas tous explicitement. Vérifiez le raisonnement manuellement.
France, 3e, 2026–27 : développer, réduire et résoudre des équations du premier degré. Le classement sans solution, avec une ou une infinité de solutions est un prolongement choisi, pas un attendu annuel complet explicitement énuméré. Le nouveau programme arrive en 3e en 2028–29.
NRW Gymnasium G9 : révisions de compétences choisies des classes 7 et 8. Travaillez le développement, la réduction des termes semblables et la résolution d’équations du premier degré ; expliquez l’égalité restante. Les trois cas de solutions sont une précision originale de la compétence sur l’ensemble des solutions, et non trois exigences régionales énumérées explicitement. Le domaine réel étend le cadre rationnel de la première étape ; l’exemple de progression consulté introduit les réels en classe 9 (UV9.2).
Japon : révisions de compétences choisies de première année de collège, selon le programme de 2017 pleinement appliqué en 2021. Travaillez le développement, la réduction des termes semblables et la résolution d’équations du premier degré ; expliquez l’égalité restante. La classification sans solution, avec une solution ou une infinité de solutions est un approfondissement original, et non une exigence de première année. Le domaine réel étend le cadre rationnel de première année pour cette série destinée aux élèves de 14 ans et plus.
Corée : révisions de compétences choisies de première année de collège, selon le programme de 2022 appliqué à ce niveau depuis mars 2025. Il ne s’applique à la troisième année qu’à partir de mars 2027. Travaillez le développement, la réduction des termes semblables et la résolution d’équations du premier degré ; expliquez l’égalité restante. La classification sans solution, avec une solution ou une infinité de solutions est un approfondissement original, et non une exigence de première année. Le domaine réel étend le cadre rationnel de première année pour cette série destinée aux élèves de 14 ans et plus.
Russie : correspondance avec l’édition choisie du FRP de 2025, pour réviser l’algèbre de la classe 7. Travaillez le développement, la réduction des termes semblables et la résolution d’équations du premier degré ; expliquez l’égalité restante. Le programme de la classe 7 prévoit explicitement le nombre de racines d’une équation du premier degré. Le domaine réel étend le contenu de la classe 7 avec une notion introduite en classe 8.
CeDeC / INTEF : édition d’août 2014, consultée comme référence pédagogique historique. Il ne s’agit pas d’un complément du programme LOMLOE de 2022.
Sésamath 3e, Magnard, juin 2021 : sections choisies du cahier élève (ISBN 9782210115811). Ce rapprochement ne couvre pas l’ensemble du cahier.
QUA-LiS.NRW, 31 janvier 2020 : exemple indicatif de progression scolaire, notamment UV7.6, p.34. Il s’agit d’une référence pédagogique, ni d’un manuel ni d’une progression imposée à chaque établissement.
MEXT, juillet 2017 : commentaires officiels du programme de mathématiques, sections choisies de première année aux pp.70–74. Il s’agit d’une référence pédagogique, pas d’un compagnon de manuel d’éditeur.
Bureau de l’éducation de Gyeonggi, 10 mars 2025 : guide d’évaluation, chapitre de mathématiques Ⅱ-1, pp.58–69. Les critères servent de référence ; ce correcteur n’attribue pas leurs niveaux de maîtrise.
FIPI, Moscou 2026 : conseils choisis sur les calculs, la vérification, les modèles écrits et les unités. Il s’agit d’une référence pour la classe 9, ni d’un manuel ni d’une préparation complète à l’OGE.
Tokyo Shoseki, 2025, 数学002-72 : les extraits et articles de l’éditeur liés aux pages 94, 96–97, 78, 101 et 104–108 ont été consultés. Ils relient les opérations conservant l’égalité, les signes et les coefficients à la modélisation et à la vérification dans la situation initiale. Les cas 0/1/une infinité de solutions et les nombres réels sont des prolongements de MomentDesk ; cette correspondance limitée ne couvre pas tout le manuel.
Visang, Mathématiques 1, première édition du 1er mars 2025, deuxième tirage du 1er mars 2026, ISBN 979-11-7316-034-9 : les pages 86–87, 89–91 et 92–93 ont été lues dans le manuel numérique public de l’éditeur. Elles présentent les transformations justifiées, la substitution, les coefficients et la vérification du modèle dans la situation avec ses unités. Les cas 0/1/une infinité de solutions et les nombres réels sont des prolongements de MomentDesk. Le raisonnement reste évalué manuellement.
Cornelsen, Fundamente der Mathematik 7, NRW G9, première édition de 2020, cinquième tirage de 2026, ISBN 978-3-06-040177-2 : les extraits publics de l’éditeur, sections 6.2–6.6, pages 160–175, ont été lus. Ils expliquent les transformations justifiées, les cas particuliers et la modélisation avec unités et interprétation. Les solutions sont ici cherchées dans l’ensemble des nombres rationnels ; les réels de MomentDesk constituent un prolongement. La correspondance est limitée ; les exercices restent originaux et le raisonnement est évalué manuellement.
Lire l’explication
Développez avant de réduire. Une fois les termes avec inconnue réunis, l’égalité restante indique s’il existe une solution, aucune, ou si toute valeur autorisée convient.
Avant de commencer
Opérations équivalentes, multiplication de nombres relatifs et réduction des termes semblables.
- Multipliez chaque terme entre parenthèses par le coefficient extérieur. Un moins devant les parenthèses change chaque signe.
- Réunissez les termes avec inconnue et les constantes par des opérations équivalentes sur les deux membres.
- Une équation ax = b avec a non nul possède exactement une solution. Divisez les deux membres par a.
- Si l’inconnue disparaît, une égalité vraie admet toutes les valeurs autorisées ; une égalité fausse n’a pas de solution. Ne divisez pas par un coefficient nul.
- Dans les deux premiers thèmes, l’inconnue prend des valeurs réelles. Aucune variable ne figure au dénominateur.
Exemples résolus
Distribuez 2, puis retranchez x et 2 pour isoler l’inconnue.
2(x + 1) = x + 11
2x + 2 = x + 11
x = 9
Après développement, les deux membres portent la même expression. Toute valeur autorisée convient.
5(x + 2) = 5x + 10
10 = 10
L’inconnue disparaît, mais les constantes diffèrent. Aucune valeur ne peut rendre l’équation vraie.
5(x + 2) = 5x + 12
10 = 12
Erreurs fréquentes
- Dans un produit négatif, le moins concerne chaque terme entre parenthèses.
- Une égalité vraie après simplification ne signifie pas x = 0. Tester une valeur ne prouve pas tout l’ensemble des solutions.
Expliquez votre raisonnement
Montrez le développement avec les signes, réduisez les termes et expliquez l’égalité finale avant de classer les solutions.
La vérification porte sur un nombre ou un choix. Le raisonnement, l’équation rédigée et les unités ne sont pas évalués automatiquement. Utilisez les critères avec votre professeur ou pour vous corriger. Dix exercices ne prouvent pas la maîtrise du thème.
S’entraîner
Saisissez un nombre sans x = ni unité. Les valeurs exactement égales sont acceptées : entiers, décimaux, fractions et nombres mixtes. Le point ou la virgule sont admis ; une saisie ambiguë comme 1,234 demande de préciser son sens. Gardez les unités et le raisonnement dans votre travail écrit.
Les réponses restent en mémoire sur cette page jusqu’à son rechargement ou votre départ. Aucun brouillon enregistré, résultat dans un compte ou devoir remis automatiquement n’est créé.
Vos réponses et votre travail écrit
Exercices et corrections
Résolvez : 3(x + 4) = 2x + 5. Saisissez x.
Réponse et explication
−7
Distribuez aux deux termes, puis regroupez les inconnues et constantes.
3x + 12 = 2x + 5
x = −7
3(−7 + 4) = 2(−7) + 5
Trouvez x : 5 − 2(x − 3) = 4x − 1.
Réponse et explication
2
Le produit −2(x − 3) vaut −2x + 6.
11 − 2x = 4x − 1
12 = 6x
x = 2
Résolvez : + = 5.
Réponse et explication
9
Multipliez tous les termes par 6 avant de développer et de réduire.
2(x − 1) + (x + 5) = 30
3x + 3 = 30
3x = 27
x = 9
Trouvez x : 0.5(4x − 6) = x + 2.
Réponse et explication
5
Distribuez le coefficient décimal aux deux termes.
2x − 3 = x + 2
x = 5
Résolvez : −3(2x − 1) + 4 = x − 14.
Réponse et explication
3
Distribuez −3 soigneusement, puis réunissez les inconnues avec des opérations égales.
−6x + 7 = x − 14
21 = 7x
x = 3
Classez les solutions de 4(x + 2) = 2x + 14.
- Aucune solution
- Exactement une solution
- Une infinité de solutions
Réponse et explication
Exactement une solution
Un coefficient non nul reste, donc il existe une solution.
4x + 8 = 2x + 14
2x = 6
x = 3
Classez les solutions de 3(x + 2) = 3x + 8.
- Aucune solution
- Exactement une solution
- Une infinité de solutions
Réponse et explication
Aucune solution
L’inconnue s’annule et laisse une égalité constante impossible.
3x + 6 = 3x + 8
6 = 8
Classez les solutions de 7(x − 1) − 2x = 3x + 1.
- Aucune solution
- Exactement une solution
- Une infinité de solutions
Réponse et explication
Exactement une solution
Un coefficient non nul reste, donc il existe une solution.
5x − 7 = 3x + 1
2x = 8
x = 4
Classez les solutions de 2(x − 5) = 2x − 10.
- Aucune solution
- Exactement une solution
- Une infinité de solutions
Réponse et explication
Une infinité de solutions
Les deux membres se réduisent à la même expression. Tout nombre réel x vérifie l’équation.
2x − 10 = 2x − 10
0 = 0
Classez les solutions de 6(x − 1) − 2x = 4x + 2.
- Aucune solution
- Exactement une solution
- Une infinité de solutions
Réponse et explication
Aucune solution
L’inconnue s’annule et laisse une égalité constante impossible.
4x − 6 = 4x + 2
−6 = 2
Expliquez votre raisonnement
Comparez 3(x + 1) = 3x + 3 et 3(x + 1) = 3x + 4. Développez et expliquez l’ensemble des solutions de chaque équation.
Réponse et explication
Première : 3 = 3, donc toute valeur autorisée est solution. Deuxième : 3 = 4, donc aucune solution.
Une réponse complète explique l’annulation et la vérité de l’égalité constante restante. Tester un seul candidat ne suffit pas.
Fiche d’exercices
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Source du programme
Allemagne · NRW Gymnasium G9 · révisions 7/8 + ℝ
§2.4.1 · Ari-7 / 9 · 28–29 · 2026-10-12
Source du programmeJapon · révisions de première année de collège · 2017
中1 · A(2) / A(3) · 70–73 · 2026-10-12
Source du programmeCorée · révisions de première année de collège · 2022
[9수02-02] / [9수02-04] · 2026-10-12
Source du programmeRussie · FRP 2025 · révisions de 7e + approfondissement de 8e
7 · 42 / 45 / 50–51 · 2026-10-12
Source du programmeManuel / référence pédagogique: OpenStax · Elementary Algebra 2e
Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis · Édition: 2020-04-22
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Manuel / référence pédagogique: CeDeC / INTEF · Matemáticas 3° E.S.O.
CeDeC / INTEF · Édition: 2014-08
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Manuel / référence pédagogique: Sésamath 3e · Cahier élève
Association Sésamath · Magnard · Édition: 2021-06
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Manuel / référence pédagogique: QUA-LiS.NRW · Beispiel für einen schulinternen Lehrplan
QUA-LiS.NRW · Édition: 2020-01-31
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Manuel / référence pédagogique: 文部科学省 · 中学校学習指導要領解説 数学編
文部科学省 · Édition: 2017-07
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Manuel / référence pédagogique: 경기도교육청 · 성취평가, 이렇게 실천해요! [중학교편]
경기도교육청 · Édition: 2025-03-10
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Manuel / référence pédagogique: ФИПИ · Методические рекомендации · Математика
И. В. Ященко · И. Р. Высоцкий · П. И. Самсонов · Édition: 2026
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Manuel / référence pédagogique: 東京書籍 · 新編 新しい数学 1
清水美憲・真島秀行ほか108名 · Édition: 2025 · 令和7年度
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Manuel / référence pédagogique: Cornelsen · Fundamente der Mathematik 7 · NRW G9
Andreas Pallack (Hrsg.) · Autorenteam · Édition: 2020
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Manuel / référence pédagogique: 비상교육 · 중학교 수학 1
이진호・김선희・이소민・황윤희・이윤경 · Édition: 2025-03-01
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Thème suivant: Mettre une situation en équation
Fiche d’exercices: Parenthèses et nombre de solutions
Montrez le développement avec les signes, réduisez les termes et expliquez l’égalité finale avant de classer les solutions.
Résolvez : 3(x + 4) = 2x + 5. Saisissez x.
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Trouvez x : 5 − 2(x − 3) = 4x − 1.
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Résolvez : + = 5.
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Trouvez x : 0.5(4x − 6) = x + 2.
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Résolvez : −3(2x − 1) + 4 = x − 14.
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Classez les solutions de 4(x + 2) = 2x + 14.
- Aucune solution
- Exactement une solution
- Une infinité de solutions
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Classez les solutions de 3(x + 2) = 3x + 8.
- Aucune solution
- Exactement une solution
- Une infinité de solutions
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Classez les solutions de 7(x − 1) − 2x = 3x + 1.
- Aucune solution
- Exactement une solution
- Une infinité de solutions
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Classez les solutions de 2(x − 5) = 2x − 10.
- Aucune solution
- Exactement une solution
- Une infinité de solutions
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Classez les solutions de 6(x − 1) − 2x = 4x + 2.
- Aucune solution
- Exactement une solution
- Une infinité de solutions
Équation, calculs, unités et vérificationRéponse:
Correction: Parenthèses et nombre de solutions
−7
Distribuez aux deux termes, puis regroupez les inconnues et constantes.
3x + 12 = 2x + 5
x = −7
3(−7 + 4) = 2(−7) + 5
2
Le produit −2(x − 3) vaut −2x + 6.
11 − 2x = 4x − 1
12 = 6x
x = 2
9
Multipliez tous les termes par 6 avant de développer et de réduire.
2(x − 1) + (x + 5) = 30
3x + 3 = 30
3x = 27
x = 9
5
Distribuez le coefficient décimal aux deux termes.
2x − 3 = x + 2
x = 5
3
Distribuez −3 soigneusement, puis réunissez les inconnues avec des opérations égales.
−6x + 7 = x − 14
21 = 7x
x = 3
Exactement une solution
Un coefficient non nul reste, donc il existe une solution.
4x + 8 = 2x + 14
2x = 6
x = 3
Aucune solution
L’inconnue s’annule et laisse une égalité constante impossible.
3x + 6 = 3x + 8
6 = 8
Exactement une solution
Un coefficient non nul reste, donc il existe une solution.
5x − 7 = 3x + 1
2x = 8
x = 4
Une infinité de solutions
Les deux membres se réduisent à la même expression. Tout nombre réel x vérifie l’équation.
2x − 10 = 2x − 10
0 = 0
Aucune solution
L’inconnue s’annule et laisse une égalité constante impossible.
4x − 6 = 4x + 2
−6 = 2